2022年线性代数知识点归纳.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点线性代数复习要点第一部分 行列式1. 排列的逆序数2. 行列式按行（列）绽开法就3. 行列式的性质及行列式的运算行列式的定义1. 行列式的运算： 定义法 Dna 11a 12a 1 nj j 12jn1 j j 12jna 1j 1a 2j2a njna21a 22a2nan 1an2a nn （降阶法） 行列式按行（列）绽开定理：名师归纳总结 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. . 第 1 页,共 19 页推论 ：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零a

2、Aj1a Aj2a AjnA,ij,0,ij.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点 化为三角型行列式 上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积 . b 11 * * *0 b 22 * *A b b 11 22 b nn0 *0 0 b nnA O A A O= A BO B O B B 如 A 与 B 都是方阵（不必同阶）, 就O A A mn= 1 A BB O B Oa 1 n O a 1 n 关于副对角线：a 2 n 1 a 2 n 1 1 n n21a a 1 n 2 n a n 1a n 1 O a n 1 O

3、1 1 1x 1 x 2 x n 范德蒙德行列式：x 1 2x 2 2x n 2x i x j1 j i nn 1 n 1 n 1x 1 x 2 x na b b bb a b bn 1 a b型公式：b b a b a n 1 b a b b b b a 升阶法 在原行列式中增加一行一列,保持原行列式不变的方法 . 递推公式法 对 n 阶行列式 D 找出 D 与 D n 1 或 D n 1 , D n 2 之间的一种关系称为递推公式,其中D , D n 1 , D n 2 等结构相同,再由递推公式求出 D 的方法称为递推公式法 . 拆分法 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式,再利用行列式

4、的性质将原行列式写成两行列式之和,使问题简化以例运算 . 数学归纳法 2. 对于 n 阶行列式A ,恒有：EAnkn1k 1S knk,其中S 为 k 阶主子式；3. 证明A0的方法：、AA ；、反证法；名师归纳总结 、构造齐次方程组Ax0,证明其有非零解；第 2 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 、利用秩,证明r An ；Mij 1ijA ij名师总结A ij优秀学问点jMij、证明0 是其特点值 . 1i4. 代数余子式和余子式的关系：其次部分矩阵1. 矩阵的运算性质2. 矩阵求逆3. 矩阵的秩的性质4. 矩阵方程的求解1.矩阵的定

5、义由 mn 个数排成的 m 行 n 列的表Aa 11a 12a 1 n称为 mn 矩阵 . a 21a 22a 2n记作：Aa ijm n或A m na m 1a m2a mn. 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等矩阵相等 : 两个矩阵同型,且对应元素相等. 矩阵运算 a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵,对应元素相加（减）. c ijAa ij. b. 数与矩阵相乘：数与矩阵 A 的乘积记作A 或 A,规定为 c. 矩阵与矩阵相乘：设Aa ijm s, B b ijs n, 就CAB, m n其中c ij a i1,a i2,a isb 1ja b i 1 1ja b i 2 2ja b

6、 is sjb 2jb sj a. 注： 矩阵乘法不满意：交换律、消去律, 即公式ABBAA不成立 . 0 或B=0n A 11n A 22AB0分块对角阵相乘：AA 11A 22,BB 11B 22ABA B 11 11A B 22 22,n A b. 用对角矩阵左 乘一个矩阵 , 相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行 向量；第 3 页,共 19 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点a 1 0 0 b 11 b 12 b 1 n a b 1 11 a b 1 12 ab 1 1 n0 a 2 0 b 21 b

7、22 b 2 n a b 2 21 a b 22 a b 2 nB0 0 a m b m 1 b m 2 b mn a b m 1 a b m 2 a b mn c. 用对角矩阵右 乘一个矩阵 , 相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列 向量 . b 11 b 12 b 1 n a 1 0 0 a b 1 11 a b 2 12 a b 1 nb 21 b 22 b 2 n 0 a 2 0 a b 1 21 a b 22 a b 2 nBb m 1 b m 2 b mn 0 0 a m a b m 1 a b m 2 a b mn d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘

