2022年高三数学大一轮复习指数与指数函数学案理新人教A版 .pdf

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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思学案 7 指数与指数函数导学目标： 1. 了解指数函数模型的实际背景.2. 理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3理解指数函数的概念，并掌握指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.4. 知道指数函数是一类重要的函数模型自主梳理1指数幂的概念(1) 根式如果一个数的n次方等于a(n1 且nN*) ，那么这个数叫做a的n次方根 也就是， 若xna，则x叫做 _，其中n1 且n N*. 式子na叫做 _，这里n叫做 _，a叫做 _(2) 根式的性质当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号_表示

2、当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号 _表示，负的n次方根用符号 _表示正负两个n次方根可以合写成_(a0) (na)n_. 当n为偶数时，nan|a| a，a0，a，a0，m，nN*，n1)正数的负分数指数幂是mna_(a0，m，nN*，n1)0 的正分数指数幂是_，0 的负分数指数幂无意义(2) 有理指数幂的运算性质aras _(a0，r，sQ) (ar)s_(a0，r，sQ ) (ab)r_(a0，b0，rQ) 3指数函数的图象与性质a10a0时， _；当x0 时，_；当x0 时， _ (6) 在( ， ) 上是_ (7) 在 ( ， ) 上

3、是_ 自我检测1下列结论正确的个数是( ) 当a0 且a13如图所示的曲线C1，C2，C3，C4分别是函数yax，ybx，ycx，ydx的图象，则a，b，c，d的大小关系是 ( ) Aab1cdBab1dcCba1cdDba1d1 ，b0 ， 且abab 22 ， 则abab的 值 等 于( ) A.6 B2 或 2 C 2 D2 5(2011六安模拟 ) 函数f(x) axb的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是( ) Aa1，b1，b0 C0a0 D0a1，b0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页读书

4、之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思探究点一有理指数幂的化简与求值例 1已知a，b是方程 9x282x 90 的两根，且a0)的结果是( ) A.baBabC.abDa2b探究点二指数函数的图象及其应用例 2已知函数y(13)|x1|. (1) 作出函数的图象( 简图 ) ；(2) 由图象指出其单调区间；(3) 由图象指出当x取什么值时有最值，并求出最值变式迁移2(2009山 东)函 数yexexexex的图象大致为( ) 探究点三指数函数的性质及应用例 3如果函数ya2x2ax1(a0 且a1)在区间 1,1 上的最大值是14，求a的值变式迁移 3 (2011龙岩月考) 已知函数f(x) (1

5、2x112)x3. (1) 求f(x) 的定义域；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思(2) 证明：f( x) f(x) ；(3) 证明：f(x)0. 分类讨论思想的应用例(12 分 ) 已知f(x) aa21(axax)(a0且a1)(1) 判断f(x) 的奇偶性；(2) 讨论f(x) 的单调性；(3) 当x 1,1 时f(x) b恒成立，求b的取值范围【答题模板】解(1) 函数定义域为R，关于原点对称又因为f( x) aa21(axax) f(x) ，所以f(x) 为奇函数

6、3 分 (2) 当a1 时，a210，yax为增函数，yax为减函数，从而yaxax为增函数，所以f(x) 为增函数 5 分 当 0a1 时，a210，且a1 时，f(x) 在定义域内单调递增7 分 (3) 由(2) 知f(x) 在 R上是增函数，在区间 1,1 上为增函数，f( 1)f(x) f(1) ，f(x)minf( 1) aa21(a1a) aa211a2a 1.10分 要使f(x) b在 1,1 上恒成立，则只需b 1，故b的取值范围是 ( ， 1 12 分 【突破思维障碍】本例第 (2)(3)问是难点，讨论f(x) 的单调性对参数a如何分类，分类的标准和依据是思维障碍之一【易错点

7、剖析】在(2) 中，函数的单调性既与axa x有关，还与aa21的符号有关，若没考虑aa21的符号就会出错，另外分类讨论完，在表达单调性的结论时，要综合讨论分类的情况，如果没有一个总结性的表达也要扣分，在表达时如果不呈现a的题设条件中的范围也是错误的1一般地，进行指数幂的运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于用运算性质进行乘、除、乘方、 开方运算， 可以达到化繁为简的目的2比较两个指数幂大小时，尽量化同底数或同指数，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小精选学习资料 - - - - -

8、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思3指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0cd1ab. 在y轴右侧， 图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧， 图象从下到上相应的底数由大变小；即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大( 满分： 75 分) 一、选择题 ( 每小题 5 分，共 25 分) 1函数yx2的值域是( ) A0 ，)B1 ，)C( ，)D2，)2 (2011金 华 月 考 ) 函 数yxax|x|(0ab，则函数f(x) x的图象是 ( ) 5若关于x的方

9、程 |ax1| 2a(a0，a1)有两个不等实根，则a的取值范围是( ) A(0,1) (1 ，)B(0,1) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思C(1，)D(0 ，12) 题号12345 答案二、填空题 ( 每小题 4 分，共 12 分) 6(2011嘉兴月考) 函数f(x) x3a，x0且a1)是 R上的减函数，则a的取值范围是_7(2010江苏 ) 设函数f(x) x(exaex) ，xR是偶函数，则实数a_. 8若函数f(x) ax1(a0 且a1)的定义域和值域都是0

10、,2，则实数a的值为_三、解答题 ( 共 38 分) 9(12 分)(2011 衡阳模拟) 已知定义域为R的函数f(x) 2xb2x1a是奇函数(1) 求a，b的值；(2) 若对任意的tR，不等式f(t22t) f(2t2k)0 恒成立，求a的取值范围答案自主梳理1(1)a的n次方根根式根指数被开方数(2) nanananaaa2.(1) namnma11nam0 (2) arsarsarbr3.(1) R(2)(0 ，)(3)(0,1) (4)y1 0y1 (5)0y1 (6) 增函数(7) 减函数自我检测1B 只有正确中a0，a30，所以232)(aa3；中，n为奇数时且ad1,1ab0.

