2022年线性代数重点知识总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理 优秀资源说明： 1.本总结只是把课本的重点学问总结了一下,我没有看到期末考试题,所以考着了算是侥幸,考不着也正常；2.学问点会了不肯定做的对题,所以仍要有相应的练习题；3.前后内容要贯穿起来,融汇贯穿,建立自己的学问框架；第一章 行列式1.行列式的定义式（两种定义式）-行列式的性质 -对行列式进行行、列变换化为上下三角 （求行列式的各种方法逐行相加、倒叙相减、加行加列、 递推等方法, 全部方法是使行列式显现尽可能多的 0 为依据的）；2.行列式的应用 克拉默法就（成立的前提、描述的内容、用途,简洁的证明可从逆矩阵入手） ；总结：期末第

2、一章可能不再单独考,但会在求特点值 /判定正定性等内容时顺便考察行列式的求解；其次章 矩阵1.矩阵是一个数组按肯定的次序排列,和行列式（一个数）具有天壤之别；2.高斯消元法求线性方程组的解唯独解、无解、无穷解时阶梯型的样子 与第三章解存在的条件以及解的结构联系在一起 3.求逆矩阵的方法（初等变换法,逆矩阵与相伴矩阵的关系；I 起到记录全部初等变换的作用） 、4.初等矩阵和初等变换的一一对应关系,学会由初等变换找出与之对 应的初等矩阵；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理 优秀资源5.分块矩阵（运用分块矩阵有时可

3、以很简洁的解决一些复杂问题）记得结论 A 可逆,就AT|A|1-TA-1；第三章线性方程组第三章从向量组的角度入手, 把线性方程组的系数矩阵的每一列看作一个列向量,从而得到一个向量组假设为 1 , 2 , , n,右边常就看作一个向量,1）如 向 量 被 向 量 组 1 , 2 , , n 表 出 唯 一 （ 即 满 足 关 系 ：r 1 , 2 , , n r 1 , 2 , , n , n 时,由于只有向量组 1 , 2 , , n 线性无关才表出唯独）,就只有唯独解；2）如不 能 由 向 量 组1,2,n线 性 表 出 （ 即 满 足 条 件,n1r1,2,n,时）就无解；r1,2,3

4、） 如由 向 量 组1,2,n表 出 不 唯 一 （ 即 满 足 条 件r1,2,nr1,2,n,n时,只有1,2,n线性相关才表出不唯独）有无穷解；1.线性相关、线性无关的定义、描述及判定2.向量组的秩的定义及极大线性无关组的求法 选一个 3.矩阵的秩向量组的秩相对应；化为阶梯型后同高度名师归纳总结 4.齐次线性方程组非零解的条件r1,nn,列向量线性相关或秩 第 2 页,共 5 页和解得结构 nr-1,n个线性无关的解的线性组合；5.非齐次线性方程组的解存在的条件r1,nr1,n,及解- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理 优秀资源的结构 对应

5、的齐次线性方程组的解 +一个特解 ；第四章向量空间和线性变换其次章高斯消元法关于如何求线性方程组的解,多用于线性方程组解的运算；第三章线性方程组的解从向量组的角度来争论解存在的条件及 解 的 结 构 , 向 量 被 向 量 组 1 , 2 , , s 线 性 表 出 形 式 与 1 , 2 , , s x 的解相互对应；第四章是从线性变换和空间的角度来讲解线性方程组的解； 1线性变换： 线性方程组的解看做原像,线性方程组的右端项看作是线性变换的像；线性方程组有解就说明右端项在线性变换的 A 的象空间里；2）内积结合线性子空间的角度考虑线性方程组解的结构 主要是齐次线性方程组的解的结构,齐次线性

6、 方程的系数组成的列向量组所张成的子空间和解空间互为正交补,注：互为正交补的空间为维数加起来等于全空间的维数且相互正交的子空间）；重要内容 ：坐标变换、过渡矩阵、施密特正交化方法；第五章特点值特点向量 矩阵的对角化 特点值和特点向量承接了第四章的线性变换的定义,一个矩阵 A 的特点向量,就满意条件 A 线性变换不转变向量的方向 ,变 化前后（和 A）两个向量相差一个倍数,恰好就是特点值；A nn 至 多有 n 个线性无关的特点向量, 这是由于线性变换的像空间的维数至名师归纳总结 多为 n 维的；当 A 恰好有 n 个线性无关的特点向量时A 可对角化,第 3 页,共 5 页- - - - - -

7、 -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理 优秀资源1即存在关系为1,2,n1A1,2,n2；留意并不n是全部的矩阵都可以对角化的, 只有含 n 个线性无关的特点向量的矩阵才可以对角化； 对于全部的实对称的矩阵就都可以对角化,并且不同特点值的特点向量相互正交,且对角化的矩阵可以为正交矩阵；重要内容 ：1.求特点值、特点向量2、实对称矩阵运用正交阵来对角化（求正交矩阵）3、特点值、特点向量的关系,例如不同特点值的特点向量的和不再是特点向量,不同特点值得特点向量线性无关,实对称不同特点值的特点向量相互正交；第六章二次型fx 1,x 2,nx写为xTAx的形式,其中 A二次型把二

8、次齐次多项式为实对称矩阵,就依据第五章内容实对称矩阵都相像于一个对角矩阵,得出存在正交矩阵 P 使得 P T AP；留意相像与合同的区分,相似矩阵是 B P-1 AP,合同矩阵是 C Q TAQ（合同矩阵要保持对称性,所以形式上就有很大的差别） ；如是存在可逆阵 Q 使得 C Q TAQ,就 进 行 可 逆 的 线 性 代 换 y Qx 即 可 把 二 次 型 化 为f x 1 , x 2 , , nx x TQ TAQx y Ty,即化为只含平方项的标准二次型；化为标准二次型有三种方法：配方法、正交矩阵方法（对角元素为特征值）、初等变换法； 惯性定理 描述了只要合同变换时运用的是可逆矩阵就正负惯性指数是不变的；正定矩阵的定义、性质、判定方法、等价描述是考察的一个重点；名师归纳总结 重点内容 ：1.三种化为标准型的方法严格依据 2.正定矩阵的第 4 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理 优秀资源定义、性质、判定方法、等价描述；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页