二维随机变量及其分布函数ppt课件.ppt

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1、变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分图示图示e )(eY S)(eX ., ),(,)()(, ,二维随机变量二维随机变量叫作二维随机向量或叫作二维随机向量或由它们构成的一个向量由它们构成的一个向量上的随机变量上的随机变量是定义在是定义在和和设设它的样本空间是它的样本空间是是一个随机试验是一个随机试验设设YXSeYYeXXeSE 一、一、二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布1.二维随机变量的定义二维随机变量的定义变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电

2、任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分实例实例1 炮弹的弹着点的位置炮弹的弹着点的位置 ( X, Y ) 就是一个二就是一个二维随机变量维随机变量. . 二维随机变量二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与的性质不仅与 X 、Y 有关有关, ,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系而且还依赖于这两个随机变量的相互关系. .实例实例2 考查某一地区学前儿童的发育情况考查某一地区学前儿童的发育情况, , 则儿童则儿童的身高的身高 H 和体重和体重 W 就构成二维随机变量就构成二维随机变量 ( H, W ).说明说明 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连

3、接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2. 2. 分布函数的定义分布函数的定义 .,),(,)()(),( :,),( 的联合分布函数的联合分布函数和和量量或称为随机变或称为随机变的分布函数的分布函数称为二维随机变量称为二维随机变量二元函数二元函数对于任意实数对于任意实数是二维随机变量是二维随机变量设设YXYXyYxXPyYxXPyxFyxYX 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分xOy),(yx yYxX ,. ),(内内的的概概率率在在如如图图所所示示区区

4、域域的的函函数数值值就就是是随随机机点点落落yxF变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分3. 分布分布函数函数的性质的性质),(),(,),(11212oyxFyxFxxyyxyxF 时时当当意意固固定定的的即即对对于于任任的的不不减减函函数数和和是是变变量量).,(),(,1212yxFyxFyyx 时时当当对对于于任任意意固固定定的的,1),(02o yxF, y对对于于任任意意固固定定的的, 0),(lim),( yxFyFx且有且有,x对对于于任任意意固固定定的的, 0),(lim),(

5、yxFxFy变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分. 1),(lim),( yxFFyx.,),(, )0,(),(, ), 0(),(3o也也右右连连续续关关于于右右连连续续关关于于即即yxyxFyxFyxFyxFyxF , 0),(lim),( yxFFyx,),(),(421212211oyyxxyxyx 对对于于任任意意. 0),(),(),(),( 21111222 yxFyxFyxFyxF有有变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的

6、主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分证明证明,2121yYyxXxP , 0 ,212yYyxXP ,22yYxXP . 0),(),(),(),(21111222 yxFyxFyxFyxF故故,211yYyxXP ,12yYxXP ,21yYxXP ,11yYxXP 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分二维离散型随机变量及其分布：分布律、分布函数二维离散型随机变量及其分布：分布律、分布函数4.4.二维随机变量的分类二维随机变量的分类二维连续型随机变量及其分布：分布密度、分布函数二维连续型

7、随机变量及其分布：分布密度、分布函数变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 若二维随机变量若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值所取的可能值是有限对或无限可列多对是有限对或无限可列多对, ,则称则称 ( X, Y ) 为二维离为二维离散型随机变量散型随机变量. .1. 1. 定义定义 2. 2. 二维离散型随机变量的分布律二维离散型随机变量的分布律 . , ),( , 2, 1, 2, 1,),(),(的联合分布律的联合分布律和和或随机变量或随机变量的分布律的分布律变量变量称此为二维离散型

8、随机称此为二维离散型随机记记值为值为所有可能取的所有可能取的设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量YXYXjipyYxXPjiyxYXijjiji 二、二维离散型随机变量及其分布二、二维离散型随机变量及其分布变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分二维随机变量二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为的分布律也可表示为. 1, 011 ijijijpp其其中中(,)ijijP Xx YypXYjyyy21ixxx21111212122212jjiiijppppppppp变电站电气主接线是指变

