2012年深圳市高三年级第二次调研考试_理科数学参考答案与评分标准.doc.pdf

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1、2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）试题参考答案及评分标准第 1 页 共 11 页2012年深圳市高三年级第二次调研考试数学 （理科）参考答案及评分标准2012.4一、选择题：本大题共8 个小题，每小题5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案C B A C D A D B 二、填空题：本大题共7 小题，考生作答6 小题，每小题5 分，满分30 分（一）必做题：第9、10、11、12、13 题为必做题90,1102880111125031368（注：第 9 题答案也可以写成01|xx，如果写成01x，不扣分 ）

2、（二）选做题：第14、15 题为选做题，考生只能从中选做一题14 （坐标系与参数方程选做题）115 （几何证明选讲选做题）21三、解答题：本大题共6 小题，满分80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16 （本小题满分12 分）已知函数)6cos(sin)(xxxf，Rx（1）求)(xf的最大值；（2）设ABC中，角A、B的对边分别为a、b，若AB2且)6(2Afab，求角C的大小解： （1）)6cos(sin)(xxxfxxxsin21cos23sin,2 分xxcos21sin233)6sin(3x （注： 也可以化为)3cos(3x） ,4 分所以)(xf的最大值为3,6 分（注：

3、没有化简或化简过程不全正确，但结论正确 ，给 4 分 ）（2）因为)6(2Afab，由（ 1）和正弦定理，得AB2sin32sin ,7 分又AB2，所以AA2sin322sin，即AAA2sin3cossin，,9 分而A是三角形的内角，所以0sin A，故AAsin3cos，33tanA，,11 分所以6A，32AB，2BAC,12 分2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）试题参考答案及评分标准第 2 页 共 11 页17 （本小题满分12 分）深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6 个篮球， 其中 3 个是新球 （即没有用过的球） ，3 个是旧球（ 即至少用过一次的球

4、） 每次训练，都从中任意取出2 个球，用完后放回（1）设第一次训练时取到的新球个数为，求的分布列和数学期望；（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率解： （1）的所有可能取值为0，1，2,1 分设“第一次训练时取到i个新球（即i） ”为事件iA（i0，1，2） 因为集训前共有6 个篮球，其中3 个是新球， 3 个是旧球，所以51)0()(26230CCPAP，,3 分53)1()(2613131CCCPAP，,5 分51)2()(26232CCPAP,7 分所以的分布列为（注：不列表，不扣分）0 1 2 P515351的数学期望为1512531510E,8分（2）设“从6 个球中任意取出2

5、个球，恰好取到一个新球”为事件B则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件BABABA210而事件BA0、BA1、BA2互斥，所以，)()()()(210210BAPBAPBAPBABABAP由条件概率公式，得253535151|()()(261313000CCCABPAPBAP），,9 分2581585353|()()(261412111CCCABPAPBAP），,10 分151315151|()()(261511222CCCABPAPBAP）,11 分所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为7538151258253)(210BABABAP,12 分2012 年深圳市高三年级第二次调研考

6、试数学（理科）试题参考答案及评分标准第 3 页 共 11 页18 （本小题满分14 分）如图 5，已知正方形ABCD在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形DCBA，其中A与A重合，且CCDDBB（1）证明/AD平面CCBB，并指出四边形DCAB的形状；（2）如果四边形DCAB中，2AD，5AB，正方形ABCD的边长为6，求平面ABCD与平面DCAB所成的锐二面角的余弦值证明 ： （1）依题意，BB平面DCAB，CC平面DCAB，DD平面DCAB，所以/ / DDCCBB,2 分（ 法 1）在CC上取点E，使得DDCE，连结BE，ED ，如图 51因为/ DDCE，且DDCE，所以EC

7、DD 是平行四边形，DCED/，且DCED 又ABCD是正方形，ABDC /，且ABDC，所以ABED/，且ABED ，故ABED是平行四边形，,4 分从而BEAD / ，又BE平面CCBB，AD平面CCBB，所以/ AD平面CCBB,6 分四边形DCAB是平行四边形（注：只需指出四边形DCAB的形状 ，不必证明 ） ,7 分（ 法 2）因为/ CCDD，CC平面CCBB，DD平面CCBB，所以/ DD平面CCBB因为ABCD是正方形，所以BCAD /，又BC平面CCBB，AD平面CCBB，所以/AD平面CCBB,4 分而DD平面ADD，AD平面ADD，DADDD ，所以平面/ ADD平面CC