8、. 方阵的幂的性质：A A m n A m n, A m n A mn 矩阵的转置：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做 A的转置矩阵,记作 A . T a. 对称矩阵和反对称矩阵 : A是对称矩阵 A A . TTA 是反对称矩阵 A A . T T TA B A C b. 分块矩阵的转置矩阵：C D B TD TA 11 A 21 A n 1 相伴矩阵：A *A ij T A 12 A 22 A n 2,A 为 A 中各个元素的代数余子式 . A 1 n A 2 n A nn* * * n 1 1 1AA A A A E , A A , A A .A *BA * A * 1 m

9、nA B分块对角阵的相伴矩阵：* mnB AB B 1 B A矩阵转置的性质： A T TA AB TB A T TA TA A 1 T A T 1 A T A T1 1 1 1 1 1 1 1 k k 1 k矩阵可逆的性质： A A AB B A A A A A A相伴矩阵的性质： A A n 2A AB B A A A n 1 A 1 A 1 AA A k A kn 如 r A nr A 1 如 r A n 1 AB A B A kA kAA A A A E （无条件恒成立）0 如 r A n 1 2. 逆矩阵的求法 方阵 A 可逆 A 0 . 名师归纳总结 第 4 页,共 19 页- -

10、 - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点1相伴矩阵法 A 1 AA注 ：ac bd ad 1bc dc a b 主副 换位变号初等行变换 1 初等变换法 A E E A 1 1 1 1A A A B 分块矩阵的逆矩阵：1 1B B B AA C 1A 1A CB 1 1 A O 1A 1O1 1O B O B C B B CA B1 1 1 1a 1 a 1 a 1 a 3 a 2 a 12 , a 2 a 12a 3 a 13 a 3 a 111 配方法或者待定系数法（逆矩阵的定义 A B B A E A）B3. 行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯

11、线,线的下方全为 0；每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面的第一个元素非零 . 当非零行的第一个非零元为 1,且这些非零元所在列的其他元素都是 0 时,称为 行最简形矩阵4. 初等变换与初等矩阵c 对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换k初等矩阵的行列式初等变换初等矩阵初等矩阵的逆rir ciE i j , E i j , 1E i j , E i j , 1irk ick cjE i k kE i k E i k 1E i krirjk cik E i j k , E i j k , 1E i j , E i j k , 1. 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对 A 施

12、行一次初等 行 变换得到的矩阵 对 A 施行一次初等 列 变换得到的矩阵, 等于用相应的初等矩阵 左 乘 A ；, 等于用相应的初等矩阵 右 乘 A . 留意：初等矩阵是行变换仍是列变换,由其位置打算：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵. 第 5 页,共 19 页5. 矩阵的秩关于 A 矩阵秩的描述：、r Ar , A中有 r 阶子式不为0,r1阶子式存在的话 全部为 0；、r Ar , A的 r 阶子式全部为0；、r Ar , A中存在 r 阶子式不为0；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点.矩阵的秩的性质：AOr A

13、 1; AOr A0; 0 r A m n minm n , . r A r ATT r A Ar kA r A其中k0如A m n,B n s,如r AB 0r A r BnAx0 的解B 的列向量全部是r AB minr A r B 如 P 、 Q 可逆,就r A r PA r AQ r PAQ ；即：可逆矩阵不影响矩阵的秩Ax只有零解 如r A m nnr ABr B ABOBO；A 在矩阵乘法中有左消去律ABACBC如r B n snr AB r BB在矩阵乘法中有右消去律 .如r A rA 与唯独的E rO等价,称E rO为矩阵 的等价标准型 . OOOOr AB r A r B ,

14、 maxr A r Br A B r A r BrAOOAr A r B , rACr A r B OBBOOB.求矩阵的秩： 定义法和行阶梯形阵方法6 矩阵方程的解法A0 ：设法化成IAXB或 IIXABTEAI 的解法：构造A B初等行变换E XII的解法：构造初等列变换XB第三部分线性方程组II的解法：将等式两边转置化为T A XTBT,用I 的方法求出X,再转置得X1. 向量组的线性表示2. 向量组的线性相关性名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点3. 向量组的秩4. 向量空间5. 线性方程

