数值计算方法-第6章-函数逼近ppt课件.ppt

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1、第第6 6章章 函数逼近函数逼近实际问题中实际问题中, 通过测量或数值计算得到一批离散的数据通过测量或数值计算得到一批离散的数据, 希望通过希望通过某种函数某种函数(曲线曲线)来描述它来描述它, 且使得它在某种意义下最且使得它在某种意义下最“贴近贴近”这批这批数据数据, 这就是这就是数据拟合数据拟合, 也称为也称为函数逼近函数逼近.一组实验数据一组实验数据:l函数逼近的概念函数逼近的概念l函数逼近的例子函数逼近的例子i1234Xi2468yi1.12.84.97.2从图形上可看出从图形上可看出, 数据分布接近数据分布接近于直线于直线:yaxb如何选取如何选取a,b, 使得直线使得直线“最好最好

2、”地贴近于数据点地贴近于数据点?记记,*iiyaxb*iiiyy残差残差评判残差大小的标准评判残差大小的标准?l衡量残差大小的标准衡量残差大小的标准 使残差的绝对值之和最小使残差的绝对值之和最小, 即即:minii第第6 6章章 函数逼近函数逼近这一标准虽然简单这一标准虽然简单, 但使用上不太方便但使用上不太方便. 使残差绝对值最大的分量达到最小使残差绝对值最大的分量达到最小, 即即:maxminii这一方法称为这一方法称为最佳一致逼近最佳一致逼近. 使残差的平方和达到最小使残差的平方和达到最小, 即即:2minii这一方法称为这一方法称为最佳平方逼近最佳平方逼近, 通常也称为曲线通常也称为曲

3、线(数据数据)拟合的拟合的最小二最小二乘法乘法. 该方法较简单该方法较简单, 是应用中常用的一种方法是应用中常用的一种方法.一一. 数据拟合的最小二乘法数据拟合的最小二乘法u 多项式拟合多项式拟合(xi, yi)第第6 6章章 函数逼近函数逼近l最小二乘法的基本思想最小二乘法的基本思想一组给定的数据点一组给定的数据点 (i=0,1,n)选取近似函数类选取近似函数类H, 寻求寻求函数函数 使得使得( ),xH2211( )nniiiiiyx最小最小.01( )mmmP xaa xa x()mn即即,( ,) (1, )iix yin要求要求F(a0,am) 极小极小H通常采用比较简单的函数类通常

4、采用比较简单的函数类, 如低阶多项式如低阶多项式, 指数函数等指数函数等.2211( )min( )nniiiiHiiyxyxl方法方法数据点数据点:m次多项式次多项式:残差平方和残差平方和:220111(,)( )nnmiimiiiF a aayP x0 (0,1,)jFjma12( )0njimiiiyP xx101()nmnkjjkiiiiikia xxy x 011()mnnkjjikiikiixay x (0,1,)jml确定拟合多项式的系数确定拟合多项式的系数第第6 6章章 函数逼近函数逼近011()mnnkjjikiikiixay x 2012111123101211111122

5、01211111()()()()()()()()()()()nnnnmiiimiiiiinnnnnmiiiimiiiiiiinnnnnmmmmmiiiimiiiiiiinax axaxayx axax axay xxaxaxaxay xj=0(0,1,)jmj=1j=m称为称为正则方程组正则方程组, 或或法方程组法方程组.记为记为,可以证明可以证明, 该方程组有唯一解该方程组有唯一解(a0,a1,am), 从而得从而得Pm(x). afA但要注意但要注意, 系数矩阵系数矩阵A通常是病态的通常是病态的, 其条件数其条件数cond(A)非常大非常大.l多项式拟合的例子多项式拟合的例子第第6 6章章

6、 函数逼近函数逼近用二次多项式拟合这批数据用二次多项式拟合这批数据.i123456Xi012345yi0.3560.8051.0050.9420.6680.325解解. 二次拟合多项式二次拟合多项式:211102311111223421111nnniiiiiinnnniiiiiiiiinnnniiiiiiiiinxxyaxxxay xaxxxy x22012( )P xaa xa x正则方程正则方程 (n=6):012615554.10115552259.9385522597932.116aaa0120.3798570.5048860.104571aaa拟合曲线图拟合曲线图21( , )ina

