2019年第4章玻色统计和费米统计ppt课件.ppt

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1、1，金属固体的热容量/低温固体的热容量2，空腔热辐射问题中的“紫外灾难”1legalllllaUlllleg1llllleeg1lnUllleg1lnlnllgle1ksai：称为巨配分函数llaNllleg1lllleeg1对比巨配分函数lnN平均粒子数N广义力YYdXdW XUYlllXaXYln1对于PVT系统VPln1用类似玻耳兹曼系统的方法，可计算出玻色系统的熵lnlnlnkS其中kT1kT说明： 1，对于玻色系统，可通过巨配分函数计算基本热力学函数U, P, S 2，再通过基本热力学函数计算出其它热力学量玻色系统 费米系统巨配分函数llgle1llgle1llleg1lnlnlll

2、eg1lnln内能lnUXYln1广义力/状态方程lnlnlnkS熵在体积V内，d范围内的微观状态数： dmhVgdD2123322则系统粒子数为： dDeN11demhVgN12221233“”表示费米气体，“”表示玻色气体 g表示因自旋引起的状态增加系统的内能为：demhVgU12223233方便推导起见，令x= 021233122xedxxmkThVgN023233122xedxxmkThVgU11xe考虑xxee11xxee1代入N和U的积分，即可得到：eVehmkTgN232322112eVkTehmkTgU25232211223eNkTU241123即：说明：1：在弱简并情况下，内

3、能表达式分为两部分。2：在玻耳兹曼分布的基础上，考虑到系统的弱简并性（此时玻色分布和费米分布不能通过简并性条件利用玻耳兹曼分布的结果），增加了一项附加内能。3：对于费米系统，附加内能为正；对于玻色系统，附加内能为负。 有关概念： 1，“紫外灾难” 2，热辐射，黑体，绝对黑体，黑体辐射，空腔辐射场电磁辐射场光子气体光子是一种准粒子kp其中k称为波矢，是电磁波方向2长度上的波数。光子的自旋为s=1，为玻色子 .玻色系统单态平均粒子数： 11ef光子系统有其特殊性常数llapcm , 00 11kTefdpphV234dpphV2383238cdhV32338cdhV dcVdg232 dgfddN

4、1232kTedcV ,1,332kTedcVdTUVdTUdTu, 11kTefVdTUdTu,18,33kThedhcdT1，瑞利-金斯用传统理论推导出辐射能量正比于328cd此结论导致“紫外灾难”，并且动摇了经典物理的基础。2，普朗克公式考虑光能量按h传播量子力学的萌芽。 11kTef1，低频2，高频1,332kTedcVdTUkTkTe1kTdcVdTU232,瑞利-金斯公式，导致“紫外灾难”1kTedecVdTUkT332,维恩公式，1896年0,dTVU4153342VTUck11,332kTedcdTu0,TumTm维恩位移定律，1893年kp常数llapcm , 00 11kT

5、ef称为 爱因斯坦凝聚。Tc凝聚温度，临界温度基态与激发态发生爱因斯坦凝聚时粒子数的变化 11kTsef 0sf0s000skTseN11 110kTeTN TNNTN0 NTNN1 0dDfTN而当系统温度大于临界温度时，基态粒子数可忽略不计 cTNN0/21232122ckTedhmV 23cTTNTN 2301cTTNTN0/21232122kTedhmV cTNN0/21232122ckTedhmV322612. 22VNmkhTc四，凝聚温度 五，玻色气体的热容量 0dDfU0/23232122ckTedhmV0/23232122ckTedhmV23770. 0cTTNkTVVTUc

6、23925. 1cTTNk六，He4的相变 1938年London用类比的方法解释He4的超流动性1995年实现了碱金属87Rb, 23Na和7Li蒸汽的玻色凝聚。 考虑高温时cv=3/2 NK，结果画在同一个图里，如右所示。一，T=0K时 FFf01 dDdhmV2123222 FFdhmVdN02221232费米能F一，T=0K时 dNU0考虑温度为0K时，上面积分的上下限可确定。则： FdNU00FdhmV02323222252325222FhmV FdNN0FdhmV02123222232323222FhmV再考虑粒子数FNU530322432VNmhF可计算出费米气体的零点能:费米能

7、，0K时的粒子化学势.二，T0K时 三，费米气体的热力学量 FFTNkNU222453FFVTNkVNP222652FkTNkS22四，金属中的自由电子气体金属模型：离子具有一定的结构，骨架；价电子公有电子，并且考虑电子之间相互作用很弱，以及电子与粒子场受力平均。 对于Cu,Ag,Au,碱金属，每个原子提供一个电子。则：原子数N=自由电子数N；金属体积V=自由电子气体V；金属温度T=自由电子温度T。 五，一些概念：费米能，费米温度，费米动量，费米速度 dN124/21232kTehmVF322832VNmhFFkT当TE时，有：TTEEe1NkcV3当TE时，有：1TEeTEVEeTNkc23

8、高温符合实验结果：杜隆伯替定律；低温定性符合实验规律cv0。缺点：不能给出T3的规律。1：德拜模型：修改了爱因斯坦模型。认为3N个振子不以同一频率振动，而各自具有不同的频率1，2，3，每个振子的平均能量为：12kTe总能量为：NkTeU31121从形式上解决了问题，求出U，则：VVTUc但1，2，3，均需实验确定，N为极大的数量，全确定不可能。需要用其它方法解决此问题。则提出了德拜频谱。2：德拜频谱：通过低频下的电磁波驻波数目： dcVdg232普朗克公式在低频下的极限推论。对于固体，有： dgdvVt222dvVl2222上式中第一项是弹性驻波在d内的横波数目，第二项是纵波数目，不考虑偏振，

9、相同情况下是横波数目的一半。而总驻波数目为3N，即： NdgD30D最大驻波圆频率。由上积分计算得：22232129tlDvvVN则可用D表示g()d为：dNdgD239)(德拜频谱。D德拜频率，是待定参量，习惯上用德拜温度D来表示。Dk德拜频率测量方法：1，测量驻波速率；2，热容量标定。3：热容量：考虑的连续分布，求和变为积分：NkTeU31121 DdgU021 DdgekT01代入德拜频谱dNdgD239)(DNU89DkTDedN03319DN89 xDNkT 3其中D(x)称为德拜函数xyedyyxxD03313)(kTyTkTxDD验证实验结果：NkTNkUD389高温时：NkTU

10、cVV3低温时：T1，则：xyedyyxxD03313)(345DT345389DDTNkTNkU33453TTNkcDV1，试简要说明什么是爱因斯坦凝聚现象？回答要点：（1）：对玻色系统而言。（2）：T较高时，基态N00，激发态N(T)N。（3）：当TTc（临界温度，凝聚温度），N0(T)随温度T下降而显著增加。当T=0K时，N0(T)=N。（4）：在T=Tc处发生了相变现象，大量玻色子在动量空间凝聚到动量最低的状态。2，简要介绍统计物理对固体热容量试验定律的解释。回答要点：（1）：实验表明：a,高温时cv=3R（杜隆伯替定律）；b,T0时，cv0；c,且有在低温时，cv与T3成比例。（2）：经典的能量均分定理，可解释a；（3）：爱因斯坦利用固体的谐振子模型，解释当T0时，cv0 。但不能给出T3的规律。（4）：德拜修改了爱因斯坦的单一频率谐振子模型，引入了德拜频谱，成功地解释了实验定律。3，根据普朗克公式1)(332kTedcVdU辐射场的能量密度随频率的分布有极大值m，试证明：Tm（此结论称为维恩位移定律）