2022年经典讲义二次函数在闭区间上的最值.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思二次函数在闭区间上的最值一、 学问要点：一元二次函数的区间最值问题,核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的争论；一般分为：对称轴在区间的左边,中间,右边三种情形 . 设 fx ax 2 bxc a 0 ,求 f 在 x m,n 上的最大值与最小值；2分析：将 f x 配方,得顶点为 b,4 ac b、对称轴为 x b2 a 4 a 2 a当 a 0 时,它的图象是开口向上的抛物线,数形结合可得在 m ,n上 f 的最值：（ 1 ） 当 bm,n 时 , f 的 最 小 值 是 f b 4 ac b 2,

2、 的 最 大 值 是2 a 2 a 4 af m 、f n 中的较大者；（2）当 bm,n 时2 a如 bm,由 f 在 m,n 上是增函数就 f x 的最小值是 f m ,最大值是 f n 2 a如 n b,由 f 在 m,n 上是减函数就 f 的最大值是 f m ,最小值是 f n 2 a当 a 0 时,可类比得结论；二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间,求其最值； 对称轴与定义域区间的相互位置关系的争论往往成为解决这类问题的关键；此类问题包括以下四种情形：（1）轴定,区间定；（2）轴定,区间变；（ 3）轴变,区间定；（4）轴变,区间变；1. 轴定区间定二次函数是给

3、定的,给出的定义域区间也是固定的,我们称这种情形是“ 定二次函数在定区间上的最值”2；例 1. 函数 y2 x4x2 在区间 0,3 上的最大值是 _,最小值是 _；练习 . 已知 2x3 x ,求函数 f x x2x1的最值；2、轴定区间变二次函数是确定的,但它的定义域区间是随参数而变化的,我们称这种情形是“ 定函数在名师归纳总结 动区间上的最值”；第 1 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思例 2. 假如函数 f x x1 21定义在区间t,t1 上,求 f 的最小值；例 3. 已知f x 2 x

4、2x3,当xt,t1tR时,求f x 的最大值观看前两题的解法,为什么最值有时候分两种情形争论,而有时候又分三种情形争论呢？这些问题其实认真摸索就很简单解决；不难观看：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间 的端点或二次函数的顶点取到；第一个例题中,这个二次函数是开口向上的,在闭区间上,它 的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到,有三种可能,所以分三种情形讨 论；而它的最大值不行能是二次函数的顶点,只可能是闭区间的两个端点,哪个端点距离对称 轴远就在哪个端点取到,当然也就依据区间中点与左右端点的远近分两种情形争论；依据这个 懂得,不难说明其次个例题为什么这样争论；对二次函数的区间

5、最值结合函数图象总结如下：名师归纳总结 当 a0时fx maxfm ,b1mn 如图 1 fx m i nfn ,bn 如图 3 n 如图4第 2 页,共 10 页2a2 a2fb,mbfn ,b1mn 如图2 2 a2 a2 a2fm ,bm 如图 52a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思当 a0 时fx maxfn,bn 如图 6 f x minf m ,b1 mn 如图9 2 afb,mbn 如图 72 a2f n ,b1 mn 如图 10 2 a2afm ,b2 a2m 如图 8 2a3、轴变区间定二次函数

6、随着参数的变化而变化,即其图象是运动的,但定义域区间是固定的,我们称这种情形是“ 动二次函数在定区间上的最值”；例 4. 已知 x 21,且 a 2 0 ,求函数 f x x 2ax 3的最值；例 5. 1 求 f x x 22ax 1在区间 -1,2 上的最大值；2 求函数yxxa在x1,1上的最大值；4. 轴变区间变二次函数是含参数的函数,而定义域区间也是变化的,我们称这种情形是“ 动二次函数在名师归纳总结 动区间上的最值”；a a0,求ux322 y 的最小值；第 3 页,共 10 页例 6. 已知2 y4 a x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

7、 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值,求函数或区间中参数的取值；例 7.已知函数f x ax 22 ax1 在区间 3,2 上的最大值为4,求实数 a 的值；例 8. 已知函数f x x2x 在区间 m n 上的最小值是3 m最大值是 3 n ,求 m , n 的值；2例 9. 已知二次函数f x ax2 2a1x1 在区间3 ,2 2上的最大值为3,求实数 a的值；三、巩固训练名师归纳总结 1函数 yx22x1在1,1 上的最小值和最大值分别是1, 3（）第 4 页,共 10 页xB3,3（C）1,3 （D） A 1 ,3 4242函数y4x

