2022年西安交通大学-计算方法A上机实习报告.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - XXXX 学 院运算方法上机试验报告专业：班级：姓名：学号：日期：1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一、用列主元 Gauss消去法解线性方程组Ax=b,其中：A11111111,b82111111193211111111432111111454321111186543211123765432112987654321361.1 算法组织消去法的中心就是“ 降维”,即：将求解 n 元方程组的问题转化为先解n-1元方程组,一旦这个 n-1 元方程组的解取得, 就剩余的

2、一个未知量自然可以求得；这样逐步削减未知量个数的方法,便是求解多元方程组的一个重要思想；列主元消去法的基本思想是： 在进行第 k 步消元时,从第 k 列的对角线及其以下的各元素中选取肯定值最大的元素, 然后通过行变换将它交换到主元素的位置上,再进行消元；算法步骤如下：（1）选主元：在子块的第一列中挑选一个元 k a i k k使k a kkmax k i nakik并将第 k 行元与第ki 行元互换；（2）消元运算：对 k=1,2, n-1 依次运算 km ikakakiki,1k2 ,n2 ,n,nik1kkakak,jk,1k a ijkm ikijkj b ik1 b ikm ik b

3、kkik,1k2 ,（3）回代求解xn b nnannaixj a iii b iinnxijiij12 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - in1 n2 ,1,1.2 运算结果及分析运行 matlab 程序,输入系数矩阵和行向量,运行结果如下图所示；求解结果和理论值相同,说明算法组织和matlab 程序的正确性；二、求 20 阶三对角方程组 Tx=f 的解,其中：T21121,xx x 2,x 20T 121f 1,0,T ,0, 1122.1 算法组织 系数矩阵 T 是一种特别的稀疏矩阵,在三次样条插值或者差分算

4、法求解常微分方程边值问题中常会遇到,系数矩阵T 可以分解为一个上二对角阵和一个下二对角阵, 方程的求解问题转换为两个方程组的求解,相当于 Gauss消元法的部分称为“ 追” ,相当于回代的过程称为“ 赶”1 输入三对角矩阵 T 和右端向量 f ；,追逐法的详细步骤如下：2 预处理：将 T 压缩为四个一维数组a i、b、c i、fi,将分解矩阵压缩为三个一维数组li、u i、y i3 追的过程：u 1b y 1f13 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - i2nlia u i11u ib il c1y if il y4

5、回代求解,赶的过程xny nc x i i1u kx iy i5 停止,输出结果2.2 运算结果及分析利用 matlab 编写追逐法程序,运行程序依据提示输入下对角元素、对角线元素、上对角元素以及右端的行向量,运算过程及结果如下图所示；体会证,计算结果和理论值相同,说明白算法和编程实现的精确性；三、用 Jacobi 和 Gauss-Seidel方法求解线性方程组,某电流的电路方程满意方程组：28 i 13 i215 i 45 i 5103 i 138 i210 i3010 i225 i 305 i245 i 430 i 5015 i 30试用 Jacobi 和 Gauss-Seidel迭代法解

6、之,使误差小于0.001；3.1 算法组织4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 将原始线性代数方程组Axb 改写为x x 的形式,其中 x 为 x 的矩阵 k 1 k 函数；于是可以得到迭代格式：x x ,此即为 Jacobi迭代法的迭代格式； k 1 k 假如在运算 x 时,将已经算出的重量立刻代换 x 对应重量,就得到Gauss Seidel迭代法的迭代格式；1. Jacobi 迭代法的算法组织如下：1 给出迭代格式 xk1 xk2 给出迭代初始向量1x 、答应误差和最大迭代次数 N3 依据迭代格式 xk xk

7、进行迭代,直至达满意迭代停止条件1max i nx ik1x ik4 停止,输出结果2. Gauss Seidel迭代法的算法组织如下：1 给出迭代格式 xk1 xkxk对应重量2 给出迭代初始向量x 、答应误差和最大迭代次数 N3 依据迭代格式 xk1 xk,并且将已经算出的重量立刻代换进行迭代,直至达满意迭代停止条件1max i nx ik1x ik4 停止,输出结果3.2 运算结果及分析利用 matlab 编写 Jacobi 迭代法程序,运行程序依据提示输入系数矩阵、右端行向量以及容许误差,运算过程及结果如下图所示；5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 19 页精选

