2022年解三角形的必备知识和典型例题及详解.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思解三角形的必备学问和典型例题及详解一、学问必备：1直角三角形中各元素间的关系：在 ABC中, C90 , AB c,AC b,BCa；（1）三边之间的关系：a 2 b 2c 2；（勾股定理）（2）锐角之间的关系：AB90 ；（3）边角之间的关系： （锐角三角函数定义）sin Acos Ba ,cos Asin Bcb ,tan Aca ；b2斜三角形中各元素间的关系：在 ABC中, A、B、C为其内角, a、b、 c 分别表示 A、B、C的对边；（1）三角形内角和：ABC ；（ 2）正弦定理：在一个三角形中

2、,各边和它所对角的正弦的比相等aAbBcC2R（R为外接圆半径）sinsinsin（3）余弦定理： 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 3a 2b 2c 22bccosA；b2c2a22cacos B；c 2a 2b 22abcosC；三角形的面积公式：（1） S 1 aha21 bhb21 chc（ha、hb、hc分别表示 a、b、c 上的高）；2（2） S 1 absin C21 bcsin A21 acsin B；24解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边） 求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地, 这

3、里所说的元素仍可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等主要类型：（1）两类正弦定懂得三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. . 第 2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角（2）两类余弦定懂得三角形的问题：第 1、已知三边求三角 . 第 2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角 . 5三角形中的三角变换名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,仍要留意三角形自身的特点；（ 1）

4、角的变换由于在 ABC中,A+B+C= ,所以 sinA+B=sinCsinA2BcosC,cosA2BsinC；22；cosA+B= cosC；tanA+B= tanC ；（ 2）判定三角形外形时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的 形式 . 6求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意,弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题,写出已知与所求,并画出示意图；（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；（ 4）检验：检验上述所求是否符合实际意义；二、典例解析题型 1：正、余弦定理例 1（1）在ABC 中,已知aA32.00,B81.80,a42.9cm,解三角形；

5、0 1 ,（2）在ABC 中,已知20cm,b28cm,A400,解三角形（角度精确到边长精确到1cm）；题型 2：三角形面积例 2在ABC 中, sinAcosA2, AC2 ,AB3,求tanA的值和ABC 的2面积；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思题型 3：三角形中的三角恒等变换问题例 3在 ABC中,a、b、c 分别是 A、B、C的对边长,已知a、b、c 成等比数列,且 a 2c 2=ac bc,求 A的大小及bsinB的值；c题型 4：正、余弦定理判定三角形外形例 4

6、在 ABC中,如 2cosBsin AsinC ,就 ABC的外形肯定是（）A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形题型 5：三角形中求值问题例 5ABC 的三个内角为A、 、C,求当 A 为何值时, cosA2cosB2C取得最大值,并求出这个最大值；题型 6：正余弦定理的实际应用例 6（2022 辽宁卷文,理）如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶；测量船于水面A 处测得 B 点和 D点的仰角分名师归纳总结 别为750,300,于水面 C处测得 B点和 D点的仰角均为600,第 3 页,共 4 页AC=0.1km；摸

7、索究图中B,D间距离与另外哪两点间距离相等,然后求B,D的距离（运算结果精确到0.01km,21.414 ,62.449 ）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思三、思维总结1解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如 A、B、 C）,由 A+B+C = 求 C,由正弦定理求 a、b；（2）已知两边和夹角（如 a、b、c）,应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用 A+B+C = ,求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如 a、 b、A）,应用正弦定理求 B,由 A+B+C= 求C,再由正弦定理或余弦定理求c 边,要留意解可能有多种情形；（4）已知三边 a、b、c,应余弦定理求 A、B,再由 A+B+C = ,求角 C；2三角学中的射影定理：在ABC 中,b a cos C c cos A,3两内角与其正弦值：在ABC 中,A B sin A sin B,4解三角形问题可能显现一解、两解或无解的情形,这时应结合“ 三角形中大边对大名师归纳总结 角定理及几何作图来帮忙懂得”；第 4 页,共 4 页- - - - - - -