南昌大学概率论边缘分布ppt课件.ppt

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1、1小结小结 联合联合 分布分布函数函数离散型离散型连续型连续型),(),(),(),(,211112222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP 联合分布列联合分布列 联合概率密度联合概率密度j ijipyYxXP, 2, 1, jiyyxxj ijipyYxXPyxF,),(yxdudvvufyxF),(),(dxdyyxfGyxPyxfyxyxFG),(),(),(),(2X 与与Y 的联合分布的联合分布 ,),(yYxXPyxF非负性非负性 规范性规范性 ),(yxf2 某产品件某产品件,其中有件次品其中有件次品.每次从中抽取一件每次从中抽取一件,不不放回，抽取两次放回，抽取两次,

2、分别以分别以X、Y表示第一、二次取到的表示第一、二次取到的次品件数次品件数, 试求试求(X,Y)的分布律的分布律2812862862815ij|XYPiXPji,YXP (X,Y)的所有取值为的所有取值为(i, j), i, j = 0,1 由乘法公式有由乘法公式有XY0 1013 二维联合分布全面地反映了二维随机变量二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律的取值及其概率规律. 而单个随机变量而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布也具有自己的概率分布. 那么要问那么要问:二者之间有二者之间有什么关系呢什么关系呢?这一节里这一节里,我们就来探求这个问题我们就来探求这个问

3、题 .3.2 边缘分布边缘分布 4二维随机变量二维随机变量 (X,Y)作为一个整体作为一个整体,具有分布函具有分布函数数 ,F x y而而 和和 都是随机变量都是随机变量 ,XY也有各自的分也有各自的分布函数布函数,分别记为分别记为 ,XYFxFy XFxP Xx变量变量 (X,Y) 关于关于 X 和和 Y的边缘分布函数的边缘分布函数.依次称为二维随机依次称为二维随机 ,YFyP YyP XYyFy 一、边缘分布函数一、边缘分布函数 ,P Xx Y ,F x说明说明, ,已知联合分布函数已知联合分布函数, ,可以确定边缘分布可以确定边缘分布函数函数. .5边缘分布的几何意义：边缘分布的几何意义

4、：FX(x)的函数值表示的函数值表示随机点随机点(X,Y)落入如下左图所示区落入如下左图所示区域内的概率域内的概率； FY(y)的函数值表示的函数值表示随机点随机点(X,Y)落入如下右图所示区落入如下右图所示区域内的概率。域内的概率。O x xO xyyy6解解 (X,Y)关于关于X的边缘分布函数的边缘分布函数 0.50.50.5()0.5( )( ,)lim( , )lim10100000Xyxyx yxyFxF xF x yeeexexxx 二、二维离散型随机变量的边缘分布二、二维离散型随机变量的边缘分布 二维离散型随机变量二维离散型随机变量(X,Y)的分布律的分布律为为: PX=xi,Y

5、=yj=pij (i, j=1,2,)则则: PX=xi=PX=xi,Y+ =pi 1,jjiyYxXP 1jijp同理同理: 分别称分别称pi (i=1,2,)和和pj (j=1,2,)为为X和和Y的的边缘分布律边缘分布律 另有另有:=pjFY (y)= F(+ ,y)FX (x)= F(x,+ ) 1iijjpyYP xxjijip iyyijjp点点 表示表示 pij 对于该点所在位置的变量求和对于该点所在位置的变量求和 9例例1 设设(X,Y)的分布律如下的分布律如下:Y X0 1 2011/4 1/6 1/81/4 1/8 1/12 求求 X和和Y的边缘分布律的边缘分布律解解: X的

6、边缘分布律的边缘分布律: , i=0, i=1, i=2, j=0, j=1Y的边缘分布律的边缘分布律: pi= pj=214141 2478161 24512181 2413816141 24111218141 或直接在表格上或直接在表格上:Y X0 1 2pj011/4 1/6 1/81/4 1/8 1/12pi1/2 7/24 5/2413/2411/241 ijijp13FX ( x ) = F( (x, + ) )X 和和Y 的联合分布函数为的联合分布函数为F( (x, ,y ),),则则( (X,Y ) )关于关于X 的的边缘分布函数边缘分布函数为为(X,Y) 关于关于Y 的的边缘

7、分布函数边缘分布函数为为),(limyxFy 三、连续型二维随机变量的三、连续型二维随机变量的边缘概率密度边缘概率密度xdudyyuf),( xyydudvvuf),(limxdudyyuf),( xXXtdtfxF)()(yYdvdxvxfyF),()( ( (X,Y ) )关于关于Y 的的边缘概率密度边缘概率密度为为dxyxfyfY),()(则则( (X,Y ) )关于关于X 的的边缘概率密度边缘概率密度为为dyyxfxfX),()(例例2 设随机变量设随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为求求: X和和Y的边缘概率密度的边缘概率密度解解:0 ,其它其它=0 x1 其它其它 , 020