8、BB，又AD平面ADD，所以/AD平面CCBB ,6 分四边形DCAB是平行四边形（注：只需指出四边形DCAB的形状 ，不必证明 ） ,7 分解： （2）依题意，在RtABB中，1)5()6(2222ABABBB，在 RtADD中，2)2()6(2222ADADDD，所以3021AADDBBCC（ 注：或312BBDDECCECC）,8 分15图CD) (AABCDBE2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）试题参考答案及评分标准第 4 页 共 11 页连结AC，AC，如图 52，在 RtACC中，33)32(2222CCACAC所以222ABCBAC，故CBAC ,10 分（ 法

9、 1）延长CB，BC相交于点F，则31CCBBFCFB，而2CB，所以223FC连结AF，则AF是平面ABCD与平面DCAB的交线在平面DCAB内作AFGC ，垂足为G，连结CG因为CC平面DCAB，AF平面DCAB，所以AFCC 从而AF平面GCC ，AFCG所以CGC是平面ABCD与平面DCAB所成的一个锐二面角,12 分在 RtFAC 中，553223)3(223322AFFCACGC，在 RtGCC 中，530355332222GCCCCG所以66coscosCGGCCGC，即平面ABCD与平面DCAB所成的锐二面角的余弦值为66,14 分（ 法 2）以C为原点，AC 为x轴，BC为y

10、轴，CC 为z轴，建立空间直角坐标系（如图53） ，则平面DCAB的一个法向量)1,0,0(n设平面ABCD的一个法向量为),(zyxm，因为)0,0,3(A，) 1,2,0(B，)3,0,0(C，所以) 1,2,3(AB，)2,2,0(BC，而ABm，BCm，所以0ABm且0BCm，即022023zyzyx，25图CD) (AABCDBFG35图CD) (AABCDByxz2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）试题参考答案及评分标准第 5 页 共 11 页取1z，则2y，3x，所以平面ABCD的一个法向量为)1,2,3(m（注：法向量不唯一，可以是与) 1,2,3(m共线的任一

11、非零向量）,12 分661001)2()3(|110203|,cos|cos222222nmnmnm|所以平面ABCD与平面DCAB所成的锐二面角的余弦值为66 ,14 分（ 法 3）由题意，正方形ABCD在水平面上的正投影是四边形DCBA，所以平面ABCD与平面DCAB所成的锐二面角的余弦值ABCDDCABSS,12 分而6)6(2ABCDS，632ACCBSDCAB，所以66cos，所以平面ABCD与平面DCAB所成的锐二面角的余弦值为66 ,14 分19 （本小题满分14 分）已知数列na满足：11a，22a，且3) 1)(cos2(2nnana，*Nn（1）求通项公式na；（2）设na

12、的前n项和为nS，问：是否存在正整数m、n，使得122nnmSS？若存在，请求出所有的符合条件的正整数对),(nm，若不存在，请说明理由解： （1）当n是奇数时，1cosn；当n是偶数时，1cosn所以，当n是奇数时，22nnaa；当n是偶数时，nnaa32 ,2分又11a，22a，所以1a，3a，5a， , ，12na， , 是首项为1，公差为2 的等差数列；2a，4a，6a， , ，na2，, 是首项为2，公比为3 的等比数列,4 分所以，为偶数为奇数nnnann,32,12,6 分（2）由（ 1） ，得)()(24212312nnnaaaaaaS)3262()12(311nn132nn，

13、13321321122212nnaSSnnnnnn,8 分所以，若存在正整数m、n，使得122nnmSS，则133211313211212122nnnSSmnnnnnn3332111nn ,9 分显然，当1m时，122122) 13(113nnnnSnnS；2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）试题参考答案及评分标准第 6 页 共 11 页当2m时，由1222nnSS，整理得1321nn显然，当1n时，11013211；当2n时，1233212，所以)2,2(是符合条件的一个解,11 分当3n时，2211111221)21 (3nnnnCC2111421nnCC3422nn1)2

