2022年苏教版七年级下册数学整式的乘除与因式分解总复习知识点+习题3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 苏教版七年级数学下册整式的乘除与因式分解 一、学习目标：1.把握与整式有关的概念；2.把握同底数幂、幂的乘法法就,同底数幂的除法法就,积的乘方法就；3.把握单项式、多项式的相关运算；4.把握乘法公式：平方差公式,完全平方公式；5.把握因式分解的常用方法；二、学问点分析 1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式；单独的一个数或一个 字母也是单项式；单项式的数字因数叫做单项式的系数,字母指数和叫单项式的次数；2a2bc的 系数为,次数为,单独的一个非零数的次数是；2、多项式： 几个单项式的和叫做多项式；多项式中每个单项式叫多项式的项

2、,次数最 高项的次数叫多项式的次数；a22abx1,项有,二次项为,一次项为,系数分别为,叫次项式；常数项为,各项次数分别为3、整式： 单项式和多项式统称整式；留意：凡分母含有字母代数式都不是整式；也不是单项式和多项式；4、多项式按字母的升（降）幂排列：x32x2y2xy2y31按x的升幂排列：按 x 的降幂排列：按 y 的升幂排列：按 y 的降幂排列：5、同底数幂的乘法法就：amg anam n（m,n都是正整数）同底数幂相乘,底数不变,指数相加；留意底数可以是多项式或单项式；例 1.如2a264,就 a= ；如27n 3；3 8,就 n= . 例 2.如5 2 x1125,就x2 2022

3、x；的值为例 3 .设 4x=8y-1,且 9 y=27x-1,就 x-y 等于1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 苏教版七年级数学下册6、幂的乘方法就：m a namn（m,n都是正整数）幂的乘方,底数不变,指数相乘；如：5 32310幂的乘方法就可以逆用：即amnamnanm如：46423432（ n 是正整数）7、积的乘方法就：abnanbn积的乘方,等于各因数乘方的积；（2x3y2z 5= mn（a40 ,m ,n都是正整数,且3mn 8、同底数幂的除法法就：amana同底数幂相除,底数不变,指数相减；如：

4、ababab3a3b9、零指数和负指数；a0p1,即任何不等于零的数的零次方等于1；p 次方等于这个数的p 次方1 （p aa,0p是正整数）,即一个不等于零的数的a的倒数；如：231312810、单项式的乘法法就：单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,就连同它的指数作为积的一个因式；留意：积的系数等于各因式系数的积,先确定符号,再运算肯定值；相同字母相乘,运用同底数幂的乘法法就；只在一个单项式里含有的字母,就连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘法法就对于三个以上的单项式相乘同样适用；单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式；即如：2x2y3z. x

5、y,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,11、单项式乘以多项式m abcmambmcm ,a,b,c都是单项式 留意：积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同；2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 苏教版七年级数学下册运算时要留意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号；在混合运算时,要留意运算次序,结果有同类项的要合并同类项；如：2x2x3y 3yxy= : 12、多项式与多项式相乘的法就多项式与多项式相乘,先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所的的积 相加；如： 3a2 a3 13、单

6、项式的除法法就：单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字 母,就连同它的指数作为商的一个因式；留意：第一确定结果的系数（即系数相除）,然后同底数幂相除,假如只在被除式里含有的字母,就连同它的指数作为商的一个因式如：7a2b4m49a2b= 14、多项式除以单项式的法就：多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,在把所的的商相加；即： ambm1cmmammbmmcmmabc例 1.（ab）（2a1b）（ 3a21b2）；6312例 2. （ab）（ab）2 （ a22abb2） 2ab例 3.已知 x 2x 10,求 x32x23 的值15、平

7、方差公式 ：ab aba2b2留意平方差公式绽开只有两项公式特点：左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为 相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方；如：xyz xyaz= a22 abb216、完全平方公式：b 2公式特点：左边是一个二项式的完全平方,右边有三项,其中有两项是左边二项式中每 一项的平方,而另哪一项左边二项式中两项乘积的 2 倍；3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 苏教版七年级数学下册留意：a2b2ab 22 abab 22aba2b2abb 24 abb2ab2ab2a

8、b2aba2a完全平方公式的口诀：首平方,尾平方,加上首尾乘积的2 倍；17、三项式的完全平方公式：2 2 2 2 a b c a b c 2 ab 2 ac 2 bc例 1.利用平方差公式运算：2 20072007 2022 2006例 2.广场内有一块边长为 2a 米的正方形草坪,经统一规划后,南北方向要缩短 3 米,东西方向要加长 3 米,就改造后的长方形草坪的面积是多少？例 3.（1）x 1 2 , 求 x 2 12 的值；（2） x y 216 , x y 24,求 xy 的值；x x18、因式分解：常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法 A.提公因式法：式子中有公因式时,

