2022年解三角形知识点汇总和典型例题完美.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解三角形解三角形的必备学问和典型例题及详解一、学问必备：1直角三角形中各元素间的关系：在 ABC中, C 90 , ABc,ACb,BCa；（1）三边之间的关系：a 2b 2c 2；（勾股定理）（2）锐角之间的关系：AB90 ；（3）边角之间的关系： （锐角三角函数定义）sin AcosBa , cosAsin Bcb ,tan Aca ；b2斜三角形中各元素间的关系：在 ABC中, A、 B、C为其内角, a、b、c 分别表示 A、B、 C的对边；（1）三角形内角和：ABC ；（2）正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的

2、正弦的比相等aAbBc2R（R为外接圆半径）sinsinsinC（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2b2c2 2bccosA；b2c2a22cacosB；c2 a 2 b 22abcos C；3三角形的面积公式：（1） S （2） S 1 aha21 bhb21 chc（ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 上的高）；21 absin C21 bcsin A21 acsin B；24解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一 个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地,这里所说的元素仍可以包括

3、三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等主要类型：（1）两类正弦定懂得三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角 . 第 2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角 . （2）两类余弦定懂得三角形的问题：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第 1、已知三边求三角. 学习必备欢迎下载第 2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角 . 5三角形中的三角变换三角形中的三角变换, 除了应用上述公式和上述变换方法外,（1）角的变换仍要留意三角形自身的特点；由于在 ABC中,A+B+C=

4、,所以 sinA+B=sinC；cosA+B= cosC；tanA+B= tanC ；sin A Bcos C, cos A Bsin C；2 2 2 2（2）判定三角形外形时, 可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式 . 6求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意,弄清已知和所求；（ 2）建模：将实际问题转化为数学问题,写出已知与所求,并画出示意图；（ 3）求解：正确运用正、余弦定理求解；（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义；二、典例解析题型 1：正、余弦定理例 1（2022 浙江理） 4 在 ABC 中,角 A B C 所对的边分别为 a b c ,且满意 co

5、s A 2 5,2 5AB AC 3（I ）求 ABC的面积；（II ）如 b c 6,求 a 的值解（1）由于 cos A 2 5,cos A 2cos 2 A1 3,sin A 4,又由 AB AC 32 5 2 5 5得 bc cos A 3, bc 5,S ABC 1bc sin A 22（2）对于 bc 5,又 b c 6,b 5, c 1 或 b 1, c 5,由余弦定理得2 2 2a b c 2 bc cos A 20,a 2 5题型 2：三角形面积例 2在ABC 中, sinAcosA2, AC2 ,AB3,求tanA的值和ABC的2面积；名师归纳总结 解法一：先解三角方程,求

6、出角A的值；第 2 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - sinAcosA2cosA452学习必备欢迎下载,2cosA451.246.2又 0A180, A4560 ,A105.tanAtan4560 1323, 13sinAsin 105sin 4560sin 45cos 60cos 45sin 60SABC1ACABsinA123246326 ；224解法二：由 sinAcosA 运算它的对偶关系式sinAcosA 的值；sinAcosA22sinAcos 2122sinAcosA120A180 ,sinA0,cosA0.另解sin 2

7、A12sinAcosA 212sinAcosA3, 2sinAcosA62+得 sin A246；得 cos A246；从而tanAsinA24624623；cosA以下解法略去；点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本学问,着重数学考查运算才能,名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载是一道三角的基础试题；两种解法比较起来,你认为哪一种解法比较简洁呢？题型 3：三角形中的三角恒等变换问题例 3在 ABC中, a、b、 c 分别是 A、 B、 C的对边长,已知 a、b、c 成等比数列,bs

8、in B且 a 2c 2=acbc,求 A 的大小及 的值；c分析：因给出的是 a、b、c 之间的等量关系,要求A,需找 A 与三边的关系,故可用余弦定理；由 b 2=ac 可变形为 b 2=a,再用正弦定理可求 bsin B的值；c c解法一： a、b、 c 成等比数列,b 2=ac；又 a 2c 2=ac bc, b 2+c 2a 2=bc；b 2 c 2 a 2 bc 1在 ABC中,由余弦定理得：cos A= = =,2 bc 2 bc 2 A=60 ；在 ABC中,由正弦定理得sin B=b sinA, b2=ac,aA=60 ,2b sin B b sin 60 3=sin60 =

