2022年递推数列特征方程法.docx

《2022年递推数列特征方程法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年递推数列特征方程法.docx（12页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载递推数列特点方程一、问题的提出递推 迭代 是中学数学中一个特别重要的概念和方法,递推数列问题才能要求高,内在联系亲密,包蕴着不少精妙的数学思想和方法；在递推数列中占有重要一席的斐波那契数列,又称兔子数列,是同学特别愿意探讨的递推问题,很多同学都会不约而同地向老师提出,这个数列有通项公式吗？如有,怎样求它的通项公式？笔者就曾遇到过一位宠爱钻研的同学,带着参考书上的解法而向我请教：已知斐波那契数列a 1a2,1an1anan1n2 ,3 ,求通项公式a ；参考书上的解法是这样的：解此数列对应特点方程为x2x1即x2x10,解得x1

2、25,设此数列的通项公式为anc 1125nc2125n,由初始条件a 1a21可知,c 11c 1c 112 55c 2125211,解之得5 1,122c 21 5c225所以an5125）125n；5这位同学坦率地表示,尽管参考书上介绍了利用特点方程求通项公式的一些结论,用上述方法得到的通项公式也是正确的,但他仍是“ 看不懂”；换句话说,这种解法的 依据是什么？特点方程是怎样来的？我虽然深知这是特点方程惹的祸,但由于现行教材只字未提特点方程,我也从未在课堂上作过补充,假如将有关利用特点方程求递推 数列通项的一些结论直接出现出来,或者以“ 高考不作要求” 为由来搪塞,同学是难以接受的,也是

3、不负责任的；面对一头雾水的数学尖子,我在充分确定其善于摸索、勇于探究的珍贵品质的同时,也在苦苦查找解答这一问题的良策；其后不久,一次偶然的数学探究活动,竟使这一长期困惑我们教学活动的尴尬问题迎刃而解；二、讨论与探究问题的解决源于对一阶线性递推数列通项公式的探求：名师归纳总结 如数列an满意a 1b,an1candc1 ,其通项公式的求法一般采纳如下的第 1 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载参数法,将递推数列转化为等比数列：名师归纳总结 设an1tcant,就an1canc1 t,第 2 页,共 6 页令c1 td,即t

4、cd1,当c1时可得an1cd1c ancd 1,知数列a ncd1是以 c 为公比的等比数列,a ncd1a 1cd c1n1将a1b代入并整理,得anbcndcbcn1d. 1将上述参数法类比到二阶线性递推数列an1panqan1,能得到什么结论？仿上,我们来探求数列a n1tan的特点：不妨设an1tans antan1,就an1stanstan1, 令stqpst（1）如方程组有两组不同的实数解s 1,t1,s 2,t2, 就an1t1 ans 1ant 1an1, an1t2ans2ant2an1, 即an1t1an、an1t2an分别是公比为1s 、s 的等比数列,由等比数列性质可

5、得an1t1a na 2t 1a 1s 1n1, an1t2a na 2t21a 1s 2n1, t1t2,由上两式消去an1可得- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ana2t1t1a 1.s 1na2t1t2a 1精品资料欢迎下载.s 2n. s 1t2s2t2（2）如方程组有两组相等的解s 1s 2,易证此时t1s 1n1s 1,就1a1,t 1t2a n1t 1ans 1ant1a n1s 12 an1t1an2a2tan1a na2s 1s 1a1,即an是等差数列,s 1n1s 1n2s 1n由等差数列性质可知a na 1n1.a2s 1s 1

6、a 1,s 1ns 12所以ana1a2s1s 1a1a2s 1s 1a 1. ns 1ns 122（限于同学学问水平,如方程组有一对共轭虚根的情形略）这样,我们通过参数方法,将递推数列转化为等比（差）数列,从而求得二阶线性递推数列的通项, 如将方程组消去t 即得s2psaq10,明显1s 、2 s 就是方程x2pxqpan的两根,我们不妨称此方程为二阶线性递推数列qan1的特点方程,于是我们n就得到了散见于各种数学参考资料的如下结论：设递推公式为an1panqan1,其特点方程为x2pxq即x2pxq0,1、 如方程有两相异根1s 、s ,就anc 1s 1nc 2s 2n；1,就可求得斐波