9、电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分.),(. 1 , 4, 3, 2, 1 的分布律的分布律试求试求整数值整数值中等可能地取一中等可能地取一在在另一个随机变量另一个随机变量取值取值四个整数中等可能地四个整数中等可能地在在设随机变量设随机变量YXXYX解解:,的取值情况是的取值情况是jYiX , 4, 3, 2, 1 i.的正整数的正整数取不大于取不大于 ij且由乘法公式得且由乘法公式得,jYiXP iXPiXjYP ,411 i, 4, 3, 2, 1 i. ij 的的分分布布律律为为于于是是),(YX例例1变电站

10、电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分XY12341234418112116108112116100121161000161变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 ( X, Y ) 所取的可能值是所取的可能值是),0,0(解解),1,0(),0,1(),1,1(),2,0().0,2(0, 0 YXP,28328230203 抽取两支都是绿笔抽取两支都是绿笔抽取一支绿笔抽取一支绿笔, ,一支红笔一支红笔例例

11、2 从一个装有从一个装有3支蓝色、支蓝色、2支红色、支红色、3支绿色圆珠支绿色圆珠笔的盒子里笔的盒子里, , 随机抽取两支随机抽取两支, , 若若 X、Y 分别表示分别表示抽出的蓝笔数和红笔数抽出的蓝笔数和红笔数, ,求求 ( X, Y ) 的分布律的分布律. .1, 0 YXP,14328131203 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2, 0 YXP0, 1 YXP0, 2 YXP1, 1 YXP,14328031213 ,28128032203 ,28928130213 .2832803

12、0223 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分故所求分布律为故所求分布律为XY210283289283143143028100012变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例3 一个袋中有三个球一个袋中有三个球, ,依次标有数字依次标有数字 1, 2, 2, 从从中任取一个中任取一个, , 不放回袋中不放回袋中, ,再任取一个再任取一个, ,设每次取球设每次取球时时, ,各球被取到的可能性相等各球被

13、取到的可能性相等, ,以以 X , Y 分别记第一分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字次和第二次取到的球上标有的数字, ,求求 ( X, Y ) 的的分布律与分布函数分布律与分布函数. .( X, Y ) 的可能取为的可能取为),2, 1(,3122312, 1 YXP,3121321, 2 YXP.3121322, 2 YXP解解),1 , 2().2, 2(变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分故故 ( X , Y ) 的分布为的分布为XY21213103131,31, 022211211

14、 pppp下面求分布函数下面求分布函数. .变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2112oxy)2 , 2()2 , 1()1 , 1()1 , 2(,11)1(时时或或当当 yx),(yxF),(yxF,21, 21)2(时时当当 yx,2,21)3(时时当当 yx),(yxF,yYxXP ; 0 11p ; 0 1211pp ;31 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分,21,2)4(时时当当

15、 yx;31),(2111 ppyxF,2,2)5(时时当当 yx),(yxF22122111pppp . 1 2112oxy)2 , 2()2 , 1()1 , 1()1 , 2(变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分所以所以( X ,Y ) 的分布为的分布为, 21 , 2. 2, 2, 1, 2, 21,31, 11, 0),( yxyxyxyxyxF或或或或变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部

16、分, ),( xxyyijijpyxF说明说明离散型随机变量离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为的分布函数归纳为. , ,求求和和的的其其中中和和式式是是对对一一切切满满足足jiyyxxji 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分.,),(),(,),(,dd),(),(,),(, ),(),( 的联合概率密度的联合概率密度和和变量变量或称为随机或称为随机的概率密度的概率密度称为二维随机变量称为二维随机变量函数函数量量是连续型的二维随机变是连续型的二维随机变则称则称有有使对于任意使对

17、于任意如果存在非负的函数如果存在非负的函数的分布函数的分布函数对于二维随机变量对于二维随机变量YXYXyxfYXvuvufyxFyxyxfyxFYXyx 1. 1. 定义定义 三、二维连续型随机变量及其分布三、二维连续型随机变量及其分布变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分. 1),(dd),()2( Fyxyxf.dd),(),( GyxyxfGYXP. 0),()1( yxf2. 性质性质(3),(,)GxOyX YG设设是是平平面面上上的的一一个个区区域域 点点落落在在内内的的概概率率为为.