9、；c ac 2解法二：在ABC中,由面积公式得 1 bcsin A= 1 acsin B；2 2b 2=ac, A=60 , bcsin A=b 2sin B；b sin B =sin A= 3 ；c 2评述：解三角形时,找三边一角之间的关系常用余弦定理,找两边两角之间的关系常用正弦定理；题型 4：正、余弦定理判定三角形外形例 4在 ABC中,如 2cosBsin AsinC ,就 ABC的外形肯定是（）A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形答案： C 解析： 2sin AcosBsin C =sin （AB）=sinAcosB+cosAsinB 名师归纳总结 -

10、 - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载sin （AB） 0, A B另解：角化边点评：此题考查了三角形的基本性质,要求通过观看、分析、判定明确解题思路和变形方向,通畅解题途径 题型 5：三角形中求值问题例 5ABC的三个内角为A、 、C,求当 A 为何值时, cosA2cosB2C取得最大值,并求出这个最大值；2+ 3 2；解析：由 A+B+C= ,得B+C 2 = 2A 2,所以有 cosB+C 2 =sinA 2；1 2cosA+2cosB+C 2 =cosA+2sinA 2 =1 2sin2A 2 + 2sin

11、A 2=2sinA 2当 sinA 2 = 1 2,即 A= 3时, cosA+2cosB+C 2取得最大值为3 2；点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式,通过三角 函数的性质求得结果；题型 6：正余弦定理的实际应用例 6（2022 辽宁卷文,理）如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶；测量船于水面 A 处测得 B点和 D点的仰角分别为 75 0,30,00 于水面 C处测得 B 点和 D点的仰角均为 60 ,AC=0.1km；摸索究图中 B,D间距离与另外哪两点间距离相等,然后求B,D的距离（运算结果精确到0.01

12、km,21.414 ,62.449 ）解: 在 ABC中, DAC=30 , ADC=60 DAC=30,所以 CD=AC=0.1 又BCD=180 60 60 =60 ,故 CB是 CAD底边 AD的中垂线,所以BD=BA,26,在 ABC中,sinABsinAC,即 AB=ACsin603BCAABCsin1520因此, BD=326.0 33km；20故 B,D的距离约为0.33km；点评：解三角形等内容提到高中来学习,又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备

13、欢迎下载降低,对三角的综合考查将向三角形中问题舒展,但也不行太难,只要把握基本学问、概念,深刻懂得其中基本的数量关系即可过关；三、思维总结1解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如 A、 B、C）,由 A+B+C = 求 C,由正弦定理求 a、b；（2）已知两边和夹角（如 a、 b、c）,应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用 A+B+C = ,求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如 a、b、A）,应用正弦定理求 B,由 A+B+C= 求 C,再由正弦定理或余弦定理求 c 边,要留意解可能有多种情形；（4）已知三边 a、b、 c,应余弦定理求 A、

14、B,再由 A+B+C = ,求角 C；2三角学中的射影定理：在ABC 中,b a cos C c cos A,3两内角与其正弦值：在ABC 中,A B sin A sin B,4解三角形问题可能显现一解、两解或无解的情形,这时应结合“ 三角形中大边对大角定理及几何作图来帮忙懂得”；三、课后跟踪训练1. （2022 上海文数 18. ）如 ABC 的三个内角满意sinA:sinB:sinC5:11:13,就ABC（）b2. 3 bc ,（A）肯定是锐角三角形. （B）肯定是直角三角形. （C）肯定是钝角三角形. D可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形解析：由 sinA:sinB:sinC5:11

15、:13及正弦定理得a:b:c=5:11:13 由余弦定理得cosc5221121320,所以角 C为钝角5112. （2022 天津理数 7）在ABC中,内角 A,B,C 的对边分别是a,b,c ,如a2sinC2 3 sinB ,就 A= （A）300（B）600（C）1200（D）1500【答案】 A 【解析】此题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用,属于中等题；由正弦定理得名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - c2 3 bc2 3 b,学习必备欢迎下载2R2R所以 cosA=2 b2 +c -a23 bcc2=3

16、 bc2 3 bc30 ,所以 A=302bc2 bc2 bc2【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算；3. （2022 湖北理数） 3. 在ABC中, a=15,b=10,A=60 ,就cosB= A 2 2 3 B 2 2 C 6 D 6333【答案】 D 【解析】依据正弦定理aAbB可得1510解得sinB3,又由于 ba ,3 , sinsinsin60sin B3就 BA,故 B 为锐角,所以cosB1sin2B6,故 D正确 . 34. （2022 广东理数） 11. 已知 a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C 所对的边,如a=1,b

