2022年苏教版八年级下学期相似三角形典型例题专项训练及解析.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 相像三角形考前解析及答案例题解析学问考点：本节学问主要包括相像三角形、相像多边形的性质及应用,会综合运用相像三角形的有关概念、定懂得答有关问题； 另外, 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相像的性质运用,是近几年中考的热点题型；精典例题：【例 1 】如图,在ABC 中,AB 14cm,AD5,DE BC,CDAB ,CD12cm,求 ADE 的面BD9积和周长；2分析：由 AB 14cm,CD 12cm 得 S ABC84,再由 DE BC 可得 ABC ADE ,有 S ADE ADS ABC AB可求得 S ADE,利用勾

2、股定理求出 BC、AC ,再用相像三角形的性质可得ADE 的周长；答案：ADE 的面积为 75 cm 2,周长为 15 cm；7A A AD E D P E MPB C B M Q F C B N C例 1 图 例 2 图 变式 1 图【例 2 】如图,正方形 DEMF 内接于 ABC ,如 S ADE 1,S正方形 DEFM 4,求 S ABC分析：第一利用正方形的面积求出其边长,过 A 点作 AQ BC 于 Q,交 DE 于 P,利用 S ADE 可得 AP及 AQ 的长,再由ADE ABC 求出 BC,从而求得 S ABC；解：正方形的面积为 4, DEMF 2；过 A 点作 AQ BC

3、 于 Q,交 DE 于 P S ADE 1, AP 1 DE BC, ADE ABC ,AP DE,即 1 2AQ BC 3 BCBC6,故 S ABC9 更多资料加 Q465010203变式 1：如图,已知菱形 AMNP 内接于ABC,M、N、P 分别在 AB 、BC、AC 上,假如 AB 21 cm,CA 15 cm,求菱形 AMNP 的周长；第 1 页 共 9 页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 答案： 35 cm 变式 2：如图,在ABC 中,有矩形DEFG,G、F 在 BC 上, D、E 分别在 AB 、A

4、C 上, AH BC 交DE 于 M ,DGDE12,BC12 cm,AH 8 cm,求矩形的各边长；A C A DM ND M E M S 1 P S 2 N PS 3B G H F C A R T B B C变式 2 图 例 3 图 问题一图答案：24cm,48cm 7 7【例 3】如图,已知 P 为 ABC 内一点,过 P 点分别作直线平行于ABC 的各边,形成小三角形的面积 1S 、S 、S ,分别为 4、9、49,求 ABC 的面积；解：设 MP p ,RT r ,PN q ,由于 S 、S 、S 都相像于3 ABC ,设 ABC 的面积为 S ,AB c ,就有 2 q,3 p,7

5、 r,三式相加得：S c S c S c2 3 7 p q r c 1S c cS 12,故 S 144【例 4 】如图,已知,在边长为 1 的正方形 ABCD 的一边上取一点 E,使 AE 1 AD ,从 AB 的中点4F 作 HF EC 于 H；（1）求证： FHFA；（2）求 EHHC 的值；证明：（ 1）连结 EF, FC,在正方形 ABCD 中, AD AB BC, A B90 0AE 1 AD ,F 为 AB 的中点,AE FB4 AF BC EAF FBC, AEF BFC,EFA CFB D C EFC90 0,EF 1FC 2 H又 EFC B90 0 EFC FBC E H

6、EF BFC, ECF BCF A F B例 1 图 AEF HEF, AFE HFE EAF HEF FHFA 第 2 页 共 9 页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）由（1）得EF FC1,由（1）易证 EHF EFC,从而可得EF2EHEC,同理FC2CHCE,2于是 EHHCEF2FC2 14 3 CD,5ABCD 中,AB5,点 E 在 BC 上,点 F 在 CD 上,且 EC1 BC,FC6变式：如图,在矩形BC6FGAE 于 G,；求证： AG4GE；（提示：证ECF FDA 得 EFAF 12,

7、再证 EFG EAF FAG 即可）A DFGBEC娈式图【例 5 】已知,在ABC 中, ACB 90 0,过 C 作 CD AB 于 D,AD m, BD n ,AC 2BC 2 21,又关于 x 的方程 1x 2 2 n 1 x m 2 12 0 的两实数根的差的平方小于 192,求整数 m 、n的值；4分析：如图,易证ABC ADC ,AC 2BC 2AD BD m n 21,即 m 2 n,再由方程两根差的平方小于 192 可得 n 1,又由判别式0知 n 221 n 2,又 n 为整数, n 1,2更多资料加 Q4650102032 m 2, n1 或 m 4, n 2 GBCAA