8、学习资料 - - - - - - - - - 利用 matlab编写 Gauss-Seidel迭代法程序,运行程序依据提示输入系数矩阵、右端行向量以及容许误差,运算过程及结果如下图所示；对比分析以上结果可知 ,达到相同的运算精度, GaussSeidel 迭代比 Jacobi迭代的速度慢,迭代次数更多；四、 Newton 插值多项式和三次样条插值多项式已知f x 11x2 1x1,对n5 , 10 , 20251.运算函数f x 在点ix12i, i0, 1, 2 ,n处的值f xi; n2.求插值数据点xi,y ii0,1, 2, n 的 Newton插值多项式Nn x 和三次样条插值多项式

9、S n x ; 2k, k110 ,9099和相应的函数值3.对n5 , 20,运算kx1100ykfxk,Nnxk,S nxk; 4.运算E Nnmax kykNnx k,E S nmax kykS nxk,说明所得到结果；4.1 算法组织4.1.1 求 Newton插值多项式Nn x ,算法组织如下：Newton插值多项式的表达式如下：6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - Nn c0c1xx0cnxx0xx 1xx n1其中每一项的系数ci 的表达式如下：2,xif x0,x 1,x i1c if x 0,x

10、1,x ifx xx ix 0依据上述公式,为了得到系数需运算：a 一阶差商 f x 0 , f x 1 , , f x n b 二阶差商 f x 0 , x 1 , f x 1 , x 2 , f x n 1 , x n c n 阶差商 f x 0 , x 1 , , x n 1 , f x 1 , , x n 1 , x n d n+1 阶差商 f x 0 , x 1 , , x n 1 , x n 4.1.2 求三次样条插值多项式 S n x ,算法组织如下：所谓三次样条插值多项式 S n x 是一种对区间进行分段的分段函数,然后在每一段上进行分析,即它在节点 ix a x 0 x 1

11、x n 1 x n b 分成的每个小区间 x i 1 , x i 上是 3 次多项式,其在此区间上的表达式如下：2 2S x 1 x i x 3M i 1 x x i 1 3M i y i 1 h i M i 1 x i x y i h i M i x x i 1,6 h 6 h i 6 h ix x i 1 , x i ,i 1,2, , .因此,只要确定了 M 的值,就确定了整个表达式,M 的运算方法如下：令：就ih ih i1,ih ih i111ih ih idih i61yi11yiy ih iyi16 x i1,x x ii1h ih iM 满意如下 n-1 个方程：i,n1Mi1

12、2MiiMi1d i,1,2,方程中有 n+1个未知量, 就令M 和M 分别为零,就由上面的方程组可得到7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - Mi1in1的值,可得到整个区间上的三次样条插值多项式S n x ；4.2 运算结果及分析第一部分运行结果其次部分运行结果：n=5 时, Newton 插值多项式Nnn=- 0.000000000000003664*xx5 + 1.202*xx4 + 0.000000000000001465*xx3 - 1.731*xx2 - 0.00000000000000005276*x

13、x + 0.5673 n=10 时, Newton 插值多项式Nnn=- 220.9*xx10 - 0.00000000000005684*xx9 + 494.9*xx8 + 0.0000000000002187*xx7 - 381.4*xx6 + 0.0000000000000964*xx5 + 123.4*xx4 - 0.00000000000002632*xx3 - 16.86*xx2 + 0.0000000000000008847*xx + 1.0 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - n=20 时, Ne

14、wton 插值多项式Nnn=260220.0*xx20 - 1012200.0*xx18 + 0.00000000002561*xx17 + 1639900.0*xx16 - 0.000000000005128*xx15 - 1443300.0*xx14 + 0.000000000007088*xx13 + 757330.0*xx12 - 0.00000000008592*xx11 - 245220.0*xx10 + 0.00000000001925*xx9 + 49322.0*xx8 + 0.000000000003205*xx7 - 6119.0*xx6 + 0.0000000000001