11、 4D (abab)2(abab)244，a1，b0，ab1,0ab1，abab2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思5D 由f(x) axb的图象可以观察出，函数f(x) axb在定义域上单调递减，所以0a1；函数f(x) axb的图象是在f(x) ax的基础上向左平移得到的，所以b0. 课堂活动区例 1解题导引1. 指数幂的化简原则(1) 化负数指数为正指数；(2) 化根式为分数指数幂；(3) 化小数为分数2指数幂的化简结果要求为有关有理指数幂的化简结果不要同时含有根号和

12、分数指数幂，也不要既有分母又含有负指幂，即尽量化成与题目表示形式一致且统一的最简结果解a，b是方程的两根，而由9x282x90 解得x119，x2 9，且ab，故a19，b9，(1) 化去负指数后求解a1b1ab 11a1b1ababab1abab. a19，b9，ab829，即原式829. (2) 原式3127a3123a (21)38(a21315a) )2534(2167a21a. a19，原式 3. 变式迁移 1 C 原式31312316123baabbaba3123113116123baab 1ab. 例 2解题导引在作函数图象时，首先要研究函数与某一基本函数的关系，然后通过平移、对

13、称或伸缩来完成解(1) 方法一由函数解析式可得y(13)| x1|13x1，x 1，3x1，x1.其图象由两部分组成：一部分是：y(13)x(x0)向左平移 1个单位精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思y(13)x1(x 1) ；另一部分是：y3x(x0)向左平移 1个单位y3x 1(x1) 如图所示方法二由y(13)| x|可知函数是偶函数，其图象关于y轴对称，故先作出y(13)x的图象，保留x0 的部分， 当x0 时，e2x10， 且随着x的增大而增大，故y12e2x 11

14、且随着x的增大而减小， 即函数y在(0 ， ) 上恒大于1 且单调递减 又函数y是奇函数，故只有A正确 例 3解题导引1. 指数函数yax(a0 且a1)的图象与性质与a的取值有关， 要特别注意区分a1 与 0a1 时，ta1，a ，ymaxa22a114，解得a3，满足a1；(2) 当 0a1 时，ta，a1，ymax(a1)22a1 114，解得a13，满足 0a0时， 2x1，x30，所以 (12x112)x30. 因为f( x) f(x) ，所以当x0. 综上所述，f(x)0. 课后练习区1B 由yx2中x 0，所以yx2201，即函数的值域为1 ， ) 精选学习资料 - - - -

15、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2D 函数的定义域为x|xR，x0，且yxax|x|ax，x0ax，x0 时，函数是一个指数函数，其底数a满足 0a1，所以函数递减；当x0 时，函数图象与指数函数yax的图象关于x轴对称，函数递增 3D 函数定义域为R，关于原点对称，f( x) 4x12x14x2xf(x) ，f(x) 是偶函数，图象关于y轴对称 4A 当x0时， 02x1，此时f(x) 2x；当x0时， 2x1，此时f(x) 1. 所以f(x) 12x2xx，x 5 D 方程 |ax1| 2a有两个不等

16、实根可转化为函数y |ax1| 与函数y2a有两个不同交点，作出函数y|ax 1| 的图象，从图象观察可知只有02a1 时，符合题意，即0a12. 613， 1) 解析据单调性定义，f(x) 为减函数应满足：0a1，3aa0，即13a1 时，f(2) 2，a212，a3，经验证符合题意；当 0a1 时，f(0) 2，即 11 2，无解a3. 9解(1) f(x) 是定义域为R的奇函数，f(0) 0，即1b2a0，解得b1，(2分) 从而有f(x) 2x12x1a. 又由f(1) f( 1) 知214a1211a，解得a2. 经检验a 2 适合题意，所求a、b的值分别为2、1. (4分) (2)

17、 由(1) 知f(x) 2x12x121212x1. 由上式易知f(x) 在( ， ) 上为减函数(6分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思又因f(x) 是奇函数，从而不等式f(t22t)2t2k. 即对一切tR有 3t22tk0. 从而判别式412k0，解得k13. (12分) 10解方法一(1) 由已知得3a218? 3a2?alog32. (4分) (2) 此时g(x) 2x4x，设 0 x10 恒成立，(8分) 即 0 在x( ， 1 上恒成立，即a12x4x在x( ， 1 上恒成立(6分) 又因为12x4x (12)2x (12)x，设t(12)x，x1，t12且函数f(t) t2t (t12)214(t12) 在t12时，取到最大值(12)x12即x1 时，12x4x的最大值为34，(12分) a34. (14分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页