18、 ),(),(,),(),()4(2yxfyxyxFyxyxf 则则有有连连续续在在若若变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分表示介于表示介于 f (x, y)和和 xOy 平面之间的空间区域的全部平面之间的空间区域的全部体积等于体积等于1.1.,dd),(),( GyxyxfGYXP, 1dd),( yxyxf 3. 说明说明.),(, ),(为顶面的柱体体积为顶面的柱体体积以曲面以曲面为底为底的值等于以的值等于以yxfzGGYXP .),(,表示空间的一个曲面表示空间的一个曲面几何上几何上yx

19、fz 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分.)();,()(.,e),(),()(XYPyxFyxyxfYXyx求求概概率率求求分分布布函函数数其其他他具具有有概概率率密密度度设设二二维维随随机机变变量量2100022例例1变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分解解 yxvuvufyxFdd),(),()1( .,0, 0, 0,dde200)2(其其他他yxvuyxvu ., 0. 0, 0),e

20、1)(e1(),(2其其他他得得yxyxFyx变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分,),(GYXXY ),(GYXPXYP (2) (2) 将将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标看作是平面上随机点的坐标, ,即有即有XY GxyOyxyxfGdd),( yxyyxdde20)2( .31 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分二维均匀分布和二维正态分布变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线

21、路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分1. 二维均匀分布二维均匀分布定义定义 设设 D 是平面上的有界区域是平面上的有界区域, ,其面积为其面积为 S, ,若若二维随机变量二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度具有概率密度则称则称 ( X , Y ) 在在 D 上服从上服从均匀分布均匀分布. . ., 0,),(,1),(其他其他DyxSyxf变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例1 1 已知随机变量已知随机变量 ( X , Y

22、) 在在 D上服从均匀分布上服从均匀分布, ,试求试求( X , Y )的概率密度及分布函数的概率密度及分布函数, ,其中其中D 为为 x 轴轴, ,y 轴及直线轴及直线 y = x+1 所围成的三角形区域所围成的三角形区域 . .解解 ., 0,),(, 2),(其他其他得得Dyxyxf,01时时或或当当 yx0),( yxf; 0dd),(),( vuvufyxFxy ., 0,),(,1),(其其他他由由DyxSyxfxyO1 xy1 1变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分vuvufyxF

23、xydd),(),( yxyuyvuvu011011d2dd2d;)22(yyx ,10,01时时当当 xyx1 xy1 11 yxxyO变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分,1,01时时当当 xyxvuvufyxFxydd),(),( ;)1(d2d2101 xvuuxxyO1 xy1 1x变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分,10,0时时当当 yxvuvufyxFxydd),(),( yyuy

24、vuvu0011011d2dd2dxyO1 xy1 11 y;)2(yy 注：先对u积分，再对v积分更容易。变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分,1,1时时当当 yxvuvufyxFyxdd),(),( . 1d2d0110 uvu . 1, 1, 1, 10, 0,)2(, 1, 01,) 1(, 10, 01,)22(, 0, 1,0),(2yxyxyyxyxxxyxyyxyxyxF或或所以所以 ( X , Y ) 的分布函数为的分布函数为变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电

25、力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2. 二维正态分布二维正态分布若二维随机变量若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度具有概率密度 2222212121212)()(2)()1(21221e121),(yyxxyxf. 11, 0, 0,212121 且且均均为为常常数数其其中中),( yx记记为为正正态态分分布布的的二二维维服服从从参参数数为为则则称称.,),(2121YX),(),(222121NYX变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分二维正态分布的图形二维正态分布的图形