7、xiiF a bybeu 指数拟合指数拟合l方法方法axybe取极小取极小关于关于x的线性函数的线性函数称为称为非线性最小二乘问题非线性最小二乘问题.lnlnzybax即即:第第6 6章章 函数逼近函数逼近( ,) (1, )iix yin当数据点当数据点接近于指数曲线分布时接近于指数曲线分布时, 可用指数函数进行拟合可用指数函数进行拟合:0Fa10iinaxaxiiiybebx e0Fb10iinaxaxiiybeel改进的方法改进的方法数据点数据点( ,)iix z拟合多项式拟合多项式:01zaa x正则方程正则方程:11021111nniiiinnniiiiiiinxzaaxxz xln

8、iy线性最小二乘问题线性最小二乘问题01aa01aa xzyee01aa xyeeu 分式线性拟合分式线性拟合l当数据点分布接近于函数当数据点分布接近于函数 时时1yaxb1zaxby第第6 6章章 函数逼近函数逼近作变换作变换:对数据点对数据点 进行线性最小二乘拟合进行线性最小二乘拟合. 1( ,)iiix zy112111nniiiinnniiiiiiinxzbaxxz x ba 参数参数a, b拟合曲线拟合曲线 zaxb11yzaxbl当数据点分布接近于函数当数据点分布接近于函数 时时tyabt作变换作变换:1,xt1zaxby对数据点对数据点 进行线性最进行线性最小二乘拟合小二乘拟合.

9、 11(,)iiiixzty参数参数a, b拟合曲线拟合曲线 zaxb11tyzaxbabt上面两种拟合中上面两种拟合中, 参数参数a, b 满足以下正则方程满足以下正则方程:l最小二乘拟合的一般步骤最小二乘拟合的一般步骤第第6 6章章 函数逼近函数逼近 通过观测数据点的形态通过观测数据点的形态, 确定拟合函数的形式确定拟合函数的形式; 对于一些简单的非线性问题对于一些简单的非线性问题, 通过合适的变换化成线性问题通过合适的变换化成线性问题; 由最小二乘的正则方程确定拟合函数中的参数由最小二乘的正则方程确定拟合函数中的参数; 对于非线性问题对于非线性问题, 将线性拟合函数再反变换成非线性函数将

10、线性拟合函数再反变换成非线性函数.观测数据点观测数据点取极小取极小l几点说明几点说明 对于指数函数拟合问题对于指数函数拟合问题:直接拟合直接拟合(非线性非线性)非线性拟合结果非线性拟合结果数据变换数据变换变换后的变换后的数据点数据点线性拟合参数线性拟合参数非线性拟合函数非线性拟合函数线性拟合线性拟合反变换反变换 实际问题中实际问题中, 各个数据点的重要性可能不相等各个数据点的重要性可能不相等, 定义误差函数定义误差函数:2011(,)nmiiiF a aa01(,)ma aa加权系数加权系数2011(,)()nmiiiiF aaayxu 线性最小二乘法的一般形式线性最小二乘法的一般形式l方法方

11、法要求要求F极小极小, 即即第第6 6章章 函数逼近函数逼近( ,) (1, ),iix yin数据点数据点记记:0011( )( )( )( )mmxaxaxax取拟合函数取拟合函数:线性无关函数组线性无关函数组:01( ),( ),( )mxxx误差函数误差函数:210()nmiikkiikyax1()()0niiijiiyxx011()()()mnnijikikiijikiixxayx 1(,)()()nkjijikiixx 正则方程正则方程:0001000101111101(,)(,)(,)(, )(,)(,)(,)(, )(,)(,)(,)(, )mmmmmmmmayayay 0jF

12、a(0,1,)jm由于由于线性无关线性无关, 系数矩阵非奇系数矩阵非奇异异, 方程有唯一解方程有唯一解.( ) (0,1,)ixim下面证明下面证明 就是所求就是所求的最小二乘函数的最小二乘函数.( ) x0( =1,2,., )iin为权系数为权系数.01()()()mnkkiiikikiacyxx22111()2() ()()()()nnniiiiiiiiiiiiiiyxyxxxxx l定理定理6.1 (最小二乘解最小二乘解)证明证明. 对对 0( )( ),miiixcxH证毕证毕 # 第第6 6章章 函数逼近函数逼近设设(a0,a1,am) 是满足上述正则方程的解是满足上述正则方程的解