15、组的解的判定6. 线性方程组的解的结构（通解）（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）（2）非齐次线性方程组的解的结构（通解）1. 线性表示： 对于给定向量组,1,2,n ,如存在一组数k k2,k 使得k 11k22k nn,第 7 页,共 19 页就称是1,2,n的线性组合,或称称可由1,2,n的线性表示 .线性表示的判别定理:可由1,2,n的线性表示由 n 个未知数 m 个方程的方程组构成n 元线性方程：a x 11 1a x 122a x 1 nnb 1、a x1a 22x2a 2nxnb 2有解am 1x 1am2x 2anmx nb na 11a12a 1nx 1b

16、1、a 21a22a 2nx 2b 2Axam1am2a mnxmb mx 1b 1、a 1a 2anx2（全部按列分块,其中b 2）；xnbn、a x 1a x 2a x n（线性表出）、有解的充要条件：r A r A ,n （ n 为未知数的个数或维数）2.设A m n,Bn s,A 的列向量为1,2,n , B 的列向量为1,2,s,b 11b 12b 1s就ABCm s1,2,nb 21b 22b 2sc c 2,c sb n 1b n2b nsAic i, i1,2, i为Axc 的解A1,2,sA1,A2,Asc c 1 2,c s名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资

17、料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点a 1n2c 1c c 2,c 可由1,2,n线性表 示. 即： C 的列向量能由A 的列向量线性表示,B 为系数矩阵 . 同理： C 的行向量能由B 的行向量线性表示,A 为系数矩阵 . a 11a 12a 1n1c 1a 111a 122即：a 21a 22a 2n2c 2a 211a 222a 2n2c 2a n1a n2a mnnc ma m11a m22a mn2c m3. 线性相关性判别方法：法 1名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀

18、学问点法 2 法 3 推论. 线性相关性判别法（归纳）名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - .名师总结优秀学问点（向量维数变动）线性相关性的性质零向量是任何向量的线性组合, 零向量与任何同维实向量正交. 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 部分相关 , 整体必相关；整体无关, 部分必无关 . （向量个数变动）原向量组无关 , 接长向量组无关；接长向量组相关, 原向量组相关 . 两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. 向量组1,2,n 中任一向量i1 i n 都是此向量组的线性组合. 2,

19、n线性表示 , 且表示法唯独如1,2,n线性无关,而1,2,n,线性相关 , 就可由1,4. 最大无关组相关学问向量组的秩 向量组 1 , 2 , , n 的极大无关组所含向量的个数,称为这个向量组的秩 . 记作 r 1 , 2 , , n 矩阵等价 A经过有限次初等变换化为 B . 向量组等价 1 , 2 , , n和 1 , 2 , , n可以相互线性表示 . 记作：1 , 2 , , n 1 , 2 , , n 矩阵的行向量组的秩 列向量组的秩 矩阵的秩 . 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数 . 矩阵的初等变换不转变矩阵的秩 , 且不转变行（列）向量间的线性关系 向量组 1 , 2

20、, , s可由向量组 1 , 2 , , n线性表示 , 且s n ,就 1 , 2 , , s线性相关 . 向量组 1 , 2 , , s线性无关 , 且可由 1 , 2 , , n线性表示 , 就sn. 向量组 1 , 2 , , s可由向量组 1 , 2 , , n线性表示 , 且 r 1 , 2 , , s r 1 , 2 , , n , 就两向量组等价； 任一向量组和它的极大无关组等价 . 向量组的任意两个极大无关组等价 . 向量组的极大无关组不唯独,但极大无关组所含向量个数唯独确定 . 如两个线性无关的向量组等价 , 就它们包含的向量个数相等 . 设 A 是 m n 矩阵 , 如

