2022年考研高等数学公式.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本高 等 数 学 公 式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：一些初等函数：xtgxsec2xxarcsinx112CCCx2ctgxc sc21secxsecxtgxarcc osx1xcscxc scxctgxarctgx11x2axaxlnalogaxx1a1u2,utgx,dxarcctgx11lnx2sinx12 u2,cos x2duu1u221u2tgxtgxdxlncosxCdx2xsec2xdxcosctgxdxlnsinxCdx2xcsc2xdxctgxsecxdxlnsecxtgxCsin

2、CsecxtgxdxsecxcscxdxlncscxctgxCcscxctgxdxcscxCdx21arctgx aCaxdxaxCa2xadx21lnxa aClnax2a2x2a2axshxdxchxCdx21lnax xCchxdxshxCa2x2aaxdxa2lnxdxx aCx2arcsin2a2exexIn2sinnxdx2cosnxdxnn1In2C00dxxx2a2a2lnxx2a2x2a222x2a2dxxx2a2a2lnxx2a2C22a2x2dxxa2x2a2arcsinxC22a两个重要极限：lim x0sinx1双曲正弦:shx2x双曲余弦:chxexlim x 11

3、xe2.718281828459045.exexx2shxex双曲正切:thxchxexexarshxlnxx21）archxlnxx21arthx1ln121x三角函数公式： 诱导公式：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本 和差角公式：sincoscos函数sin cos tg ctg 角 A -sin cos -tg -ctg 90-cos sin ctg tg 90+cos -sin -ctg -tg 180-sin -cos -tg-ctg 180+-sin -cos tg ct

4、g 270-cos -sin ctg tg 270+-cos sin -ctg -tg 360-sin cos -tg -ctg 360+sin cos tg ctg 和差化积公式：sinsinsinsin2sin2cos2coscoscossinsintgtgtg1sinsin2cos2sin21tgtgcoscos2cos2cos2ctgctgctgctgctgcoscos2sin2sin2 倍角公式：sin212sincos112sin2cos2sin2sin33 sin4sin3cos222 cosctg2ctg21cos34cos333cos2ctg3 tgtgtg3tg22 tg1

5、3 tg2tg2 半角公式：sin21coscos21cosb2sin uvn22tg21cos1cos1sinctg21cos1cos1cossincos1cossin1cos 正弦定理：aAbBcC2R 余弦定理：c2a22 abcosCsinsinsin 反三角函数性质：arcsinx2arccosxarctgx2arcctgx1 unk vk高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz ）公式：uv nnk C nunkvkk0unvnun1 vn n1 un2vn n1nk.2k .中值定理与导数应用：名师归纳总结 拉格朗日中值定理：fbfafba第 2 页,共 10 页柯西中值定理：fb

6、fafFb FaF当Fx x 时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本曲率：弧微分公式：dss1:y2dx,其中ytg化量；s：M M弧长；平均曲率：K.从M点到M点,切线斜率的倾角变 1yy23.dM点的曲率：Klim s 0sds直线：K;01 a.半径为a 的圆：K定积分的近似运算：bx x bnay 0y 1y nyn1yy n1yn24 y 1y3yn1矩形法：fbabx na1y 0y 1梯形法：f2abfbay 0y n2 y24抛物线法：3 na定积分应用相关公式：功：W F

7、 s水压力：F p A引力：F k m 1 m2 2 , k 为引力系数rb函数的平均值：y 1 f x dxb a ab均方根：1f 2 t dtb a a空间解析几何和向量代数：名师归纳总结 空间2 点的距离：dM1 M2x 2x 12y2y 12z 2z 12第 3 页,共 10 页向量在轴上的投影：PrjuABABcos,是AB 与u轴的夹角；Prjua 1a2Prja 1Prja2ababcosaxb xaybya zb z,是一个数量,两向量之间的夹角：cosax2axbxaaybyb xa zb zy2bz2ay222b为锐角时,zijkcabaxayaz,cabsin. 例：线

8、速度：vwr.b xbybzaxayaz向量的混合积：abcabcb xbybzabccos,c xcycz代表平行六面体的体积；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本平面的方程：1、点法式：Axx00Byy0Cz0z00,其中n2A,B,C,M0x0,y0,z0mt2、一般方程：AxxByCzD0dzAx0By0Cz0D参数方程：xx03、截距世方程：xyz c1ab平面外任意一点到该平面的距离：zA2B2Cxyy0t,p;空间直线的方程：n其中sm,yy0ntmpnzptz0二次曲面：1、椭球面：x22y22z21q同号）