13、, 则则 是数是数据点据点(xi,yi) (i=1,n) 的最小二乘函数的最小二乘函数.0( )( )miiixax证明证明00(,)(,)mmF ccF aa201(,)()nmiiiiF ccyx21()( ()()niiiiiiyxxxII10()()()nmiiikkkiikyxacx020011(,)()(,)nmiiimiF ccyxF aaa即即, 2211()min()nniiiiiiHiiyxyx0正则方程的正则方程的第第k个方程个方程l正交多项式方法的提出正交多项式方法的提出第第6 6章章 函数逼近函数逼近正则方程一般是病态的正则方程一般是病态的, 尤其是尤其是m比较大的情

14、况比较大的情况, 这样得到的系数这样得到的系数 (a0,a1,.,am) 误差较大误差较大.正则方程的系数正则方程的系数矩阵为对角阵矩阵为对角阵.21(,)()0 (0,1,)nkkikiixkm 121( )( ,)(,)( )niikikiknkkikiiyxyax 若选取的函数组若选取的函数组 满足满足:( )jx(0,1,)km最小二乘函数最小二乘函数:00( ,)( )( )( )(,)mmkkkkkkkkyxaxx 若函数组若函数组 满足上述条件满足上述条件, ( )jx1(,)()()0 ()nkjikijiixxkj 定义定义 (正交函数族正交函数族)则称为以则称为以 为权为权

15、, 关于关于(1, )iin 点集点集 (x1,x2,xn) 的的正交函数族正交函数族.01112( )1( )( )()( )( ) (2,3,)kkkkkxxxxxxxkm l正交多项式的构造正交多项式的构造第第6 6章章 函数逼近函数逼近其中其中,2111121111( )(,)(1,2,)(,)( )niikikkiknkkikiixxxkmx2111122221( )(,)(2,3,)(,)( )nikikkiknkkikiixkmx证明过程类似于后面的证明过程类似于后面的定理定理6.4.l利用正交多项式求拟合多项式的过程利用正交多项式求拟合多项式的过程第第6 6章章 函数逼近函数逼

16、近 得拟合多项式得拟合多项式: 构造正交函数系构造正交函数系: 01( ),( ),( )mxxx 解正则方程解正则方程, 得系数得系数: a0,a1,am.0011( )( )( )( )mmxaxaxaxi123456Xi012345yi0.3560.8051.0050.9420.6680.325l例例. 利用正交函数求下列数据的最小二乘二次利用正交函数求下列数据的最小二乘二次(m=2)拟合多项式拟合多项式解解. n=6, 取取 012( ),( ),( ),xxx0( )1,x11( ),xx0011001(,)155,(,)621niinixx 1 (1,2, )iin构造正交多项式系

17、构造正交多项式系: 1( )2.5,xxl例（续）例（续）第第6 6章章 函数逼近函数逼近22120( )()( )( )xxxx 11211(,)43.752.5,(,)17.5x 11200(,)17.52.916667(,)6 22( )(2.5)2.916667xx解正则方程解正则方程, 得拟合函数的各个系数得拟合函数的各个系数. 212222221( )( ,)37.33330.104571(,)3.904( )niiiiniiiyxyax 60i=1000( ,)4.1010.6835,(,)66iyya 1111( ,)0.31450.017971(,)17.5ya 拟合多项式拟

18、合多项式:001122( )( )( )( )xaxaxax2012( )(2.5)(2.5)2.916667xaa xax22212210(5)(2.52.916667)2.5a xaa xaaa2( )0.1045710.5048860.379857xxx 与多项式直接拟与多项式直接拟合结果完全一致合结果完全一致.二二. 正交多项式正交多项式u 基本概念基本概念第第6 6章章 函数逼近函数逼近l定义定义6.2 (正交函数系正交函数系)特例特例:0()jk( ,0,1,2,)j k 正交函数系的例子正交函数系的例子若函数系若函数系 满足满足:01( ),( ),( ),mxxx(,)( )(

19、 )( )bjkjkaxxx dx0 ()kjk则称函数系则称函数系 在在a,b上关于权函数上关于权函数 的的正交函数系正交函数系.( )ix( ) x1 (0,1,2,),kk是区间是区间 上关于权函数上关于权函数 的正交函数系的正交函数系., ( )1x1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,cos,sin,xxxxnxnx三角函数系三角函数系:称为称为标准正交函数系标准正交函数系.( )ix正交函数系的性质正交函数系的性质由下面两个定理给出由下面两个定理给出:l定理定理6.2 (线性无关性线性无关性)证明证明 采用反证法采用反证法 假设假设 线性相关线性相关, 即存在不全为即存在