7、那契数列2、 如方程有两等根s 1s2,就an c 1nc2s 1n. 其中c 、c 可由初始条件确定；pq这正是特点方程法求递推数列通项公式的根源所在,令的通项,真是“ 踏破铁蹄无觅处,得来全不费工夫”！（a,b,c,dR ,c0）,看aanb将上述方法连续类比到分式线性递推数列an 1cand看又会有什么发觉？名师归纳总结 仿照前面方法,等式两边同加参数t,第 3 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就an1taanbt精品资料anab欢迎下载dtactactcandcnd令tbdt,即ct2adtb01,ct 1,1求得；act记此方

8、程的两根为t1,t2,（1）如t1t2,将t1,t2分别代入式可得an1t1act 1cannt1adan1t2act2cannt2ad以上两式相除得an1t1act1antan1t22ant, act2于是得到ant 1为等比数列,其公比为aant2act2n数列a n的通项a 可由ant1a 1t1a act1ata 1tct2n22ant11（2）如t1t2,将t1t代入式可得an1t1actcand考虑到上式结构特点,两边取倒数得名师归纳总结 11cant11dnct1acd,act1d第 4 页,共 6 页an1t1act 1ant1由于t1t2时方程的两根满意2 t11ct1于是式

9、可变形为an1t1acct1at1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - an1t1精品资料ac1欢迎下载为等差数列,其公差为,ct数列a n的通项a 可由a n1t1a 11t1n1 acct1求得这样,利用上述方法,我们可以把分式线性递推数列转化为等比数列或等差数列,从而求得其通项；假如我们引入分式线性递推数列xan 1aanb（a,b,c,dR,c0）cand的特点方程为xaxb,即cx2dab0,此特点方程的两根恰好是方程两cxd根的相反数,于是我们又有如下结论：即分式线性递推数列an 1aanb（da,b ,c,dR,c0）,其特点方程为xaxb,

10、cancxdcx2daxb0,s ,就a ns 1成等比数列,其公比为acs 1；1s 、1、如方程有两相异根a ns 2acs 22、如方程有两等根s 1s 2,就1成等差数列,其公差为ac. ans 1cs 1值得指出的是,上述结论在求相应数列通项公式时当然有用,但将递推数列转化为等 比（等差）数列的思想方法更为重要；如对于其它形式的递推数列,我们也可借鉴前面的 参数法,求得通项公式,其结论与特点方程法完全一样,有爱好的读者不妨一试；三、应用举例名师归纳总结 例1、已知数列a1,1a2n5,且an1a4an4an1n2 ,求通项公式2a ；32n1,n1解设an1tans antan1,s

11、tanstan1令st42 a可得s212a n22n1a 2a 1st4t22 an1于是an12an22an第 5 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - an1a n3,即an精品资料1欢迎下载3 为公差的等差数列,4是以a 112为首项、2n12n2n42an1n1 3,从而a n3n1 2n2.a7t74,2n24例 2、设数列an满意a 12,an15an4,求an. 2an7解：对等式两端同加参数t 得anan1t5an4t2 t5an7 t42t52 t522an72a n7n令t7t4,解之得t1, 2 ,代入上式2t52 7

12、,得an113an1,an129an2 an72an两式相除得an111an1,1的等比数列,an23an2即a n1是首项为a 111,公比为1an2a 1243a n111 3n,从而a n4n 312an2443n11四、收成与反思随着一般高中课程改革的逐步深化,要求广大老师在新课标理念指导下,大胆实 施课堂教学改革；如何制造性地处理教学内容,无疑是一项特别现实的课题；由于数 学学问出现方式的多样性、解决问题策略的多挑选性和数学思维的开放性,老师既要 加强学习,不断充实自己的学问结构,做到高屋建瓴而游刃有余,仍要不断提高驾驭 教材的才能,“ 用好教材”、“ 超越教材” 而不拘泥于教材,依据同学的实际情形,因材 施教,使同学知其然,更知其所以然,帮忙同学查找适合自己的学习方式,“ 授人以鱼 不如授之以渔”,在培育同学学习爱好的同时激发同学的思维,时时品味“ 蓦然回首,那人却在灯火阑珊处” 的精妙意境；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页