8、2在区间,14 上的最小值是 A 7B4C2D 2 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思3函数yx28x5的最值为（）4 A 最大值为 8,最小值为0B 不存在最小值,最大值为8（C）最小值为0, 不存在最大值D 不存在最小值,也不存在最大值4如函数y2x24x,x0 , 4 的取值范畴是 _ 5已知函数f xax22ax13a0在区 间3,2上的最大值是1,就实数 a 的2值为2 26假如实数 x, y 满意 x y 1,那么 1 xy 1 xy 有（）1 3A 最大值为 1 , 最小值为 B 无最大值,最小值为2

9、 43（C）最大值为 1, 无最小值 D 最大值为 1,最小值为47已知函数 y x 2 2 x 3 在闭区间 0 , m 上有最大值 3,最小值 2,就 m的取值范畴是（）A ,1 B 0 2, C ,1 2 D , 2 28如 x 0 , y 0 , x 2 y 1,那么 2 x 3 y 的最小值为 _ 2 2 2 29设 m R , x 1, x 2 是方程 x 2 mx 1 m 0 的两个实根,就 x 1 x 2 的最小值 _ 210设 f x x 4 x 4 , x t , t 1 t R , 求函数 f x 的最小值 g t 的解析式；2 a11已知 f x x ax,在区间 0

10、1, 上的最大值为 g a ,求 g a 的最小值；212.（2022 江苏卷）设 a 为实数,函数f x 22 xxa |xa.1如f01,求 a 的取值范畴；名师归纳总结 2求f x的最小值； ,直接写出不需给出演算步骤不等式h x 1的解集 .第 5 页,共 10 页3设函数h x f x x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2022 二次函数一 . 挑选题21.2022 兰州 二次函数 y 3 x 6 x 5 的图像的顶点坐标是 A（ -1 ,8） B（1, 8） C（-1 ,2） D（1,-4 ）2.20

11、22 兰州 抛物线 y x 2 bx c 图像向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位,所得图像2的解析式为 y x 2 x 3,就 b、 c 的值为 A . b=2, c=2 B. b=2, c=0 C . b= -2,c=-1 D. b= -3, c=2 3.2022 河北 如图,已知抛物线 y x 2 bx c 的对称轴为 x 2,点 A,B 均在抛物线上,且 AB 与 x 轴平行,其中点 A 的坐标为（0,3）,就点 B 的坐标为 A（2,3）B（3,2）C（3,3）D（4,3）4.2022 陕西 将抛物线 C：y=x 2+3x-10 ,将抛物线 C 平移到 C /；如两条抛物线 C

12、,C /关于直线 x=1对称,就以下平移方法中正确选项（）A 将抛物线 C 向右平移5 2个单位B 将抛物线 C 向右平移 3 个单位C 将抛物线 C 向右平移 5 个单位D 将抛物线 C 向右平移 6 个单位5.（2022 遵义）如图,两条抛物线 y 1 1x 2 1、y2且平行于 y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（21x21与分别经过点a,2 0,2 02ybx） 8 6 10 4 的图象不经过6.2022 莱芜 二次函数yax2bxc的图象如下列图,就一次函数 B其次象限y x A第一象限C第三象限D第四象限O 7.（2022 丽水）如图,四边形ABCD 中, BAD=ACB=9

13、0,AB=AD,AC=4BC,设 CD 名师归纳总结 的长为 x,四边形 ABCD 的面积为 y,就 y 与 x 之间的函数关系式是 Dy4x2第 6 页,共 10 页Ay2x2By4x2Cy2x2252555- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思8.（2022 丽水）以下四个函数图象中,当x0 时, y 随 x 的增大而增大的是 9.2022 成都 把抛物线y2 x 向右平移 1 个单位,所得抛物线的函数表达式为（）（A ）yx 21（B）yx1 2ybx4 acb2与反比（C）yx 21（D）yx1 210.202

14、2 兰州 抛物线yax2bxc图像如下列图, 就一次函数例函数yabc在同一坐标系内的图像大致为 x x xx x x 11.（2022 济南）二次函数y2 xx2的图象如下列图,就函数值y 0 时 x 的取值范畴是（）C 1x2 Dx 1 或 x 2 Ax 1 Bx2 12.（ 2022 杭州）定义 , , a b c 为函数yax2bxc 的特点数 , 下面给出特点数为2m,1 m , 1 m 的函数的一些结论：名师归纳总结 当 m = 3 时,函数图象的顶点坐标是1 ,38；D. 第 7 页,共 10 页3 当 m 0 时,函数图象截x 轴所得的线段长度大于3 ；2 当 m 1 时, y

15、 随 x 的增大而减小；4 当 m 0 时,函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有（）A. B. C. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思213. 2022 舟山 已知二次函数 y 3 x 12 x 13,就函数值 y 的最小值是（）A. 3 B. 2 C. 1 D. -1214.2022 咸宁 已知抛物线 y ax bx c（ a 0）过 A（2 ,0）、O（0,0）、B（3 ,y ）、C（3,y ）四点,就 y 与 y 的大小关系是 A1y y 2 B1y y 2 C1y y 2 D不能确定215.2022

