2022年选修-不等式选讲.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 【学问梳理】高中数学新课标 选修 4-5 不等式选讲1两个实数大小关系的基本领实ab. _; ab. _ ;ab,那么 _;假如 _,那么 ab.即 ab. _;2传递性:假如 ab,bc,那么 _;3 可加性:假如 ab,那么 _;4可乘性:假如 ab,c0,那么 _;假如 ab, cb0,那么 a n_b nnN,n1;6开方:假如 ab0,那么n a_n bn N,n1;3肯定值三角不等式1性质 1:|ab|_;2性质 2:|a|b|_ ;性质 3:_|ab|_;4肯定值不等式的解法不等式a0a0a0 1含肯定值的不等式|x|a 的解集|
2、x|0和|axb|c c0型不等式的解法|x|a |axb|c. _;|axb| c. _;3|xa|xb| c 和 |x a|xb|c 型不等式的解法利用肯定值不等式的几何意义求解,表达了数形结合的思想;利用“ 零点分段法” 求解,表达了分类争论的思想;通过构造函数,利用函数的图象求解,表达了函数与方程的思想;5基本不等式1定理:假如 a,bR,那么 a 2b 22ab,当且仅当 ab 时,等号成立ab2定理 基本不等式 :假如 a,b0,那么 2 _ ab,当且仅当 _时,等号成立;也可以表述为:两个 _的算术平均 _它们的几何平均;3利用基本不等式求最值:对两个正实数 x,y,假如它们的
3、和 S 是定值,就当且仅当 _时,它们的积 P 取得最 _值;假如它们的积 P 是定值,就当且仅当 _时,它们的和 S 取得最 _值;6三个正数的算术 几何平均不等式1定理 假如 a,b,c 均为正数,那么 abc3 _ 3 abc,当且仅当 _时,等号成立;即三个正数的算术平均 _它们的几何平均;2基本不等式的推广:对于 n 个正数 a1,a2, , an,它们的算术平均 _它们的几何平均,即a1a2 ann _ na1a2 an,当且仅当 _时,等号成立;7柯西不等式1设 a,b, c,d 均为实数,就 a2b2c2d2acbd2,当且仅当ad bc 时等号成立;2设 a1,a2,a3,
4、, an,b1,b2,b3, , bn是实数,就a2 1 a 2 2 a2 nb 1b 2 2 2 b2 n a1b1a2b2 anbn2,当且仅当bi0i1,2, , n k,或存在一个数k,使得 aikbii 1,2, , n时,等号成立; 是零向量,或存在实数3柯西不等式的向量形式:设, 是两个向量,就|,当且仅当使 k 时,等号成立;8证明不等式的方法名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1比较法:求差比较法:知道ab. ab0,ab. a bb,只要证明 _即可,这种方法称为求差比较法求商比较法: 由 ab0.
5、 a b1 且 a0,b0,因此当 a0,b0 时要证明 ab,只要证明 _即可,这种方法称为求商比较法2分析法:从待证不等式动身,逐步寻求使它成立的_,直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式 已知条件、定理等 这种证法称为分析法,即“ 执果索因” 的证明方法3综合法:从已知条件动身,利用不等式的有关性质或定理,经过推理论证,推导出所要证明的不等式成立,即“ 由因寻果” 的方法,这种证明不等式的方法称为综合法4反证法的证明步骤第一步:作出与所证不等式_的假设;推出冲突的结论,否定假设, 从而证明原不等式成立;其次步: 从条件和假设动身,应用正确的推理方法,5放缩法:所谓放缩法,即要把所证不等
6、式的一边适当地_,以利于化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而得到欲证不等式成立6数学归纳法:设 Pn是一个与自然数相关的命题集合,假如:1证明起始命题 P1或 P0成立; 2在假设 Pk 成立的前提下,推出 Pk1 也成立,那么可以肯定 Pn对一切自然数成立;1ab0 ab0 ab0;21ba ba bc 3acbc 4acbc ac 6 31|a|b| 2|ab| |a|b| |a|b|;41 x| axa 或 x0 b1 2充分条件 4 相反 5放大或缩小【基础回来】1不等式 |2x1|x2|0 的解集为 _2不等式 1|x1|3 的解集为 _32022 福建改编 设不等式
7、 |x2|aaN *的解集为 A,且 3 2A,12 .A.就 a 的值为 _4已知 a、 b、m 均为正数,且 ab, Mb,Nam,就 M、 N 的大小关系是 _5设 a32,b65,c76,就 a,b,c 的大小关系为 _. 1 x|1x1 2. 4, 20,2;31 4.Mbc【题型分类】题型一 含肯定值的不等式的解法例 12022 课标全国 已知函数 f x | xa| | x2| ;1 当 a 3 时,求不等式 f x 3 的解集; 2 如 f x | x4| 的解集包含 1 ,2 ,求 a 的取值范畴; 2x5, x2,解:( 1)当 a 3 时, fx1,2x3,当 x2 时,
8、由 fx3 得 2x 53,解得 x1;2x5,x3.当 2x3 时, fx3 无解;当 x3 时,由 fx3 得 2x53,解得 x4. 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以 fx3 的解集为 x|x1 或 x4 ;(2)fx|x4|. |x 4| |x2|xa|;当 x1, 2时, |x4|x 2| |xa|. 4x2x|xa|. 2 ax2a;由条件得 2a 1 且 2 a2,即 3a0;故满意条件的 思维升华 解肯定值不等式的基本方法:a 的取值范畴为 3, 0;1利用肯定值的定义,通过分类争论转化为解不含
9、肯定值符号的一般不等式;2当不等式两端均为正号时,可通过两边平方的方法,转化为解不含肯定值符号的一般不等式;3利用肯定值的几何意义,数形结合求解;例 2已知函数 fx |xa|;1如不等式 fx3 的解集为 x|1x5 ,求实数 a 的值;2 在1的条件下,如 fxfx5m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范畴;解:方法一 1由 fx3 得|xa|3,解得 a3xa3;a3 1,又已知不等式 fx3 的解集为 x|1x 5 ,所以 解得 a 2;a35,2当 a2 时, fx|x2|,设 gxfxfx 5,2x 1,x 3,于是 gx |x2|x3|5, 3x2,所以当 x5;2x1
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- 关 键 词:
- 2022 选修 不等式
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