2022年高中不等式习题精选精解及答案 .pdf

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1、1 高中不等式习题精选精解一、求取值范围1、已知31 , 11yxyx，求yx3的取值范围。解：)(*2)(*13yxyxyx根据已知条件：731 ,3*2132*11yxyx所以yx3的取值范围是7, 12、已知cba，且0cba，求ac/的取值范围。解：由已知条件，显然0,0 ca2/1/,0,02,acacbacacb2/,0,2,02,acaaccbacaba综上所述ac/的取值范围是2/1,23、正数yx,满足12yx，求yx/1/1的最小值。解：2/2/1)/1/1)(2()/1/1(*1/1/1xyyxyxyxyxyx223)/2)(/(23xyyxyx,为正数4、设实数yx,满

2、足1) 1(22yx，当0cyx时，求c的取值范围。解：方程1) 1(22yx表示的是以点0，1为圆心的圆，根据题意当直线0cyxc为常数与圆在第二象限相切时，c取到最小值； 此时，切点的坐标),(yx满足0cyx，其它圆上的点都满足0cyx因为在直线的上方 ，当c增大，直线向下方平移，圆上的全部点满足0cyx，因此：12,0)21(0minmincc所以c的取值范围是, 12x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页2 5、已知函数2( )(0)f xaxbx a满足1( 1)2f，2(1)5f，求( 3)f的取值

3、范围。解：由习已知得：52,21baba设：6339)()(39)3(nmnmnmbanbambaf27)3(12),1(*3)1(*6)3(ffff所以)3(f的取值范围是27,126、已知：a、b都是正数，且1ab，1aa，1bb，求的最小值解：ba,是正数，41,4122abbaab5111)11()(11ababbabababbaa的最小值是5， 当且仅当2/1ba时 。7、已知集合045|2xxxA与022|2aaxxxB，假设AB，求a的取值范围。解：41|,41 ,0)1)(4(452xxAxxxxx设222aaxxy*当B? ，即方程 *无解，显然AB成立，由0得0)2(442

4、aa，解得)1(21a当B? ，且AB成立，即：41|21xxxxxx根据图像得出：4221024*24021*2122aaaaa，解得)2(7181a综合 1 2两式，得a的取值范围为7/18, 1。o 1 4 X1 x2 x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页3 8、假设关于x的方程0124aaxx有实数解，求实数a的取值范围。解一： 设xt2，0,02tx，原题转换为求方程012aatt在,0上有解。共有两种情况，一种是有两个根，一种是只有一个根如下图 ，由二次函数的图像和性质，得方程012aatt在,0上

5、有实数解的充要条件为：01)0(0)1(401)0(020) 1(422afaaafaaa或注：两组不等式分别对应两个图解得222, 12221aaa即或所以a的取值范围是222,解二：由方程012aatt得)0(112ttta函数)0(11)(2ttttf的值域就是a的取值范围。222)222(212)1(12) 1(12)1(1122tttttttta所以a的取值范围是222,二、解不等式1、032)2(2xxx解：不等式0)()(xgxf与0)(0)(xgxf或0)(xg同解，也可以这样理解：符 号 “” 是 由 符 号 “”“ =” 合 成 的 ， 故 不 等 式0)()(xgxf可

6、转 化 为0)()(xgxf或0)()(xgxf。解得：原不等式的解集为13|xxx或o y x o y x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页4 2、0322322xxxx. 解：0322322xxxx0320)32)(23(222xxxxxx0) 1)(3(0)1)(3)(2)(1(xxxxxx，用根轴法零点分段法画图如下：原不等式的解集为3211|xxx或。3、)0( , 112aaxx解：原式等价于axx11211, 112axx，即0ax注：此为关键0,0 xa原不等式等价于不等式组0)1 (122xaxx

7、解得：0|1120|102xxaaaxxa时，原不等式解集为当时，原不等式解集为当4、0)2)(2(axx解：当0a时，原不等式化为02x，得2x；当0a时，原不等式化为0)2)(2(axx，得22xa；当10a时，原不等式化为0)2)(2(axx，得axx22或；当1a时，原不等式化为0)2(2x，得2x；当1a时，原不等式化为0)2)(2(axx，得22xax或2 1 3 -1 + + + - - 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页5 综合上面各式，得原不等式的解集为：5、关于x的不等式0bax的解集为, 1，求