16、桂林 将抛物线 y 2 x 12 x 16 绕它的顶点旋转 180 ,所得抛物线的解析式是（）Ay 2 x 2 12 x 16 By 2 x 2 12 x 16Cy 2 x 2 12 x 19 Dy 2 x 2 12 x 20二填空题1. 2022 成都 如图,在 ABC 中,B 90,始沿边 AB 向 B 以 2mm / s 的速度移动（不与点AB 12mm,BC 24mm,动点 P 从点 A 开B 重合）,动点 Q 从点 B 开头沿边 BC 向 C 以4mm / s 的速度移动（不与点 C 重合）假如 P 、 Q 分别从 A 、 B 同时动身,那么经过 _秒,四边形 APQC 的面积最小2

17、.（2022 浙江金华）如二次函数 y x 22 x k 的部分图象如下列图,就关于 x 的一元二次方程 x 22 x k 0 的一个解 x 1 3,另一个解 x 2；3.（2022 郴州）将抛物线 y=x 2 +1 向下平移 2 个单位,.就此时抛物线的解析式是 _ 24（2022 天津）已知二次函数 y ax bx c a 0 中自变量 x 和函数值 y 的部分对应值如下表：名师归纳总结 x3110 11 3；第 8 页,共 10 页2222y529250 74444就该二次函数的解析式为5.12022 义乌 将抛物线y12x 2 向右平移 2 个单位,得到抛物线y2的图象,就y2= （2

18、）如图, P 是抛物线 y2 对称轴上的一个动点,直线xt 平行于 y 轴,分别与直线yx、抛物线 y2 交于点 A、B如 ABP 是以点 A 或点 B 为直角顶点的等腰直角三形,求满意条件的t 的值,就 t6.2022 玉溪 如图是二次函数yax2bxca0在平面直角坐标系中的图象,依据图形判定 c 0；a +b +c 0； 2 a - b 0； b2+8 a 4 a c中正确选项（填写序号 ）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思三解答题1.（2022 宁波）如图,已知二次函数y1x2bxc的图象经过A（2, 0）

19、、B（0, 6）2两点；（1）求这个二次函数的解析式（2）设该二次函数的对称轴与y O A C x B x 轴交于点 C,连结 BA 、BC ,求 ABC 的面积；2.（2022 浙江金华）已知二次函数y=ax2 bx3 的图象经过点A（2, 3）,B（ 1, 0）（ 1）求二次函数的解析式；（ 2）填空：要使该二次函数的图象与x 轴只有一个交点,应把图象沿y 轴向上平移个单位3. （ 2022 绍兴）如图 , 设抛物线 C1:yax125, C2:yax125, C1与 C2的交点为A, B, 点 A 的坐标是,24 , 点 B 的横坐标是 2. （1）求 a 的值及点 B 的坐标；（2）点

20、 D在线段 AB上, 过 D作 x轴的垂线 , 垂足为点 H, 在DH 的右侧作正三角形DHG .记过 C2顶点 的直线为 l , 且 l 与x轴交于点 N. 如 l 过 DHG 的顶点 G, 点 D 的坐标为1, 2,求点 N 的横坐标； 如 l 与 DHG 的边 DG相交 , 求点 N的横名师归纳总结 坐标的取值范畴.第 9 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思4.2022 玉溪 在平面直角坐标系中,点A 的坐标为 （1,3 ） , AOB的面积是3 . （1）求点 B 的坐标；（2）求过点 A、

21、 O、B 的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C,使 AOC的周长最小？如存在,求出点 C的 坐标；如不存在,请说明理由；（4）在（ 2）中, x 轴下方的抛物线上是否存在一点 P,过点 P 作 x 轴的垂线,交直线 AB 于点 D,线段 OD把 AOB分成两个三角形 . 使其中一个三角形面积与四边形 BPOD面积比为2：3 ？如存在,求出点 P 的坐标；如不存在,请说明理由 . 5.（2022 宜宾） 将直角边长为 6 的等腰 Rt AOC 放在如下列图的平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,点 C、A 分别在 x、 y 轴的正半轴上,一条抛物线经过点 A、C 及点 B3,01求该抛物线的解析式；2如点 P 是线段 BC 上一动点,过点 P 作 AB 的平行线交 AC 于点 E,连接 AP,当 APE 的面积最大时,求点 P 的坐标；3在第一象限内的该抛物线上是否存在点 G,使 AGC 的面积与（ 2）中 APE 的最大面积相等.如存在,恳求出点 G 的坐标；如不存在,请说明理由yABOCx名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页