9、a2b2c22、抛物面：x2y2z（p,2p2q3、双曲面：xyz21单叶双曲面：a2b2c2双叶双曲面：x2y2z2（马鞍面）a2b2c2多元函数微分法及应用全微分：dzzdxzdyduu xdxyxu ydyyudzxyz全微分的近似运算：zdzfxx,yxf,y多元复合函数的求导法：uzvzfu t,v tdzzdtutvtvzfux,y,vx ,yzzuzxuxvx当uux,y,vvx,y 时,v xdxv ydyduudxudydvxy隐函数的求导公式：隐函数Fx,y0,dydxu ,F x2,ddxy,xFxyFxdy dxFuFvFy2FyFy隐函数Fx,y,z0,zxFx,z

10、yJFyF,GFFFzFz隐函数方程组：Fx,y,v 0u Gv GGx,y ,u ,v 0GGuGvu,vuvFu1F,Gv1xJx,vxJu,x u1F,Gv1F,GyJy,vyJu,y 微分法在几何上的应用：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本空间曲线xtMx 0,y 0,z 0 处的切线方程：xx 0yy 0zxz 0y,y0,z 0zz 00yt 在点t0t0 t0zt在点M处的法平面方程：t0xx 0t0yy 0t0zz 00如空间曲线方程为：Fx ,y ,z 0,就切向量T

11、FyFz,F zFx,FFGyGzxGxGGx ,y ,z 0GzGyFzx 0曲面Fx ,y,z 0上一点Mx 0,y 0,z 0,就：z 01、过此点的法向量：nFxx 0,y 0,z 0,Fyx0,y 0,z 0,Fzx 0,y0,2、过此点的切平面方程：Fxx 0,y0,z 0xx 0Fyx 0,y 0,z 0yy03、过此点的法线方程：F xx,x 0z 0Fyy,y0z 0Fzz,z 0x 0y0,x 0y0,x0y 0,z 0方向导数与梯度：函数zfx ,y 在一点px ,y 沿任一方向l的方向导数为：ffcosf ysinx 0,y0Clx其中为x 轴到方向l的转角；函数zfx

12、 ,y 在一点px ,y 的梯度：grad fx,yfifjxyj,为l方向上的它与方向导数的关系是：fgradfx,ye,其中ecosisinl单位向量；fxyx 0,y 0B,fyyf是grad fx,y在l上的投影；l设fxx0,y 0fyx 0,y 00,令：fxxx 0,y 0A ,多元函数的极值及其求法：ACB20 时,A,0x 0,y0为极大值为微小值A,0x 0,y 0就：ACB20 时,无极值ACB20 时,不确定重积分及其应用：fx ,y dxdyfrcos,rsinrdrdz2dxdyx2x ,y dDD曲面zfx,y 的面积AD1z2xy平面薄片的重心：xMxDxx ,

13、y d,yMyDyx ,y dMx,ydMx ,y dDD平面薄片的转动惯量：对于x 轴Ixy2x ,y d,对于y 轴IyD0 , 0 ,a, a0 的引力：FD,F y,Fz,其中：平面薄片（位于xoy 平面）对z 轴上质点MFxFxfx ,y xd3,Fyfx ,y yd3,F zfaDxx ,y xd32Dx2y2a22Dx2y2a22y2a22柱面坐标和球面坐标：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本xrcoszdFr,z rdrddz ,sindr2dvdv柱面坐标：yrsin

14、,fx ,y ,z dxdydzzzddrr2sindrdd其中：Fr,z frcos,rsin,z xrsincos球面坐标：yrsinsin,dvrdrsinzrcos2r,fx,y,zdxdydzFr, r2sindrdddFr,r2重心：x1xdv ,y1ydv,0100Mxzdv,其中MMM转动惯量：Ixy2z2dv,Iyx2z2dv,Izx2y曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）： t , t tt,就：yxtt设fx,y 在L 上连续,L的参数方程为：xyfx,ydsf t, t2 t2tdt,特别情形：L标的曲线积分）：其次类曲线积分（对坐设L的参数方程为x t ,就：

15、 t Q t tdtyPx,y dxQx ,y dyP t, t tL两类曲线积分之间的关 系：Pdx Qdy P cos Q cos ds,其中 和 分别为L LL 上积分起止点处切向量 的方向角；格林公式： Q P dxdy Pdx Qdy 格林公式： Q P dxdy Pdx QdyD x y L D x y L当 P y , Q x,即：Q P 2 时,得到 D 的面积：A dxdy 1 xdy ydxx y D 2 L平面上曲线积分与路径 无关的条件：1、G 是一个单连通区域；2、P x , y ,Q x , y 在 G 内具有一阶连续偏导数,且 QP；留意奇点,如 0 0, ,应x

16、 y减去对此奇点的积分,留意方向相反！二元函数的全微分求积：在 QP 时,Pdx Qdy 才是二元函数 u x , y 的全微分,其中：x y x , y u x , y P x , y dx Q x , y dy,通常设 x 0 y 0 0； x 0 , y 0 曲面积分：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本对面积的曲面积分：fx,y,z dsfx ,y ,z x ,y 12 z xx,y2 z yx,ydxdyds对坐标的曲面积分：PDxyx ,y ,z dydzQx ,y ,z d