15、079*xx5 + 470.8*xx4 - 0.0000000000001146*xx3 - 24.14*xx2 + 0.00000000000000572*xx + 1.0 n=5 时,三次样条插值多项式f = - 1.965*t3 - 5.06504*t2 - 4.16107*t - 1.02257, 8.57202*t3 + 16.009*t2 + 9.88828*t + 2.09951, - 21.1146*t3 - 13.6776*t2 - 0.00726356*t + 1.0, 21.2454*t3 - 13.6776*t2 - 0.00726356*t + 1.0, - 9.22

16、574*t3 + 16.7935*t2 - 10.1643*t + 2.12856 n=10 时,三次样条插值多项式f = - 0.0694247*t3 - 0.0604978*t2 + 0.161278*t + 0.190813, 1.3153*t3 + 3.33838*t2 + 2.94218*t + 0.94924, - 1.33175*t3 - 1.71509*t2 - 0.273666*t + 0.267091, 16.726*t3 + 22.9092*t2 + 10.9192*t + 1.96298, - 36.235*t3 - 20.4226*t2 - 0.898565*t +

17、0.888637, 0.00534817*t3 - 10.5388*t2 - 0.0000441997*t + 0.915865, 36.2136*t3 - 20.4138*t2 + 0.897681*t + 0.888661, - 16.6512*t3 + 22.8392*t2 - 10.8986*t + 1.96105, 1.05365*t3 - 1.30377*t2 + 0.0754743*t + 0.298313, - 0.277758*t3 + 1.23801*t2 - 1.54202*t + 0.641417 n=20 时,三次样条插值多项式f = 0.166208*t3 + 0.

18、601713*t2 + 0.778802*t + 0.381759, 0.260135*t3 + 0.856657*t2 + 1.00947*t + 0.451324, 0.439278*t3 + 1.29172*t2 + 1.36166*t + 0.54636, 0.766898*t3 + 1.99376*t2 + 1.86312*t + 0.665756, 1.43578*t3 + 3.23598*t2 + 2.63211*t + 0.824436, 2.70965*t3 + 5.23777*t2 + 3.68067*t + 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 19

19、 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1.00752, 5.55772*t3 + 8.89958*t2 + 5.25001*t + 1.23171, 8.44392*t3 + 11.7858*t2 + 6.21208*t + 1.33861, 2.75729*t3 + 7.72389*t2 + 5.24496*t + 1.26185, - 93.2743*t3 - 33.4325*t2 - 0.634519*t + 0.981876, - 0.0000138825*t3 - 20.1076*t2 + 0.0000000314796*t + 0.991947, 93.2743*t

20、3 - 33.4325*t2 + 0.634519*t + 0.981876, - 2.75748*t3 + 7.72399*t2 - 5.24498*t + 1.26185, - 8.4432*t3 + 11.7852*t2 - 6.21194*t + 1.33859, - 5.56042*t3 + 8.90243*t2 - 5.25101*t + 1.23182, - 2.6996*t3 + 5.22424*t2 - 3.67464*t + 1.00663, - 1.47329*t3 + 3.29719*t2 - 2.66523*t + 0.830383, - 0.626907*t3 +

21、1.72533*t2 - 1.69218*t + 0.629594, - 0.961731*t3 + 2.44281*t2 - 2.20466*t + 0.751614, 1.68969*t3 - 3.99635*t2 + 3.00799*t - 0.654974 第三部分运行结果：n=5 时,从左至右,函数值,牛顿插值,三次样条插值n=20 时,从左至右,函数值,牛顿插值,三次样条插值10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第四部分运行结果 当 n=5 时：ENn = 0.432692307692308；ESn

22、 = 0.128807360154696；当 n=10 时：ENn =1.915643050219580；ESn = 0.084135000000000；当 n=20 时：ENn = 58.278125107950132；ESn = 0.045126353790614；由上面的结果显示,相同的n 值下, Newton 插值多项式误差比三次样条多项式要打的多；使用 Newton 插值多项式显现随着 n 的增大,误差也逐步增大的现象,其最大误差达到 58.27813,而相应的三次样条插值多项式随着 n 的增大,误差逐步减小, n=20 的误差仅为 0.003088；可见, n 越大, Newton