21、r A m , A 的行向量线性无关；名师归纳总结 第 10 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点5. 线性方程组理论线性方程组的矩阵式Ax,xx 1,b 1向量式x 11,jx 22,nx nna 11a 12a 1n1jAa 21a 22a 2nx 2b 2其中j2j1 , 2,a m 1a m2a mnx nb mmj（1）解得判别定理11,2是Ax的解,12也是它的解2是Ax,的解 对任意k k也是它的解齐次方程组的解的解k11,32,k是Ax的解 对任意 个常数1,2,k,1122kk 也是它的解（2）线性方

22、程组解的性质：4是Ax的解,是其导出组Ax的解,是AxAx51,2是Ax的两个解,12是其导出组Ax的解6 2是Ax的解 就1也是它的解12是其导出组71,2,k 是Ax的解 就21 将增广矩阵A b通过初等行变换化为 22 阶梯形矩阵 也是；Ax的解12当r A br A rn时,把不是首非零元所在列对 是Ax0 的解12k0第 11 页,共 19 页3 判定 应的 1 , 2 n, r个变量作为自由元；s是 Ax 的基础解系的条件：3 4令全部自由元为零,求得 Ax b 的一个 特解 0； 1 , 2 , , s线性无关；不计最终一列,分别令一个自由元为 1,其余自由元为零,得到 ,2 A

23、x,0 s都是 Ax 基础 解系 的解；1,2,.,n-r;5写出非齐次线性方程组 Ax b 的 通解 s n r A 每个解向量中自由未知量的个数x 0 k 1 1 k 2 2 . k n r n r. 其中k k2,.,kn r为任意常数 .4 求非齐次线性方程组Ax = b 的通解的步骤名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点（5）其他性质一个齐次线性方程组的基础解系不唯独. ,s,线性无关 如是 Ax的一个解,1, ,s是 Ax的一个解1, ,Ax与 Bx同解（A B 列向量个数相同）rAr A r B , 且有结果

24、：B它们的极大无关组相对应, 从而秩相等；它们对应的部分组有一样的线性相关性； 矩阵A m n它们有相同的内在线性关系. 同解PAB （左乘可逆矩阵P ）；与B l n的行向量组等价齐次方程组 Ax与 Bx矩阵A m n与B l n的列向量组等价AQB （右乘可逆矩阵Q ） . 第四部分方阵的特点值及特点向量1. 施密特正交化过程2. 特点值、特点向量的性质及运算3. 矩阵的相像对角化,特别是对称阵的相像对角化1.标准正交基n 个 n 维线性无关的向量, 两两正交 , 每个向量长度为1. a b i2 a na b 1 1a b 2 2a b n第 12 页,共 19 页n向量a a 2,a

25、nT与b b 2,b nT的内积,与正交 ,0 . 记为：i1 向量a a 2,a nT的长度 ,na22 a 1a2 2ii1是单位向量,1. 即长度为 1的向量 . 2. 内积的性质 ： 正定性 ： ,0,且,0 对称性 ： ,名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3.名师总结优秀学问点. 线性性 ：12,1,2,k,k,设 A 是一个 n 阶方阵 , 如存在数和 n 维非零列向量x , 使得Axx,就称是方阵 A 的一个特点值,x 为方阵 A 的对应于特点值的一个特点向量A的特点矩阵EA0（或AE0）. A的特点多项式EA （或AE ）

26、 . 是矩阵 A的特点多项式AOA12nnitrA,trA称为矩阵 A 的迹 . 1 上三角阵、下三角阵、对角阵的特点值就是主对角线上的 n 各元素 . 如 A 0 , 就 0 为 A 的特点值 , 且 Ax 的基础解系即为属于 0 的线性无关的特点向量 . a 1 r A 1 A 肯定可分解为 A = a 2b 1 , b 2 , , b n、A 2 a b 1 1 a b 2 a b n A , 从而 A 的特点值a n为：1 tr A a b 1 1 a b 2 a b n , 2 3 n 0 . T注 a a 1 2 , , a n 为 A各行的公比,b b 1 2 , , b n 为