20、不全为0的系数的系数ci,使使 ( )ix第第6 6章章 函数逼近函数逼近0011( )+( )+( )=0nncxcxcx , xa b不妨设不妨设 0,ic 0011( )( )( )+( )+( )=0binnaxx cxcxcx dx由正交性由正交性 ( ),( )=0iiicxx=0ic( )ix矛盾矛盾. 故故 线性无关线性无关.正交函数系必定是线性无关的正交函数系必定是线性无关的.l定理定理6.3 (正交多项式的充要条件正交多项式的充要条件)设设 是最高次系数非零的是最高次系数非零的k次多项式次多项式, 则则 是是a,b上关于权函上关于权函数数 的正交多项式的充要条件是的正交多项

21、式的充要条件是, 对任意次数不超过对任意次数不超过k-1次的多次的多项式项式 , 都有都有: ( )kx( )kx( )x1( )kQx11(,)( )( )( )dx=0bkkkkaQxx Qx(1,2,)k l定理定理6.3 (续续)证毕证毕 # 第第6 6章章 函数逼近函数逼近证明证明 充分性充分性 若若对对 成立成立. 1( )kQx11(,)( )( )( )dx=0bkkkkaQxx Qx取取1( )( ) (0,1,1)kjQxxjk( )( )( )dx=0bkjaxxx即即 (,)=0 ()kjkj ( )( )( )dx0bkkaxxx另外另外, ( )0kx故故 为正交多

22、项式系为正交多项式系. ( )ix必要性必要性 设设 是是a,b上关于权函数上关于权函数 的正交多项式的正交多项式, ( )ix( )x由定理由定理6.2, 在在a,b上线性无关上线性无关. ( )ix110( )( )kkjjjQxbx110( )( )( )dx=( )( )( )dxkbbkkkjjaajxx Qxxxbx10=(,)0kjkjjb 01112( )1( )( )()( )( ) (2,3, )kkkkkxxxxxxxkn u 格拉姆格拉姆- -施密特施密特(Gram-Schmidt)方法方法第第6 6章章 函数逼近函数逼近构造正交函数的一般方法构造正交函数的一般方法:其

23、中其中,l定理定理6.4 (正交函数的构造正交函数的构造)是区间是区间a,b上关于权函数上关于权函数 的正交函数系的正交函数系.( )x( )0,x( )0 x21112111( )( )(,)(1,2, )(,)( )( )bkkkakbkkkax xx dxxknxx dx21112222( )( )(,)(2,3, )(,)( )( )bkkkakbkkkaxx dxknxx dx2(,)( )( )dx0bkkkaxx 证明证明 由递推式可看出由递推式可看出, 是是k次多项式次多项式, 且且xk系数为系数为1.( ) (0,1, )kxkn( )0,x( )0 x( )0,kx1111

24、12(,)(,)(,)mmmmmmmmxl定理定理6.4 (续续-1)第第6 6章章 函数逼近函数逼近下面用归纳法证明下面用归纳法证明: (,)=0 ()jkjk 不妨设不妨设jk, k=1,2,n.k=1:命题成立命题成立.0101(,)( )( )( )dxbaxxx 1( )()dxbaxx1( ) dx( )dxbbaax xx000100( )(,)(,)( )babax xdxxx dx 假设结论对假设结论对 k=m-1 (2mn) 成立成立, 即即:1(,)0 (0,1,2)jmjm 对对k=m, 先考察先考察11(,)( )( )( )dxbmmmmaxxx112( )( )(

25、)( )( )dxbmmmmmaxxxxx 001111(,)(,)mmmmmx22(,)( )( )( )dxbmmmmaxxx212( )( )()( )( )dxbmmmmmaxxxxx 212122(,)(,)(,)mmmmmmmmx01122(,)(,)mmmmm归纳法归纳法假设假设 其次考察其次考察1111111(,)(,)(,)(,)jmjmjjmjjm 112(,)(,)(,)jmmjmmjmx l定理定理6.4 (续续-2)由归纳法假设由归纳法假设 第第6 6章章 函数逼近函数逼近结论对结论对 k=m 也成立也成立, 证毕证毕 #22111(,)(,)(,)mmmmmmx21