8、02xbax的解集。解：由题意得：0a，且ba则不等式02xbax与不等式组020)2)(xxbax同解得所求解集为21|xxx或6、已知0a且1a，关于x的不等式1xa的解集是0 x x，解关于x的不等式1log ()0axx的解集。解：关于x的不等式1xa的解集是0 x x，1a，1011115log ()012xxaxxxxx或1512x原不等式的解集是1515( 1,)(1,)22。三、证明题1、已知cba，求证：222222cabcabaccbba证一：)()()(222222accacbbcbaabcabcabaccbba)()()()()()()(bacacbcacbbcbaab

9、abbccacbbcbaab)( ,0)()()()(cbacacbbaabcbccbbaa222222cabcabaccbba，证毕。证二：)()()(222222222bacacbcbacabcabaccbba)()()()()(2222222bcbabacbbacabbcbcba0)()()()()()(cacbbacbcbbababacb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页6 222222cabcabaccbba，证毕。2、设0ab,n为偶数 , 证明11nnnnbaab11ab证：11nnnnbaab1111

10、()()()nnnnnabababab . 当0,0ab时, ()0nab,(nnab11)()nnab0 , 11()()()nnnnnababab0 , 故11nnnnbaab11ab ; 当,a b有一个负值时 , 不妨设0,0ab,且0ab, 即|ab . n为偶数时 , (nnab11)()nnab0 , 且()0nab11()()()nnnnnababab0 , 故11nnnnbaab11ab . 综合可知 , 原不等式成立注：必须要考虑到已知条件0ab，分类讨论，否则不能直接得出(nnab11)()nnab0 3、求证：2216(4)36aa2 29证：设向量( ,4),(4,6

11、)paqa , 由| |pqpq, 得2216(4)36aa|pq|pq| ( ,4)(4,6) | | (4,10) |161002 29aa注意：当pq时，即8a，)48(，p，)6 ,12(q，p、q方向相同，取等号。当利用公式|qpqp证明时，会得：2216(4)36aa|pq| | ( ,4)(4,6) | |(4, 2) |1642 5pqaa的错误结论，因为这里取等号的条件是pq，且p、q方向相反，根据题设条件，pq时，方向相同，故取不到等号，计算的结果也使不等式范围缩小了。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共

12、8 页7 4、求证：nn121312112222n证一：nnnnn111)1(1122nnnnn12111)3121()2111(1131211222原不等式成立，证毕。证二：当2n时，原不等式为：2122112，显然成立；假设当n取k-1 时，原不等式成立，即112)1(131211222kk成立，则2222222)1(1211121)1(131211kkkkkkkkkkkkkkkkkk12)1(112) 1(1)1()1(2222，即n取k时原不等式也成立。综上，对于任意n2n原不等式成立，证毕。注意：此类证明方法称为数学归纳法5、设213fxxx，实数a满足1xa，求证：21fxf aa

13、证：|)(|1313| )()(|2222axaxaaxxafxf=|12)( |1|) 1)( |aaxaxaxax当0ax，)1|(|2|2|12)( |)()(|aaaaxafxf当0ax，)1|(|2|12|12)( |)()(|aaaaxafxf当0ax，)1|(|2|)|1(2|12)( |)()(|aaxaaaxafxf综合式情况，原不等式成立。证毕注：式的最后一步省略了对0,0,0aaa的详细分析，正式解题时不能省。分析过程用ba,同号|;|bababababa,异号|babababa6、已知：xyyxyxyxyx22,0,0且，求证：341yx精选学习资料 - - - - -

14、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页8 证：由已知得：xyyxyx2)(，即)()(2yxyxxyyx，及基本不等式22yxxy，代入式得：)()(222yxyxyx解得34yx；0,0,0 xyyx，由式得0)()(2yxyx，1yx综上得：341yx。 证毕。7、已知1,0,abccba, 证明：)111(21)(1)(1)(1333cbabacacbcba证：cbacbabccbaabccba1111)()()(12233，,1114111111141)(123acbcbacbcba， 0,cba同理得：bcaacb1)11(41)(13，cbabac1)11(41)(13式两边相加，得cbacbabacacbcba111)111(21)(1)(1)(1333)111(21)(1)(1)(1333cbabacacbcba所以原不等式成立，证毕。注： “41”的来由：不等式akcbkcba21111112当且仅当cba时取等号，得14k。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页