8、EDAEDFFDB问题一图CB问题一图C例 2 图探究与创新：【问题一】 已知：如图,在矩形 ABCD 中,E 为 AD 的中点, EF EC 交 AB 于 F,连结 FC（AB AE）；（1） AEF 与 EFC 是否相像,如相像,证明你的结论；如不相像,请说明理由；（2）设AB k ,是否存在这样的 BCk 值,使得 AEF 与 BFC 相像, 如存在, 证明你的结论并求出k 的值；如不存在,说明理由；解：（1）相像,如图证明：延长FE 与 CD 的延长线交于点G；在 Rt AEF 与 Rt DEG 中 E 是 AD 的中点第 3 页 共 9 页名师归纳总结 - - - - - - -第

9、3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - AEED, AEF DEG, A EDG AFE DGE E 为 FG 的中点；又CEFG, FCGC CFE G； AFE EFC,又 AEF 与 EFC 均为直角三角形 AEF EFC；（2）存在；假如BCF AEF,即 k AB3时, AEF BCF ；0BC2证明：当AB3时,DC3； ECG30 0； ECG ECF AEF30 0, BCF90BC2DE 60 0300；又 AEF 和 BCF 均为直角三角形；AEF BCF；由于 EF 不平行于 BC, BCF AFE ；不存在其次种相像情形；跟踪训练一、填空题：

10、1、在 Rt ABC 中, BAC 900,AD BC 于 D,AB 2,DB 1,就 DC,AD ；2、在 ABC 中, AB 12,AC 15,D 为 AB 上一点, BD的长为 时,图中的两个三角形相像；1 AB ,在 AC 上取一点 E,得 ADE ,当 AE 33、在 Rt ABC 中, AD 为斜边上的高,SABC4 SABD,就 AB BC；二、挑选题：在 ABC 中, AB C123,CDAB 于 D,AB a ,就 DB （）A、aB、aC、aD、3a4324三、解答题：1、如图, 在 ABC 中,ACB 900,CDAB 于 D,为了求出 AC,在图中你能找出哪些适当的条件

11、？C CEADBADFBAC第 1 题图Rt ABC的斜边第 2 题图EFAB于 F；求证：2、如图,CD 是AB 上的高, E 是 BC 上任意一点,2ADAFCDEF；3、如图,在 Rt ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,点 M 在 CD 上,DH BM 且与 AC 的延长线交于点E；求证：（1） AED CBM ；第 4 页 共 9 页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）AECMACCDECCF DEM HA D B A F G B第 3 题图 第 4 题图4、已知,如图,在 Rt ABC 中, AC

12、B 90 0,AD 平分 CAB 交 BC 于点 D,过点 C 作 CE AD,垂足为 E,CE 的延长线交 AB 于点 F,过点 E 作 EG BC 交 AB 于点 G,AE AD 16,AB 4 5,求EG 的长；跟踪训练参考答案一、填空题：1、 3,3 ； 2、10 或32 ；3、12；5二、挑选题： A 三、解答题：1、AD 、 DC；AB 、BC；AD 、AB ；AD 、BD ；AB 、BD； CD、BD ；BD 、BC；BC、CD；AD 、 BC；AB 、CD 等；AD2、由 ADC ACB 得AC2ADABADAFFBADAFADFB,又由 ACD EBF 得FBCDEF,所以A

13、C2ADAFCDEF3、略4、4 B例题解析学问考点：本节学问包括相像三角形的判定定理、三角形相像的判定及应用,这是中考必考内容；把握好相像三角形的基础学问尤为重要；精典例题：【例 1 】如图,点O 是 ABC 的两条角平分线的交点,过O 作 AO 的垂线交AB 于 D；求证： OBD CBO；第 5 页 共 9 页名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 分析：此题不易得到边的比例关系,但 相等方面去考虑；O 点是三角形的角平分线的交点,有多对相等的角,故宜从角由角平分线及三角形内角和定理知：1 2 DAO 900,再由

14、AODO 可得 5 1 2,而 5 3 4,从而 1 2 3 4,由 1 3 可得 2 4,于是结论得证；A FAAB3 1D54O2CBDEBDEO变式 1 图CC例 1 图例 2 图变式 1：已知如图,在 ABC 中,AD AE,AO DE 于 O,DE 交 AB 于 D,交 AC 于 E,BO 平分 ABC ；求证：BO2BDBC；1 图）,在 ABC 中,O 为两内角平分线的交点,过点O 作直线交 AB 于 D,变式 2：已知如图（同变式交 AC 于 E,且 AD AE；求证：（1） BDO OEC；（2）DO 2 BD CE；【例 2 】如图,在ABC 中, BAC 90 0,AD

15、BC 于 D,E 为 AC 中点, DE 交 BA 的延长线于 F；求证： AB AC BFDF；分析：由于ABC 和 FBD 一个是直角三角形,一个是钝角三角形,不行能由这一对三角形相像直接找到对应边而得结论,势必要找“过渡 ” 的线段或线段比,这种查找“中间 ”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧；证明： AB AC,AD BC Rt ABD Rt CAD , DAC B ABBD ACAD又 AD BC,E 为 AC 中点DEAE , DAE ADE B ADE 又 F F FAD FDB BD ADBF DF 由得ABBFACDF变式：此题条件、结论不变,而只转变图形的位置时,如下图所示