14、(22nn12n,12 分当3m时，由1223nnSS，整理得1n，所以)1,3(是符合条件的另一个解综上所述，所有的符合条件的正整数对),(nm，有且仅有)1,3(和)2,2(两对,14 分（注 ：如果仅写出符合条件的正整数对)1,3(和)2,2(，而没有叙述理由，每得到一组正确的解，给 2 分，共 4 分）20 （本小题满分14 分）如图 6，已知动圆M过定点)1,0(F且与x轴相切， 点F关于圆心M的对称点为F，动点F的轨迹为C（1）求曲线C的方程；（2） 设),(00yxA是曲线C上的一个定点， 过点A任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线C相交于另外两点P、Q 证明：直线PQ的斜率为

15、定值； 记曲线C位于P、Q两点之间的那一段为L若点B在L上，且点B到直线PQ的距离最大，求点B的坐标解： （1） （法 1）设),( yxF，因为点)1,0(F在圆M上，且点F关于圆心M的对称点为F，所以)21,2(yxM，,1 分且圆M的直径为22)1(| |yxFF ,2 分由题意，动圆M与y轴相切，所以2) 1(2|1|22yxy，两边平方整理得：yx42，所以曲线C的方程为yx42,5 分16图MFxyOFNE2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）试题参考答案及评分标准第 7 页 共 11 页（ 法 2）因为动圆M过定点) 1,0(F且与x轴相切，所以动圆M在x轴上方，连

16、结FF，因为点F关于圆心M的对称点为F，所以FF为圆M的直径过点M作xMN轴，垂足为N，过点F作xEF 轴，垂足为E（如图 61） 在直角梯形EOFF中，1|2|2|EFFOEFMNMFFF，即动点F到定点)1,0(F的距离比到x轴的距离大1 ,3 分又动点F位于x轴的上方（包括x轴上），所以动点F到定点)1,0(F的距离与到定直线1y的距离相等故动点F的轨迹是以点)1,0(F为焦点，以直线1y为准线的抛物线所以曲线C的方程为yx42,5 分（ 2）（ 法 1）由题意，直线AP的斜率存在且不为零，如图62设直线AP的斜率为k（0k） ，则直线AQ的斜率为k,6 分因为),(00yxA是曲线C：

17、yx42上的点，所以4200 xy，直线AP的方程为)(4020 xxkxy由)(440202xxkxyyx，解之得4200 xyxx或4)4(4200kxykxx，所以点P的坐标为)4)4(,4(200kxkx，以k替换k，得点Q的坐标为)4)4(,4(200kxkx,8 分所以直线PQ的斜率23216)4()4(4)4(4)4(00002020 xkkxkxkxkxkxkPQ为定值,10 分（ 法 2）因为),(00yxA是曲线C：yx42上的点，所以4200 xy，)4,(200 xxA又点P、Q在曲线C：yx42上，所以可设)4,(211xxP，)4,(222xxQ，,6 分而直线AP

18、，AQ的倾斜角互补，所以它们的斜率互为相反数，即0220220120214444xxxxxxxx，整理得0212xxx,8 分26图MFxyOFPQA2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）试题参考答案及评分标准第 8 页 共 11 页所以直线PQ的斜率2424440021122122xxxxxxxxkPQ为定值,10 分（ 法 1）由可知，P)4)4(,4(200kxkx，Q)4)4(,4(200kxkx，20 xkPQ，所以直线PQ的方程为)4(24)4(0020kxxxkxy，整理得016422200kxyxx,11 分设点)4,(2xxB在曲线段L上，因为P、Q两点的横坐标

19、分别为kx40和kx40，所以B点的横坐标x在kx40和kx40之间，即|4|400kxxkx，所以|4|40kxxk，从而22016)(kxx点B到直线PQ的距离42|162|164|16442|20220022022020 xkxxxxxkxxxxd4216)(42142|16)(|202202020220 xkxxxxkxx ,12 分当0 xx时，4216202maxxkd注意到|4|4000kxxkx，所以点)4,(200 xx在曲线段L上所以，点B的坐标是)4,(200 xx ,14 分（ 法 2）由可知，20 xkPQ，结合图63 可知，若点B在曲线段L上，且点B到直线PQ的距离

