理论力学第一章习题.pdf

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1、第一章习题1.4 细杆绕点以角速转动，并推动小环C在固定的钢丝上滑动。图中的为已知常数，试求小球的速度及加速度的量值。解 如题 1.4.1 图所示，绕点以匀角速度转动，在上滑动，因此点有一个垂直杆的速度分量点速度又因为所以点加速度OLOABdABOCLxd第1.4题图OLOCABC22xdOCvCdxddvvv222secseccosCtansecsec2ddtdva2222222tansec2dxdxd1.5 矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示：式中及为常数，试求运动开始秒后升降机的速度及其所走过的路程。已知升降机的初速度为零。解 由题可知，变加速度表示为由加速度的微分形式我们

2、可知代入得对等式两边同时积分可得 ：（为常数）代入初始条件：时，故即又因为所以对等式两边同时积分，可得：Ttca2sin1cTtTtca2sin1dtdvadtTtcdv2sin1dtTtcdvtv002sin1DTtcTctv2cos2D0t0vcTD212cos2TtTtcvdtdsvdtTtTtc12cos2dstTtTTtcs2sin222121.6 一质点沿位失及垂直于位失的速度分别为及，式中及是常数。试证其沿位矢及垂直于位失的加速度为解 由题可知质点的位矢速度 (1) 沿垂直于位矢速度 (2) 又因为，即 (3) (4) 对求导 (5) 对求导 (6) 根据课本的推导可知沿位矢方向

3、加速度（7）垂直位矢方向加速度（8）把（3） （4） （5） （6）代入（ 7） （8）式中可得rrrr,222r/vvrrrvrrrr22rrarra2rra222/rarrr2rr/v1.7 试自出发，计算及。并由此推出径向加速度及横向加速度。解由题可知对求导对求导对求导对求导对于加速度，我们有如下关系见题1.7.1 图把代入得同理可得sin,cosryrxxyraasincosryrxsincosrrxcossinsin2cos2rrrrxcossinrrysincoscos2sin2rrrryaraaOxy题1.7.1图sincosyxar2rrarrra22()cos(2)sinxr

4、rrr即2()sin(2)cosyrrrr即sincosaxy1.14 一飞机在静止空气中每小时的速率为100千米。如果飞机沿每边为6千米的正方形飞行，且风速为每小时28 千米，方向与正方形的某两边平行，则飞机绕此正方形飞行一周，需时多少？解正方形如题 1.14.1 图。由题可知设风速, 当飞机，故飞机沿此边长 6正方形飞行一周所需总时间ACBD3v4v1vhkmvv/28风牵BAhkmv/100相BAhkmhkmv/128/)28100(1hkmhkmvDB/96/28100,222hkmhkmvDC/72/)28100(,34,vADhkmhkm/96/2810022hkm/min1651

5、5192499667269661286hht2v风v相v题1.14.2图风v相v4v题1.14.3图1.17 小船被水冲走后， 由一荡桨人以不变的相对速度朝岸上点划回。 假定河流速度沿河宽不变，且小船可以看成一个质点，求船的轨迹。解 以为极点，岸为极轴建立极坐标如题.17.1 图. 船沿垂直于的方向的速度为，船沿径向方向的速度为和沿径向的分量的合成，即- / 得，对两积分：设为常数，即代入初始条件时，. 设有得MAA1C2CAxOr题1.17.1图rrCrkk11cos2sinlnln0rr0,200,cos2sinlnln01010kkrC0101110sincoscossinkkkkrrC

6、k,2,12Crsinln2tanlnln12drdrcotsin12211cossindtdrdtdr12sin1121.19 将质量为的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度平方成正比，即。如上抛时的速度为，试证此质点又落至投掷点时的速度为解质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降阶段. 取向上为正各力示意图如题1.19.1 图，上升时下降时题 1.19.1 图则两个过程的运动方程为：上升下降：对上升阶段 : 即对两边积分所以m22gvmkR0v022011vkvvmgvvRRmg22ygmkmgym221vkgdtdv221vkgdyvdvdtdydydvgdyvkvdv221gdyvk