26、1(,)mmmx由由11213( )()( )( )mmmmmxxxx211213( )( )( )( )mmmmmmxxxxx2121131(,)(,)(,)mmmmmmmm0对对0 j m-2,(,)( )( )( )dxbjmjmaxxx 12( )( )()( )( )dxbjmmmmaxxxxx 00由由1111( )()( )( )jjjjjxxxx1111( )( )( )( )jjjjjjxxxxx由于由于jm-2, 则则 j+1m-1000(,)0jm (02)jm对对j=0,001(,)(,),mmx 0111,x0110 xx 011101(,)(,)(,)mmm 0由归

27、纳法假设由归纳法假设 012233424220( )1( )1( )(31)21( )(53 )21( )(35303)8( 1) (22 )!( )(0,1,2,)2!()!(2 )!knnknnkP xP xxP xxP xxxP xxxnkP xxnk nknku 常用的正交多项式常用的正交多项式第第6 6章章 函数逼近函数逼近也是下面微分方程的多项式解也是下面微分方程的多项式解:l勒让德勒让德 (Legendre) 多项式多项式Pn(x) 的最高的最高幂次系数为幂次系数为:21( )(1) 2!nnnnndP xxn dx(0,1,2,)n 最早由最早由Legendre在势论中引进在势

28、论中引进, 是下面表达式的是下面表达式的Talor展开系数展开系数:2(2 )!2 ( !)nnnn/2 向下取整向下取整前前几几阶阶的的具具体体形形式式21 20(12)( )nnnxttP x t2(1)2(1)0 xyxyn ny(0,1,2,)n 一般形式一般形式罗巨格罗巨格(Rodrigues)公式公式:12(2 )2()1( 1)(1) (1) nnnmm nxxdx 12( )2()11(,)(1) (1) 2( !)(!)nnmmmnn mPPxxdxnmLegendre多项式的性质多项式的性质证明证明. 不妨设不妨设nm, 利用利用Legendre多项式的一般形式多项式的一般

29、形式,第第6 6章章 函数逼近函数逼近Pn(x) 是区间是区间-1,1上关于权函数上关于权函数 的正交函数系的正交函数系, 且且( )1x11(,)( )( )mnmnPPPx P x dx若若nm,0()mn( ,0,1,2,)m n 2()21mnn12( )2(1)1(1) (1) nnmmxdx12( )2(1)1(1) (1) nnmmxx12(1)2(1)1(1) (1) nnmmxxdx存在存在(x2-1) 因子因子0(反复利用分部积分反复利用分部积分)=(2n)! 2n次多项式次多项式, 最高次系数最高次系数112(1)1( 1) (2 )!(1) nmm nndx 12(1)

30、1( 1) (2 )!(1) 0nmm nnx (分部积分分部积分)III即即, nm 时时,(,)0mnPP1211(,)( 1) (2 )!(1) 2( !)( !)nnnnn nP Pnxdxnn1111(1)(1) 1nnxxnLegendre多项式的性质多项式的性质-1 证明证明 (续续-1)第第6 6章章 函数逼近函数逼近若若n=m,221n11(1) (1)nnxxdx(分部积分分部积分)II1111(1)(1)1nnxd xn11111(1)(1)1nnn xxdxn0(反复使用反复使用分部积分分部积分)121( 1)!(1)(1)(2)(2 )nnnxdxnnn1211( 1

31、)!(1)(1)(2)(2 )(21)nnnxnnnnII22122( 1) (2 )! ( 1) ( !)(,)22( !)(21)!nnnnnnnnP Pnn归纳归纳:110()(,)( )( )2()21mnmnmnPPPx P x dxmnn( ,0,1,2,)m n 证毕证毕 #Legendre多项式的性质多项式的性质 (续续-2)证明证明. 由关系式由关系式第第6 6章章 函数逼近函数逼近Legendre多项式满足递推公式多项式满足递推公式:11( +1)( )(21)( )( ) (1,2,)nnnnPxnxP xnPxn上式对任意上式对任意 t 成立成立, 故故tn 密次的系数