8、 , 10 ,31),(2yxxyxyxfdyyxfxfX ),()(, )31(202dyxyx =0 ,其它其它0y2dxyxfyfY ),()( 其它其它 , 010 ,3222xxx, )31(102dxxyx 其它其它 , 020 ,6131yy 在求连续型随机变量的边缘密度时，往往要对联合密度在一在求连续型随机变量的边缘密度时，往往要对联合密度在一个变量取值范围上进行积分个变量取值范围上进行积分.当联合密度是当联合密度是分段函数分段函数时，在计算积分时，在计算积分时应特别注意积分限时应特别注意积分限 . 16题题 设设( (X,Y ) )的概率密度是的概率密度是,0; 10,6),

9、(2其它其它xxyxyxf解解 dyyxfxfX),()(求求边缘密度边缘密度. dxyxfyfY),()(分段函数积分应注意其表达式分段函数积分应注意其表达式 ;10 x;10 y ,62xxdy ，yydx6 yx 0 1 y = x y = x2 yx .,0其其他他.,0其其他他17 yx - -a 0 a 例例3 设设( (X,Y ) )服从椭圆域服从椭圆域 上的均匀分布上的均匀分布, ,求求12222 byax( (1) ) 求求( (X,Y ) )的的边缘密度函数边缘密度函数 ;)(),(yfxfYX 解解 ( (1) ) ,0;1,1),(2222其其它它byaxbayxf 由

10、题知由题知( (X, ,Y ) )的概率密度为的概率密度为 dyyxfxfX),()(同理可得同理可得 .,0;,12)(22bybybybyfY ( (2) ) AdxdyyxfAYXP),(),( ( (2) ) , ,其中其中A为区域为区域: 0, 0, yxayx),( AYXPX 与与Y 不服从不服从均匀分布均匀分布 ,1222211axaxbbdyba ;1222axa ，ax |,0axadybadx001 ;|ax .2 ba 二维均匀分布的两个二维均匀分布的两个边缘密度未必是边缘密度未必是均匀分布的均匀分布的二维正态分布的边缘密度仍服从正态分布二维正态分布的边缘密度仍服从正态

11、分布221axby221axby yx a0 a Gx+y =a 二维正态分布的边缘分布仍是正态二维正态分布的边缘分布仍是正态分布分布例例4 设设(X,Y)服从二维正态分布服从二维正态分布,其概率其概率密度为密度为:求求: X和和Y的边缘概率密度的边缘概率密度) 2()1(212222121),(yxyxeyxf x+ , y+ ,解解:令令,得得:dyyxfxfX ),()(dyeyxyx )1(2 22222121 dyeexyx )1(2) (22222112 txy 21 dteexftxX 22222)( 同理同理,得得:dteetx 2222212 2221xe 2221)(yYe

12、yf 可见可见, (X,Y)N( 1, 2, 12, 22, )XN( 1 , 12), YN( 2 , 22)21J 说明说明对于确定的对于确定的 1 1, , 2 2, , 1 1, , 2 2 , ,当当 不同时，对应不同时，对应了不同的二维正态分布。了不同的二维正态分布。对对这个现象的解释是这个现象的解释是: :边缘概率密度只考虑了边缘概率密度只考虑了单个分量的情况单个分量的情况, ,而未涉及而未涉及X X与与Y Y之间的关系之间的关系. . (X X1 1 ,X ,X2 2 ) ) N(N( 1 1, , 2 2, , , ) ) X X1 1 X X2 2 ( (与参数与参数 无关

13、无关) ),(211N),(222N2221,22例例5 若二维随机变量若二维随机变量( (X,Y) )的的概率密度为概率密度为 , )sinsin1(21),(222yxyxeyxfyx 求边缘密度函数求边缘密度函数 .)(),(yfxfYX 解解dyyxfxfX),()(dyyxeeeyyx)sinsin(21222222 ;,2121222222xeydeexyx 同理同理.,21)(22yeyfyY . )1,0(; )1,0(NYNX 二维正态分布性质二维正态分布性质二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布的二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布的正态分布的联合分布未必是正态分布正态分布的联合分布未必是正态分布但反之不真但反之不真23 X X与与Y Y之间的关系这个信息是包含在之间的关系这个信息是包含在(X,Y)(X,Y)的联合概率密度函数之内的的联合概率密度函数之内的. . 在下一章将指出在下一章将指出, ,对于二维正态分布而对于二维正态分布而言言, ,参数参数 正好刻画了正好刻画了X X和和Y Y之间关系的密切程之间关系的密切程度度. . 因此因此, ,仅由仅由X X和和Y Y的边缘概率密度的边缘概率密度( (或边缘或边缘分布分布), ), 一般不能确定一般不能确定(X,Y)(X,Y)的概率密度函数的概率密度函数( (或概率分布或概率分布) )