27、 A 各列的公比 . 如 A的全部特点值 1 , 2 , , n ,f A 是多项式 , 就: 如 A 满意 f A O A的任何一个特点值必满意 f i 0 f A 的全部特点值为 f 1 , f 2 , , f n ；f A f 1 2 f n . A 与 A T有相同的特点值,但特点向量不肯定相同 . 4. 特点值与特点向量的求法 1 写出矩阵iA 的特点方程AE0,求出特点值i . iE . 第 13 页,共 19 页 2 依据 AiE x0得到A 对应于特点值i的特点向量 . 名师归纳总结 设 AE x0的基础解系为1,2,n r i,其中rir A- - - - - - -精选学习

28、资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点就 A 对应于特点值 i的全部特点向量为 k 1 1 k 2 2 k n r i n r i ,其中 k k 2 , , k n r i 为任意不全为零的数 . 5. A 与 B 相像 P AP 1 B（ P 为可逆矩阵 ）A与 B 正交相像 P 1AP B（ P 为正交矩阵 ）A可以相像对角化 A与对角阵 相像 . （称 是 A 的相像标准形）6. 相像矩阵的性质： E A E B , 从而 A B 有相同的特点值 , 但特点向量不肯定相同 . 注 是 A关于 0的特点向量 , P 1 是 B 关于 0的特点向量 . tr A t

29、r B A B 从而 A B 同时可逆或不行逆 r A r B 如 A与 B 相像 , 就 A的多项式 f A 与 B 的多项式 f A 相像 . 7. 矩阵对角化的判定方法 n 阶矩阵 A 可对角化 即相像于对角阵 的充分必要条件是A 有 n 个线性无关的特点向量. 这时 , P 为 A 的特点向量拼成的矩阵,P1AP为对角阵 , 主对角线上的元素为A 的特点值 . 设i为对应于i的线性无关的特点向量, 就有：11 P AP2. nA可相像对角化nriEAk ,其中ik 为i的重数A 恰有 n 个线性无关的特点向量. 注：当i0 为 A 的重的特点值时,A 可相像对角化i的重数nr AAx基

30、础解系的个数. 如 n 阶矩阵 A 有 n 个互异的特点值A可相像对角化 . 8. 实对称矩阵的性质：名师归纳总结 特点值全是实数, 特点向量是实向量；第 14 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点 不同特点值对应的特点向量必定正交；注：对于一般方阵,不同特点值对应的特点向量线性无关； 肯定有 n 个线性无关的特点向量. 如 A有重的特点值 , 该特点值i的重数 =nriEA ； 必可用正交矩阵相像对角化,即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； 与对角矩阵合同,即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； 两个实对称

31、矩阵相像 有相同的特点值 . 9. 正交矩阵 AA TE正交矩阵的性质： A T A 1； AA T A A T E ； 正交阵的行列式等于 1 或-1 ；T 1 A 是正交阵 , 就 A,A 也是正交阵； 两个正交阵之积仍是正交阵；A 的行（列）向量都是单位正交向量组. 10. 11. 施 密 特 正 交 规 范 化1,2,3线性无关 , 第 15 页,共 19 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 正交化11名师总结优秀学问点223222,111,113,3,1单位化：331,12,212112233技巧：取正交的基础解系,跳过施密特正

32、交化；让其次个解向量先与第一个解向量正交,再把其次个解向量第四部分代入方程,确定其自由变量. 二次型1. 二次型及其矩阵形式2. 二次型向标准形转化的三种方式3. 正定矩阵的判定1. a 11a 12a 1nx 1r B二次型f x x 2,x nnna x xjx 1,x 2,x na 21a 22a 2nx 2T x Axi1j1a n1a n2a nnx n其中 A 为对称矩阵,xx x 1 2,x nT A与B合同T C ACB . （A B 为实对称矩阵, C为可逆矩阵）正惯性指数二次型的规范形中正项项数p负惯性指数二次型的规范形中负项项数rp符号差2 pr r 为二次型的秩 两个矩阵合同它们有相同的正负惯性指数他们的秩与正惯性指数分别相等. 两个矩阵合同的充分条件是：A 与B等价 两个矩阵合同的必要条件是：r A2. f x x 1 2,x nT x Ax经d yi2过正交变换xCy化为fn合同变换标准形 . 可逆线性变换1正交变换法名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 1