7、vdvhv02201022ygmkmgym即质点到达的高度 . 对下降阶段：即由=可得20221ln21vkgkh21221ln21vkgkh202011vkvvgdyvkvdvhv02201122gvk-gdyvdvdtdydydv1.28 重为的不受摩擦而沿半长轴为、半短轴为的椭圆弧滑下，此椭圆的短轴是竖直的。如小球自长2 轴的端点开始运动时，其初速度为零，试求小球在到达椭圆的最低点时它对椭圆的压力。解 建立如题 1.28.1 图所示直角坐标 .椭圆方程从滑到最低点，只有重力做功 . 机械能守恒 . 即设小球在最低点受到椭圆轨道对它的支持力为则有：为点的曲率半径 .的轨迹：得；又因为所以故

8、根据作用力与反作用力的关系小球到达椭圆最低点对椭圆压力为WababABOxy题1.28.1图12222byaxAB221mvmgbNBBA221axby2221axabxy2322211axaby223211abyyk2222212abWmghabmgmvmgN2vmmgN方向垂直轨道向下 . 1.36 检验下列的力是否是保守力。如是，则求出其势能。，解（a）保守力满足条件对题中所给的力的表达式，代入上式即所以此力是保守力，其势为(b)同（a） ，由所以此力是保守力，则其势能为2221abWa233206ybxyabzFxybxabxzFy43106218abxyzFzbzFyFxFzyxkj

9、iFF0F022kjikjiFFFkjiFzyxy40abx6abzy40bx6abzy18abzy18abz18abxz18abxzyFxFxFzFzFyFzyx333322xyzxyz324,0,20,0,0,4300000233zy,x,0,0,0 x6518106d206FabxyzybxdzabxyzdyybxabxzxybxyabzdzFdyFdxVzyxyxyxx,x,zydrF0kjikjiFyFxFxFzFzFyFFFFzyxxyzxyzzyxFdzFdyFdxFdVBABABxAzzzyyyxxrF1.38 已知作用在质点上的力为式中系数都是常数。问这些应满足什么条件，才有

10、势能存在？如这些条件满足，试计算其势能。解要满足势能的存在，即力场必须是无旋场，亦即力为保守力，所以即得为常数满足上式关系，才有势能存在。势能为：zayaxaFzayaxaFzayaxaFzyx3332312322211312113 , 2, 1, jiaijija0FxFzFxFyFzFyFzxyxyz311321122332aaaaaa3 ,2, 1, jiaijzxayzaxyazayaxadzzayaxadyzayaxadxzayaxadFdyFdxFdVzyxyxyxxxzzyx312312231212211,0,3332310,0,0,2322210,0,0,0,013121122

11、221rF1.39 一质点受一与距离次方成反比的引力作用在一直线上运动。试证此质点自无穷由静止出发到达距力心时的速率和自距力心静止出发到达距力心时的速率相同。证质点受一与距离成反比的力的作用。设此力为又因为即当质点从无穷远处到达时，对式两边分别积分：当质点从静止出发到达时，对式两边分别积分：得所以质点自无穷远到达时的速率和自静止出发到达时的速率相同。23aa4a23为一常数kkrrF23drvdvmddtdrdrdvmdtdvmrFmvdvdrrFmvdvdrkr23avavdvmdrkr0232124amkva4avaadvmdrkr04232124amkvaa4a小时候，场队里面有片我一眼

12、望不到边的荷塘。妈妈经常带着我到荷塘边采莲叶摘莲蓬剥莲子，我边走边跳的跟着，嘴里连说带唱地念：“毕竟西湖六月中，风光不与四时同。接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红。”妈妈教的杨万里的诗。碧绿的荷塘里高低错落地盛开着粉白的粉红的荷花，有的羞答答地躲在莲叶下，有的则大方地在艳阳下舒展妙曼的身姿，把小蜜蜂忙得不停地在花瓣中花蕊里飞来飞去。清风一阵阵地送着荷花的芬香，莲叶与荷花在低头细语，沙沙，沙沙。只可惜，我听不懂它们说的话。妈妈，荷花真香真美啊！嗯。妈妈摘一朵给你。不，妈妈，摘下了它，它会死的。让它长在塘里，一大片一大片的，它才高兴才会香才会更美丽。好吧，女儿，让它们美美的长着。来，我们把莲子莲叶都拿回家里蒸饭和做莲子羹。好，妈妈，莲子羹最好吃了