17、=A+C=2B,就 sinC= . 名师归纳总结 解：由 A+C=2B及 A+ B+ C=180 知, B =60 由正弦定理知,1A3,即第 7 页,共 11 页sinsin 60sinA1由 ab知,AB60,就A30,AC 的2C180AB180306090, sinCsin9015（2022 湖南卷文） 在锐角ABC 中,BC1,B2 , A 就AC的值等于cosA取值范畴为. 解析设A,B2 .由正弦定理得ACBC,AC1AC2.sin 2sin2coscos由锐角ABC 得 0290045 ,又 01803903060 ,故30452cos3,22- - - - - - -精选学习

18、资料 - - - - - - - - - AC2cos2,3.学习必备欢迎下载6. （2022 全国卷理）在 ABC 中,内角 A、B、C的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知2 2a c 2 b ,且 sin A cos C 3cos A sin C , 求 b 分析：: 此题事实上比较简洁 , 但考生反应不知从何入手 . 对已知条件 1 a 2 c 2 2 b 左侧是二次的右侧是一次的 , 同学总感觉用余弦定理不好处理 , 而对已知条件 2 sin A cos C 3cos A sin C , 过多的关注两角和与差的正弦公式 , 甚至有的同学仍想用现在已经不再考的积化和差 , 导致找不

19、到突破口而失分 . 解法：在 ABC 中就 sin A cos C 3cos A sin C 由正弦定理及余弦定理2 2 2 2 2 2有: a a b c 3 b c a c ,2 ab 2 bc（角化边）化简并整理得：2 a 2c 2 b . 又由已知 2a 2c 22 b 4b b . 解得 b 4 或 b 0 舍）. 7在 ABC 中,已知 A、B、C成等差数列,求 tan Atan C3 tan Atan C 的值；2 2 2 2解析：由于 A、B、C成等差数列,又 ABC180 ,所以 AC120 ,从而 A2 C60 ,故 tan A2 C 3 . 由两角和的正切公式,得1 ta

20、ntan A2A tantan C2C 3；2 2所以 tan A tan C 3 3 tan A tan C ,2 2 2 2tan Atan C3 tan Atan C3；2 2 2 2点评：在三角函数求值问题中的解题思路,一般是运用基本公式,将未知角变换为已知角求解,同时结合三角变换公式的逆用；名师归纳总结 8.（2022 四川卷文）在ABC 中,A、B为锐角,角 A、 、C所对的边分别为a、 、c,第 8 页,共 11 页且sinA5,sinB1051021,求 a、 、c的值；（I ）求 AB 的值；（II ）如ab- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

21、- - 解（ I ） A、B为锐角,sinA5学习必备欢迎下载,sinB10510 cosA1sin2A2 5,cosB1sin2B3 10 10102.5cosABcosAcosBsinAsinB2553 105105102 0AB, AB4（II ）由（ I ）知C3, sinC242由aAbBcC得sinsinsin5a10 b2 c ,即a2 , b c5 b又ab212 bb21b1a2,c59. （2022 陕西文数 17）（本小题满分12 分）在 ABC中,已知 B=45 ,D 是 BC边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求 AB的长 . 解 在 ADC中, AD=10

22、,AC=14,DC=6, 由余弦定理得cosAD22DC2AC2=100 362 101961, AD DC62ADC=120 , ADB=60ADB=60 ,3在 ABD中, AD=10, B=45 , 由正弦定理得sinABAD,ADBsinBAB=ADsinADB10sin 601025 6sinBsin 4522名师归纳总结 10. （2022 辽宁文数 17）（本小题满分12 分）第 9 页,共 11 页在ABC中, a、 、c分别为内角 A、 、C的对边,且 2 sinA2bc sinB2cb sinC（）求 A 的大小；（）如 sinBsinC1,试判定ABC 的外形 . - -

23、 - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（）由已知,依据正弦定理得学习必备欢迎下载 2 cbc2 a22 bcb名师归纳总结 即a2b2c2bcC.b c第 10 页,共 11 页由余弦定理得a2b2c22 bccosA故cosA1,A1202（）由（）得sin2Asin2Bsin2CsinBsin又sinBsinC1,得sinBsinC12c2由于0B90, 0C90,故 BC所以ABC 是等腰的钝角三角形；11. （2022 辽宁理数）（17）（本小题满分12 分）在 ABC中, a, b, c分别为内角A, B, C的对边,且2 sinA2ac sinB2cb sinC .（）求A的大小；（）求 sinBsinC 的最大值 . 解：（）由已知,依据正弦定理得2 a22bc b即a2b2c2bc 6 分由余弦定理得a22 bc22 bccosA故cosA1,A=1202（）由（）得：sinBsinCsinBsin60B3cos B1sinB22sin60B 故当 B=30 时, sinB+sinC取得最大值1；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 11 页,共 11 页- - - - - - -