20、最大，则曲线C在点B处的切线PQl /,11 分设l：bxxy20，由方程组yxbxxy4220，消去y，得04202bxxx令0)4(14)2(20bx，整理，得420 xb ,12 分代入方程组，解得0 xx，420 xy所以，点B的坐标是)4,(200 xx ,14 分36图MFxyOFPQABl2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）试题参考答案及评分标准第 9 页 共 11 页（ 法 3）因为抛物线C：yx42关于y轴对称，由图 64 可知， 当直线AP的倾斜角大于0且趋近于0时，直线AQ的倾斜角小于180且趋近于180，即当直线AP的斜率大于0 且趋近于0 时，直线AQ

21、的斜率小于0 且趋近于 0从而P、Q两点趋近于点)4,(200 xxA关于y轴的对称点)4,( 200 xxA ,11 分由抛物线C的方程yx42和的结论，得42xy，PQxxxxkxxy22|000所以抛物线C以点)4,( 200 xxA为切点的切线PQl /,12 分所以曲线段L上到直线PQ的距离最大的点就是点A，即点B、点A重合所以，点B的坐标是)4,(200 xx ,14 分21 （本小题满分14 分）已知函数xxxxfln)(，)()()(af xxfxg，其中)(af表示函数)(xf在ax处的导数，a为正常数（1）求)(xg的单调区间；（2）对任意的正实数21, xx，且21xx，

22、证明：)()()()()()(11212212xfxxxfxfxfxx；（3）对任意的*Nn，且2n，证明：nnfnln2ln) 1(1ln13ln12ln1解： （1）xxfln)( ，axxxxxglnln)(，xaaxafxfxglnlnln)()()(,2 分所以，),0(ax时，0)( xg，)(xg单调递增；),(ax时，0)( xg，)(xg单调递减所以，)(xg的单调递增区间为,0(a，单调递减区间为),a,4 分（2） （法 1）对任意的正实数21, xx，且21xx，取1xa，则),(12xx，由（ 1）得)()(21xgxg，即)()()()()()(21221111xg

23、xfxxfxfxxfxg，所以，)()()()(11212xfxxxfxf, ；,6 分取2xa，则),0(21xx，由（ 1）得)()(21xgxg，A46图MFxyOF1P1QB2P3P2Q3Ql2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）试题参考答案及评分标准第 10 页 共 11 页即)()()()()()(22222111xgxfxxfxfxxfxg，所以，)()()()(21212xfxxxfxf, 综合，得)()()()()()(11212212xfxxxfxfxfxx,8 分（法 2）因为xxfln)( ，所以，当)1,0(x时，0)(xf；当),1 (x时，0)(xf

24、故)(xf在 1,0(上单调递增，在),1上单调递减所以，对任意的正实数21, xx，且21xx，有)1(21fxxf，) 1(12fxxf ,6 分由) 1(21fxxf，得1ln121212xxxxxx，即0)ln(ln12212xxxxx，所以0)ln(ln)()()()(1221211212xxxxxxfxxxfxf故)()()()(11212xfxxxfxf , ；由) 1(12fxxf，同理可证)()()()(21212xfxxxfxf , 综合，得)()()()()()(11212212xfxxxfxfxfxx,8 分（3）对2,2,1nk，令xkxxkln)ln()(（1x）

25、，则22)(ln()ln()(ln)(ln)ln(ln)( xkxxkxkxxxxxkxkxxxk，显然kxx1，)ln(ln0kxx，所以)ln()(lnkxkxxx，所以0)( xk，)(xk在),1 (上单调递减由2kn，得)2()(kkkn，即2ln)2ln()ln(lnkknn所以)ln()2ln(ln2lnknkn，2,2,1nk,10 分所以2ln1ln1) 1ln(13ln1ln12ln1ln13ln12ln12nnnn2lnlnln2ln)1ln(3ln3ln)1ln(ln2ln2lnlnnnnnnnnnnnnnln2lnln2lnln2ln3ln)1ln(ln2ln2lnln2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）试题参考答案及评分标准第 11 页 共 11 页nnln2lnln3ln2ln2,12 分又由（ 2）知nnfnfnfln)( )()1(，所以)1()(lnnfnfn)1()()3()2()2()1(ln2ln1lnnfnfffffn) 1(1)1()1 (nfnff所以，nnfnnnln2ln)1(1ln2lnln3ln2lnln13ln12ln1,14 分学习使人进步，相信能就一定能成功