16、,此题又该怎样证明呢？第 6 页 共 9 页名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - ABDECCDAGDEEFF F A BB C例 2 变式图 1 例 2 变式图 2 例 3 图【例 3 】如图,梯形 ABCD 中, AD BC,BECD 于 E,且 BCBD,对角线 AC、BD 相交于 G,2AC 、BE 相交于 F；求证：FC FG FA；分析：由于 FG、FA、FC 三条线段在同始终线上,不能直接证明一对三角形相像而得结论；依据题设条件易得 BE 是 DC 的垂直平分线,于是连结 FD 得 FDFC,再证FDG F

17、AD 即可；探究与创新：【问题一】如图,ACB ADC90 0,AC 6 ,AD 2；问当 AB 的长为多少时,这两个直角三角形相像？A略解： AC 6 ,AD 2 CDAC 2AD 22 DB C要使这两个直角三角形相像,有两种情形：问题一图（1）当 Rt ABC Rt ACD 时,有 AC ABAD AC2ACAB 3AD（2）当 Rt ACB Rt CDA 时,有 AC ABCD AC2ACAB 3 2CD故当 AB 的长为 3 或 3 2 时,这两个直角三角形相像；【问题二】已知如图,正方形 ABCD 的边长为 1,P 是 CD 边的中点,点 Q 在线段 BC 上,设 BQ k ,是否

18、存在这样的实数 k ,使得 Q、C、P 为顶点的三角形与ADP 相像,如存在,求出 k 的值；如不存在,请说明理由；略解：假设存在满意条件的实数k ,就在正方形ABCD 中, D C900,由 Rt ADP Rt QCP或 Rt ADP Rt PCQ 得：第 7 页 共 9 页名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - ADDP或ADDPk3AQDPQCCPPCCQ由此解得： CQ 1 或 CQ1 ,从而 4k0或BC4故当k0或k3时, ADP 与 QCP；4问题二图跟踪训练一、填空题：1、如图,在ABC 中, P 是边 A

19、B 上一点,连结 CP,使 ACP ABC 的条件是；2、在直角坐标系中,已知 A（ 3,0）、B（ 0,4）、C（ 0,1）,过 C 点作直线 l 交 x 轴于 D,使得以点 D、C、O 为顶点的三角形与AOB 相像,这样的直线有 条；3、如图,在 ABC 中,C90 0,AC 8,CB6,在斜边 AB 上取一点 M ,使 MB CB,过 M 作 MN AB交 AC 于 N,就 MN ；AACND而只有长为30 cmPB第 1 题图CBMAB第 5 题图EC第 3 题图4、一个钢筋三角架长分别为20cm、50 cm、60 cm,现要再做一个与其相像的钢筋三角架,和 50 cm 的两根钢筋,要

20、求以其中一根为一边,从另一根上截下两段（答应有余料）作为两边,就不同的载法有种；5、如图,在锐角ABC 中, BDAC ,DEBC,AB 14,AD 4,BEEC51,就 CD二、挑选题：1、下面两个三角形肯定相像的是（）A、两个等腰三角形 B、两个直角三角形C、两个钝角三角形 D、两个等边三角形2、如图,点 E 是平行四边形 ABCD 的边 CB 延长线上一点, EA 分别交 CD、BD 的延长线于点 F、G,就图中相像三角形共有（）A、3 对 B、4 对 C、 5 对 D、6 对三、解答题：1、如图,在Rt ABC 中, B900,AB BEEFFC；求证：AEF CEA；第 8 页 共

21、9 页名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - ECBAFGAEFCBFADBECD挑选第 2 题图解 答 第1 题 图解答第 2 题图2、如图,在四边形 ABCD 中,AB BC,AD DC,DEAC 于 E,交 AB 于 F；求证： AFD ADB ；3、如图,在梯形 ABCD 中,AB CD,D90 0,AB 3,DC7,AD 15,请你在 AD 上找一点 P,使得以 P、A、B 和以 P、D、C 为顶点的两个三角形相像吗？如能,这样的 P 点有几个？并求出 AP 的长；如不能,请说明理由；PABEADCDCB解答第

22、3 题图解 答 第4 题 图ABC 与 ADE 是否相像？为什么？由4、在边长为1 的正方形网格中有A、B、C、D、E 五个点,问此,你仍能找出图中相像的三角形吗？如能,请找出来,并说明理由；一、填空题：1、 ACP B 或 APC ACB 或 AC 2AP AB；2、4 条； 3、3,5；4、2 种； 5、 6 二、挑选题： DD 三、解答题： 1、设 AB BEEFFC a , B90 0, AE 2 aAE 2 a2,EC 2 a 2EF a AE 2 aAE EC 且 AEF CEA EF AE AEF CEA 2、证 AED ADC, FAE CAB , FAD DAB 3、能,有三个,AP4.5 或151412 ABD ACE；4、 ABC ADE ,仍有第 9 页 共 9 页名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页