9、先提公因式；例 1.把 2 ax 10 ay 5 by bx分解因式分析： 把多项式的四项按前两项与后两项分成两组,并使两组的项按 x 的降幂排列,然后从两组分别提出公因式 2a与 b,这时另一个因式正好都是 x 5 y ,这样可以连续提取公因式解： 2ax10ay5 bybx说明： 用分组分解法,肯定要想想分组后能否连续完成因式分解,由此合理挑选分组的方法此题也可以将一、四项为一组,二、三项为一组,同学不妨一试例 2.把ab c2d2a2b2cd 分解因式分析： 依据原先分组方式,无公因式可提,需要把括号打开后重新分组,然后再分解因式解：ab c2d2a2b2cd = 4 名师归纳总结 -

10、- - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 苏教版七年级数学下册说明： 由例 2、例 1 可以看出,分组时运用了加法结合律,而为了合理分组,先运用了 加法交换律,分组后,为了提公因式,又运用了安排律由此可以看出运算律在因式分解中 所起的作用B. 公式法： 依据平方差和完全平方公式分解因式9x225y2C.配方法：分解因式2 x6x16说明： 这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法,配方后将二次三项式化为两个平 方式,然后用平方差公式分解当然,此题仍有其它方法,请大家试验D.十字相乘法：（ 1）x2pq xpq 型的因式分解这类式子在很多问题中

11、常常显现,其特点是：1 二次项系数是1；2 常数项是两个数之积；3 一次项系数是常数项的两个因数之和x2p2q xpqx2pxqxpqqx xpq xpxpxq因此,xpq xpqxpx运用这个公式,可以把某些二次项系数为 例 1.把以下各式因式分解：1 的二次三项式分解因式1 x27x62 x213x36说明： 此例可以看出,常数项为正数时,应分解为两个同号因数,它们的符号与一次项系数的符号相同例 2.把以下各式因式分解：5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 苏教版七年级数学下册1 x25x242 x22x15说明

12、： 此例可以看出,常数项为负数时,应分解为两个异号的因数,其中肯定值较大的因数与一次项系数的符号相同例 3.把以下各式因式分解：1 x2xxy6y262 x2x28x2x12y ,分析：1 把2xy2 y 看成 x 的二次三项式, 这常常数项是2 6y ,一次项系数是2把 6 y 分解成 3y 与 2y 的积,而 3 y 2 y ,正好是一次项系数22 由换元思想,只要把 x x 整体看作一个字母 a ,可不必写出,只当作分解二2次三项式 a 8 a 122（2）一般二次三项式 ax bx c 型的因式分解2大家知道, a x c 1 a x c 2 a a x a c 2 a c x c c

13、 2反过来,就得到：a a x a c 2 a c x c c 2 a x c 1 a x c 2 我们发觉, 二次项系数 a 分解成 a a ,常数项 c 分解成 c c ,把 a a c c 写成 a 1 c 1,a 2 c 22这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到 a c 2 a c ,假如它正好等于 ax bx c 的一次项2系数 b ,那么 ax bx c 就可以分解成 a x c 1 a x c 2 ,其中 a c 位于上一行,a 2 , c 2位于下一行这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法必需留意,分解因数及十字相乘都有多种可能情形,所以往往

14、要经过多次尝试,才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解例 4.把以下各式因式分解：1 12x25x22 5x26xy8y26 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 苏教版七年级数学下册说明： 用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是 1 时较困难,详细分解时,为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,如原常数为负数,用减法”凑 ”,看是否符合一次项系数,否就用加法”凑” ,先 ”凑”肯定值,然后调整,添加正、负号提高练习1（2x2 4x10xy）（）1 x125 y2；2如 xy8,x2y24,就 x2y2

15、_3代数式 4x 23mx9 是完全平方式 ,就 m_ 4.220221.52022_ 35. 如a2b22 b10,就2 a b2 ab = ；6. （ a1）（a1）（a21）=；7. 一个正方形的边长增加4cm ,面积就增加56cm ,原先正方形的边长为8（3+1）（32+1）（34+1） （32022+1）34016= ；29（1）（x 3y） 2（4x 3y） 2 4（2）（x 22x1）（x22x1）；10求（ 11 ）（ 12 21 ）（12 31 ） （12 41 ）（12 9112）的值011已知 x1 2,求 x2x1,x41的值a22b2ab 的值x2x412已知（ a1

16、）（b2） a（b3） 3,求代数式7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 苏教版七年级数学下册13如（ x2pxq）（x22x3）绽开后不含14. 试说明x2,x3项,求 p、q 的值（1）两个连续整数的平方差必是奇数（ 2）如 a 为整数,就a3a能被 6 整除15察以下各式（x-1） x+1=x2-1 x-1x 2+x+1=x 3-1 （x-1）x3+x 2+x+1=x 4-1 （1）依据规律可得x-1xn-1+ +x +1=（其中 n 为正整数）（2）运算：（3）运算：8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页