17、zdxRx,y,zdxdy,其中：R x ,y ,z dxdyR x ,y ,z x ,ydxdy,取曲面的上侧时取正号；Dxyx y ,z ,y ,z dydz,取曲面的前侧时取正号；Px ,y ,z dydzP Dyzx ,y z ,x ,z dzdx,取曲面的右侧时取正号；Qx ,y,z dzdxQ Dzx系：PdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcos两类曲面积分之间的关高斯公式：PQRdvPdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcosds.xyz高斯公式的物理意义通量与散度：的流体质量,如div0 ,就为消逝散度：divPQR,即：单位体积内所产生xyz通量：An

18、dsA ndsPcosQcosRcosds,因此,高斯公式又可写成：divAdvA nds斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：RQdydzPRdzdxQ xPdxdyPdxQdyPRdzyzzxy上式左端又可写成：jdydzdzdxdxdycoscoscosxyzxyzPQRPQR空间曲线积分与路径无RQ,PR x,Q关的条件：yzzxyik旋度：rotAx Py Qz RPdxQdyRdzAtds向量场A沿有向闭曲线的环流量：常数项级数：等比数列：1qq2qn11qn1q等差数列：123nn1n2调和级数：1111 n是发散的23级数审敛法：名师归纳总结 - - - - - - -第 7

19、页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本1、正项级数的审敛法根植审敛法（柯西判0别法）：1；1 时,级数收敛散；设：lim nnun,就1 时,级数发散1 时,不确定2、比值审敛法：1时,级数收敛设：lim nUnn1,就1时,级数发散U1时,不确定3、定义法：lim nsn存在,就收敛；否就发snu1u2un;交叉级数u1u2u3u4或u1u2u3,un 的审敛法莱布尼兹定理：假如交叉级数满意unuun1,那么级数收敛且其和 0su 1,其余项r n 的确定值rnunlim nn确定收敛与条件收敛： 1 u1u2un,其中un 为任意实

20、数；102u 1u2u3u n假如2 收敛,就 1 确定收敛,且称为确定收敛级数；假如2 发散,而 1 收敛,就称 1 为条件收敛级数；调和级数：1发散,而1n收敛；nn级数：1收敛；n2p 级数：1时发散npp1 时收敛1xx2x3xnx1 时,收敛于11xx1 时,发散对于级数3 a 0a 1xa2x2anxn,假如它不是仅在原点收敛,也不是在全幂级数：数轴上都收敛,就必存在R,使xR 时收敛,其中R 称为收敛半径；xR时发散xR时不定0 时,R求收敛半径的方法：设lim nan1,其中an,an1是 3 的系数,就0 时,RRan时,函数绽开成幂级数：名师归纳总结 函数绽开成泰勒级数：f

21、xn1fx 0xx 0fx 0xx 02fnx 0xx 0n第 8 页,共 10 页.2n.余项：R nfn1 xx 0,fx 可以绽开成泰勒级数的2充要条件是：limnR n0n1 .f0 f 0xf0 xfn 0 xnx00 时即为麦克劳林公式：fx.2n .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本一些函数绽开成幂级数：1xm1mxm m1 x21x2m m1 mn1 xn1x1 .2n .sinxxx3x51 nn1x.3.52n1 .欧拉公式：eixcosxisinx或cosxeixeix2sinxeixeix2三角级数

22、：ftA 0A nsinntna0ancosnxbnsinnx在 ,2n1n1其中,a0aA 0,anA nsinn,bnA ncosn,tx；正交性：,1sinx ,cosx ,sin2x ,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的乘积上的积分0；傅立叶级数：fxa0n1ancosnxbnsinnx,周期2n2fxbnsinnx是奇函数2an1nfxcosnxdxn0,1,2其中1fxsinnxdxn1,2,3bn11121111816（相加）32522232421121112241（相减）122242622232420,bn2正弦级数：afxsinnxdx1,2,30余弦级数：bn

23、0,an2fxcosnxdxn01,2fxa0ancosnx是偶函数202l周期为l2 的周期函数的傅立叶级数：fxa0n1ancosnlxbnsinnlx,周期2其中an1lfxcosnlxdxn01, ,2llbn1lfxsinnxdxn,12,3lll微分方程的相关概念：名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本一阶微分方程：yfx,y 或Px,ydxQx ,y dy0u,可分别变量的微分方程：一阶微分方程可以化为gy dyfxdx 的形式,解法：gy dyfx dx得：GyFxC称为隐式通解；齐次方程：一阶微分方程可以写成dyfx,yx ,y,即写成y的函数,解法：dxx设uy,就dyuxdu,udu u,dxduu分别变量,积分后将y代替xdxdxdxx ux即得齐次方程通解；一阶线性微分方程：1、一阶线性微分方程：dyP x yQxxePxdxdxCePxdxdx当Qx 0 时,为齐次方程,yCePxdx当Qx 0 时,为非齐次方程,y