32、应为密次的系数应为0, 即两边即两边tn 的系数相等的系数相等.21 20(12)( )nnnxttP x t对对 t 求导求导, 得得23 211()(12)( )nnnxtxttnP x t两边同乘两边同乘 , 再利用再利用(1)2(12)xtt (1)2101()( )(12)( )nnnnnnxtP x txttnP x t11101( )( )( )2( )( )nnnnnnnnnnnnxP x tP x tnP x txnP x tnP x t111( )( )(1)( )2( )(1)( )nnnnnnnnnnxP x tPx tnPx txnP x tnPx t11( +1)(

33、 )(21)( )( ) (1,2,)nnnnPxnxP xnPxn证毕证毕 #Legendre多项式的性质多项式的性质 (续续-3)证明证明. (略略) 第第6 6章章 函数逼近函数逼近Legendre多项式满足关系式多项式满足关系式:21(1)( )( )( ) (1,2,)nnnxP xnPxxP xn说明说明: 这一关系式将在下一章证明这一关系式将在下一章证明Gauss-Legendre积分公式的系积分公式的系数时用到数时用到.任意区间上的任意区间上的Legendre多项式多项式第第6 6章章 函数逼近函数逼近对任意对任意a,b区间区间, 只要作线性变换只要作线性变换:,22abbax

34、t2()( )( )nnnxbaP xP tPba则则a,b上的正交多项式为上的正交多项式为:(0,1,)n 将将 , 1,1,xa bt 权函数权函数( )1x如如, 区间区间0,1上的正交多项式为上的正交多项式为:001122223323( )(21)1( )(21)211( )(21)3(21)166121( )5(21)3(21)20301212P xPxP xPxxP xPxxxxP xxxxxxl第一类切比雪夫第一类切比雪夫(Chebyshev)多项式多项式第第6 6章章 函数逼近函数逼近201234234535220( )1,( ),( )21,( )43 ,( )881,( )

35、16205 ,( 1) (1)!( )(2 )(1,2,)2!(2 )!knnknkT xT xxT xxT xxxT xxxT xxxxnnkT xxnk nk定义式定义式:( )cos(arccos )nTxnx( 11,0,1,2,)xn Tn(x) 的最高的最高次系数为次系数为:12nTn(x)的微分表示形式的微分表示形式:令令,cosx( )cos()nTxnRe()Re(cossin ) ninei详细推导过程较为繁琐详细推导过程较为繁琐, 不再详述不再详述. 具体表达式如下具体表达式如下:2 1 221 22!( )( 1)(1)(1)(1,2,)(2 )!nnnnnnndT x

36、xxnndx 它满足微分方程它满足微分方程:22(1)0 xyxyn y 1,1 ,0 x 第一类第一类Chebyshev多项式的性质多项式的性质第第6 6章章 函数逼近函数逼近Tn(x) 是区间是区间-1,1上关于权函数上关于权函数 的正交函数的正交函数系系, 且且,21 2( )(1)xx121( )( )(,)1mnmnTx TxTTdxxm=n=0,0()2 (0)(0)mnmnmn( ,0,1,2,)m n ( )cos(),nTxn证明证明. 作变换作变换 则则cos ,x0cos()cos()(,)( sin )sinmnmnTTd0cos()cos()mnd01cos()cos

37、() 2mnmnd000(,),T Tdm=n0,01(,)1cos() 2mnTTmnd2mn,00111(,)sin()sin()02mnTTmnmnmnmn证毕证毕 #第一类第一类Chebyshev多项式的性质（续）多项式的性质（续）第第6 6章章 函数逼近函数逼近Tn(x) 满足递推关系式满足递推关系式:11( )2nnnTxxTT即即,(1,2,)n 1( )cos(1) ,nTxn证明证明. 作变换作变换 则则cos ,x即即,21cos()2iixn1( )cos(1) ,nTxn11( )( )2coscos()nnTxTxn2( )nx Tx11( )2nnnTxxTT证毕证

38、毕 #Tn(x) 在在-1,1上有上有n个互异的零点个互异的零点:(1,2, )in证明证明. 由由( )cos( arccos )0nTxnxarccos(0,1,1)2nxiin21cos() (1,2, )2iixinn证毕证毕 #Tn(x)在在-1,1上有上有n+1个极值点个极值点:cos(0,1, )kkxknn且且 (k是偶数是偶数),()1nkTx证明证明. 作变换作变换 则则cos ,x( )cos()nTxn( )sin()nTxnnddx而而2110,dxdx ( )0sin0nTxn即即(0,1, )kkknn()1nkTx (k是奇数是奇数)cos(0,1, )kkxk

