概率3-3二维随机变量函数分布ppt课件.ppt

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1、概率论概率论 随机变量相互独立的定义随机变量相互独立的定义 课堂练习课堂练习小结小结 布置作业布置作业第四节第四节 相互独立的随机变量相互独立的随机变量概率论概率论 两事件两事件 A , B 独立的定义是：若独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件则称事件 A , B 独立独立 .设设 X,Y是两个是两个r.v，若对任意的，若对任意的x,y,有有)()(),(yYPxXPyYxXP 则称则称 X 和和 Y 相互相互独立独立 .一、随机变量相互独立的定义一、随机变量相互独立的定义概率论概率论 )()(),(yFxFyxFYX用分布函数表示用分布函数表示,即即 设设 X,Y是两个是两个

2、r.v，若对任意的，若对任意的x,y,有有则称则称 X 和和 Y 相互相互独立独立 . 它表明，两个它表明，两个r.v相互相互独立时，它们的联合分布函独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积数等于两个边缘分布函数的乘积 .概率论概率论 ),(yxf其中其中是是X和和Y的联合密度，的联合密度，)()(),(yfxfyxfYX 几乎处处成立，则称几乎处处成立，则称 X 和和 Y 相互相互独立独立 .对任意的对任意的 x, y, 有有 若若 (X,Y)是连续型是连续型r.v ，则上述独立性的定义，则上述独立性的定义等价于：等价于：这里这里“几乎处处成立几乎处处成立”的含义是：在平面上除的

3、含义是：在平面上除去面积为去面积为 0 的集合外，处处成立的集合外，处处成立.分别是分别是X的边缘密度和的边缘密度和Y 的边缘密度的边缘密度 .)(),(yfxfYX概率论概率论 若若 (X,Y)是离散型是离散型 r.v ，则上述独立性的定义等，则上述独立性的定义等价于：价于：)()(),(jijiyYPxXPyYxXP则称则称 X 和和Y 相互相互独立独立.对对(X,Y)的所有可能取值的所有可能取值(xi, yj),有有概率论概率论 例例1 设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为其它, 00, 0,),()(yxxeyxfyx问问X和和Y是否独立？是否独立？ 二、例题二、例题概率论概率论 若

4、若(X,Y)的概率密度为的概率密度为其它,y, yx,)y, x(f01002情况又怎样？情况又怎样？解解),1 (22)(1xdyxfxXyYydxyf0,22)(0 x1 0y1 由于存在面积不为由于存在面积不为0的区域，的区域，)()(),(yfxfyxfYX故故 X 和和 Y 不独立不独立 . 概率论概率论 例例2 甲乙两人约定中午甲乙两人约定中午12时时30分在某地会面分在某地会面.如果甲如果甲来到的时间在来到的时间在12:15到到12:45之间是均匀分布之间是均匀分布. 乙独立乙独立地到达地到达,而且到达时间在而且到达时间在12:00到到13:00之间是均匀分布之间是均匀分布. 试

5、求先到的人等待另一人到达的时间不超过试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的分钟的概率概率. 又甲先到的概率是多少？又甲先到的概率是多少？概率论概率论 类似的问题如：类似的问题如： 甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的 . 若甲船需停泊若甲船需停泊1小时，乙船需停泊小时，乙船需停泊2小时，而该码头小时，而该码头只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出的概率的概率.概率论概率论 在某一分钟的任何时刻，信号进入收音

6、机是等在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等可能的可能的. 若收到两个互相独立的这种信号的时间间若收到两个互相独立的这种信号的时间间隔小于隔小于0.5秒，则信号将产生互相干扰秒，则信号将产生互相干扰. 求发生两信求发生两信号互相干扰的概率号互相干扰的概率.概率论概率论 盒内有盒内有 个白球个白球 , 个黑球个黑球,有放回地摸球有放回地摸球 例例3 两次两次.nm设设1,0,X 第第1次摸到白球次摸到白球第第1次摸到黑球次摸到黑球1,0,Y 第第2次摸到白球次摸到白球第第2次摸到黑球次摸到黑球试求试求 ,X Y(1) 的联合分布律及边缘分布律的联合分布律及边缘分布律;,XY(2) 判断判断 的

7、相互独立性的相互独立性;(3) 若改为无放回摸球若改为无放回摸球,解上述两个问题解上述两个问题.概率论概率论 YX01 222mnmnnmnjp ip 222mmnmnmn01m mnn mnn mn m mn ,X Y(1) 的联合分布律及边缘分布律的联合分布律及边缘分布律解解如下表所示如下表所示 :(2) 由上表可知由上表可知ijijppp ,0,1i j ,XY故故 的相互独立的相互独立.概率论概率论 ,X Y(3) 的联合分布律及边缘分布律如下的联合分布律及边缘分布律如下表所示表所示 :YX01jp ip 01nmn mmn 11m mmnmn mmn nmn 1mnmnmn 1mnmnmn 11n nmnmn 概率论概率论 ,XY故故 不是相互独立不是相互独立.由上表知由上表知 : 1(0,0),1m mP XYmnmn 0,mP Xmn 0.mP Ymn 可见可见 (0,0)00 .P XYP XP Y概率论概率论 这一讲，我们由两个事件相互独立的概念这一讲，我们由两个事件相互独立的概念引入两个随机变量相互独立的概念引入两个随机变量相互独立的概念. 给出了各给出了各种情况下随机变量相互独立的条件，希望同学种情况下随机变量相互独立的条件，希望同学们牢固掌握们牢固掌握 .四、小结四、小结概率论概率论 五、布置作业五、布置作业习题三习题三 6, 7, 11