23、 插值越可能偏离被插值函数, 而相应的三次样条插值就能更接近于被插值函数；因此,三次样条更合适进行插值运算；五、分别用 n=2,4,8,16 的复化 Simpson公式求积分方程43 x5 x22 x5111txy t dty x 0,1的一8 x2 10的近似解；然后用三次样条插值函数近似yt的离散近似解,并在区间11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 些点上与真解y x x1比较；2 15.1 算法组织复化梯形公式的递推算法求积分的主要思想是利用如干小梯形的面积代替原方程的积分,当精度达不到要求时, 可以通过

24、增加点数对已有的区间再次划分,达到所需精度时即可；5.2 运算结果及分析梯形求积 n = 2 时求解的离散值为：0.000000 1.098016 0.500000 0.498214 1.000000 0.259524 梯形求积 n = 4 时求解的离散值为：0.000000 1.024813 0.250000 0.659179 0.500000 0.457989 0.750000 0.334440 1.000000 0.252275 梯形求积 n = 8 时求解的离散值为：0.000000 1.006236 0.125000 0.795651 0.250000 0.644819 0.3750

25、00 0.533035 0.500000 0.447845 0.625000 0.381390 0.750000 0.328513 0.875000 0.285718 1.000000 0.250565 0.000000 1.001561 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 0.062500 0.887286 0.125000 0.791507 0.187500 0.710436 0.250000 0.641206 0.312500 0.581616 0.375000 0.529954 0.437500 0.

26、484872 0.500000 0.445296 0.562500 0.410362 0.625000 0.379372 0.687500 0.351751 0.750000 0.327027 0.812500 0.304807 0.875000 0.284763 0.937500 0.266619 1.000000 0.250141 和三次样条结果对比分析,如下图所示：13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 19 页精选学习资料 - - - - -

27、 - - - - 从上面的结果图可以看出, 随着 n 的增大, 梯形求积分结果精确度增加,当n=16 时,结果已经特别精确；15 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 六、用 Romberg 方法运算定积分：I0.83 xsin dx,f01使误差不超过0.3x105；6.1 算法组织在变步长积分的基础上,可以证明变步长积分的结果IfT 2n1T 2nT n3与复化 Simpson 求积公式的关系为：S nIfT 2n411T 2nT n同理可以证明CnS 2n4211S 2nS nRomberg 递推公式；R nC

28、2n11C2nCn3 4如此进行下去即为Romberg 积分方法,以上称为6.2 运算结果及分析利用 matlab 编写程序,运行程序依据提示输入参数,运算过程及结果如下图所示；七、用 Newton 迭代法解如下的方程组x2y22z21.0初始向量为（1.0 ,1.0 ,1.0 ）2x2y24z1.0 ,3x24yz21.07.1 算法组织a 先构造牛顿迭代函数,rxf x /f x ；16 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - b 设置初始值x0和精度范畴 eps；c 进行第一次迭代 r x 0f x 0 / f

29、x 0；0d 判定 | r x | eps是否成立, 如成立就迭代完成, 如不成立就连续迭代；0e 迭代直到 | r x | eps成立迭代完成；7.2 运算结果及分析利用 matlab 编写程序,运行程序依据提示输入参数,运算过程及结果如下图所示；结果分析,运算结果在误差范畴内,符合要求；八、用 Runge-Kutta 方法运算高阶方程的初值问题；yyyy2t3y t t te2 t1做比较；y01,y03,y02分别去步长 h=1/2,1/8, 1/32,1/128,运算 y1并与解析解8.1 算法组织1.输入待求微分方程f t y t ,自变量的范畴 , a b ,初值y0,步长 h,以

30、及求解范畴内的取点数 n；2. 求解17 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - y i1y i1 6K12K22 K3K4K1hf x y i1K 1K2hf x ih,y i22K3hf x ih,y i1K222K4hf x ih y iK38.1 运算结果及分析利用 matlab 编写程序,运行程序依据提示输入参数,运算过程及结果如下图所示；从上边运算结果可以看出,随着步长的减小,运算值和理论值误差快速降低；18 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 九、总结通过对本次上机题,学习和把握了基本的matlab 编程方法和技巧,以及matlab 在数值求解和运算中的优点； 在完成各个题目的过程中, 深化了理论学问 的学习,编写 matlab 算法实现了运算过程的自动化,并不通过不同参数变化对结果影响的对比分析,进一步熟悉了不同算法的实际应用；19 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 19 页