39、nn()cos()cos1nkkTxnk 证毕证毕 #l拉盖尔拉盖尔(Laguerre)多项式多项式第第6 6章章 函数逼近函数逼近0122323220( )1,( )1,( )42,( )9186,( 1) ( !)( )(1,2,)( !) ()!knknkL xL xxL xxxL xxxxnL xxnknk 定义式定义式:( )()nxnxnndLxex edx(0,1,2,)n Ln(x) 的最高的最高次系数为次系数为:( 1)n它满足微分方程它满足微分方程:(1)0 xyx yny具具体体表表达达式式:Laguerre多项式的性质多项式的性质第第6 6章章 函数逼近函数逼近Ln(x

40、) 是区间是区间0,+上关于权函数上关于权函数 的正交函数系的正交函数系, 且且,( )xxe200(,)( )( )( !)xmnmnmnLLeLx Lx dxnmn( ,0,1,2,)m n 证明证明. (略略)满足递推关系式满足递推关系式211( )(21)( )( )nnnLxnx Lxx Lx (1,2,)n 证明证明. (略略)三三. 函数的最佳平方逼近函数的最佳平方逼近第第6 6章章 函数逼近函数逼近l定义定义6.3 (最佳平方逼近函数最佳平方逼近函数)设设f(x)在区间在区间a,b上连续上连续, 为为a,b上的一组线性上的一组线性无关的连续函数无关的连续函数, H是其张成的线性

41、空间是其张成的线性空间. 如果如果,( ) (0,1,)ixim主要研究用最小二乘法求连续函数的近似函数主要研究用最小二乘法求连续函数的近似函数.201(,)( )( )( )bmaF aaaxf xxdx0011( )( )( )( )mmxaxaxax特例特例. 如果如果( )(0,1,)kkxxkm使得误差使得误差:2min( )( )( )baHxf xxdx其中其中 为权函数为权函数, 则称则称 为函数为函数f(x)在在H中关于权函数中关于权函数 的的最佳平方逼近函数最佳平方逼近函数.( )x( )x( )x则称则称 为函数为函数f(x)在在H中关于权函数中关于权函数 的的m次次最佳

42、平方逼近多最佳平方逼近多项式项式 或或 最小二乘平方逼近多项式最小二乘平方逼近多项式.( )x( )xl最佳平方逼近函数中的系数最佳平方逼近函数中的系数第第6 6章章 函数逼近函数逼近由极值的必要条件由极值的必要条件:0( )( )( )( ) ( )( )mbbjkkjaakxxx dx ax f xx dx 0jFa(0,1,)jm2( )( )( )( )0bjaxf xxx dx得得正则方程正则方程:矩阵形式矩阵形式:0001000101111101(,)(,)(,)( ,)(,)(,)(,)( ,)(,)(,)(,)( ,)mmmmmmmmafafaf Gram矩阵矩阵其中其中,(

43、,)( ) ( ) ( )baf gx f x g x dx由由 线性无关线性无关, 可证明可证明Gram矩阵非奇异矩阵非奇异, 正则方程有唯正则方程有唯一解一解 . 01,( ),mx 01(,)ma aa下面证明这样的解一定是最佳平方逼近下面证明这样的解一定是最佳平方逼近. 故正则方程也可写为故正则方程也可写为:(,)0jf (0,1,)jml定理定理6.5 (最佳平方逼近函数的充要条件最佳平方逼近函数的充要条件)第第6 6章章 函数逼近函数逼近可构造函数可构造函数( )( )( ),(,)iiirxxx (,)0 (0,1,)jfjm 设设f(x)在区间在区间a,b上连续上连续, 是是f

44、(x)在线性空间在线性空间H中关中关于权函数于权函数 的最佳平方逼近函数的充要条件是的最佳平方逼近函数的充要条件是,0( )( )mkkkxax( )x与与 是最佳平方逼近函数矛盾是最佳平方逼近函数矛盾. 必要性得证必要性得证.( )x证明证明. 必要性必要性 设设 是最佳平方逼近函数是最佳平方逼近函数, 须证明须证明( )x(,)0jf 采用反证法采用反证法. 假若存在假若存在 0im, 使得使得(,)0ifr 显然显然,( )xH且且,2( )( )( )(,)baxf xxdxff(,)ff(,)(,)(,)iiiiiirrff 2(,)(,)iiirf 22(,)(,)iiiir 2(

45、,)(,)(,)iiiiirrf 2(,)(,)iirff (,)ff0(,)(,()( )mkkkkffabx 0()(,)0mkkkkabf l定理定理6.5 (续续)第第6 6章章 函数逼近函数逼近证明证明. 充分性充分性 设设即即,另外另外,(,)ff(,)0 (0,1,)jfjm 则对任意则对任意0( )( ),mkkkxbxH2( )( )( )(,)baxf xxdxff(,)2(,)(,)fff 2(,)( )( )( )0baxxxdx (,)(,)(,)(,)ffffff 22( )( )( )min( )( )( )bbaaHxf xxdxxf xxdx故故 是是f(x)

46、 关于权函数关于权函数 的最佳平方逼近的最佳平方逼近. 必要性得证必要性得证.( )x( )x证毕证毕 #这样这样, 由正则方程得到的一定是唯一的最佳平方逼近由正则方程得到的一定是唯一的最佳平方逼近. l最佳平方逼近函数的例子最佳平方逼近函数的例子第第6 6章章 函数逼近函数逼近正则正则方程方程:000011112222(,)00( ,)0(,)0( ,)00(,)( ,)afafaf 其中其中,最佳平方逼近函数最佳平方逼近函数: 解解. 利用利用Legendre多项式构造多项式构造0,1上正交多项式上正交多项式:( )21nnxPx0( )1;x1( )P xx1( )21;xx221( )

47、(31)2P xx22( )661xxx求求 在在0,1区间上的二次最佳平方逼近多项式区间上的二次最佳平方逼近多项式, ( )sinf xx( )1.x12000(,)11,dx 100( ,)1 sin2,fxdx02,a12110(,)(21)1 3,xdx 110( ,)(21)sin220,fxxdx11224322200(,)(661)(367248121)1 5,xxdxxxxxdx 212230224( ,)(661)sin,fxxxdx10,a 2231210,a011( )( )xaax22( )ax整理得整理得: 2( )4.12254.12250.05047xxx l最佳

48、平方逼近函数的例子（续）最佳平方逼近函数的例子（续）第第6 6章章 函数逼近函数逼近 在在0,1区间上的二次最佳平方逼近的图形区间上的二次最佳平方逼近的图形. ( )sinf xx四四. 最佳一致逼近多项式（补充）最佳一致逼近多项式（补充）第第6 6章章 函数逼近函数逼近l定理定理6.6 (Weierstrass定理定理)关于最佳一致逼近关于最佳一致逼近, 早在早在1885年年, Weierstrass就给出以下定理就给出以下定理:0( , )( )(1)nkkn knnkkBf xfC xxn1912年伯恩斯坦年伯恩斯坦(Bernstein)给出了一个构造性的证明给出了一个构造性的证明.称称

49、设设f(x)在在a,b上连续上连续, 则对于任意则对于任意 存在多项式存在多项式P(x), 使得使得0,( )( )f xP x对所有对所有 一致成立一致成立. , xa bn 为关于为关于f(x)的的n次次Bernstein多项式多项式, 当当 时时, 在在0,1上一致收上一致收敛到敛到f(x).问题是问题是, 当精度要求比较高时当精度要求比较高时, n比较大比较大, 不太实用不太实用. 希望能对固定的希望能对固定的n, 构造不超过构造不超过n次的多项式次的多项式, 使其最佳逼近使其最佳逼近f(x).对任意区间对任意区间a,b上的函数上的函数, 总可以作变换总可以作变换:()xaba t将其

50、变换到将其变换到 . 0,1t u 最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式第第6 6章章 函数逼近函数逼近即即H为为n次多项式空间次多项式空间,0( )nkkkxa x则最佳一致逼近函数则最佳一致逼近函数:l定义定义6.4 (最佳一致逼近函数最佳一致逼近函数)则称则称 为为f(x)在在H中的中的最佳一致逼近函数最佳一致逼近函数.( )xmax( )( )minmax( )( )Ha x ba x bf xxf xx 设设f(x)在在a,b上连续上连续, H为给定的函数类为给定的函数类, 若函数若函数 满足满足:( )xH特例特例. 若若1, ,nnHHspanxx称为称为最佳一致逼近多项式最佳一