2022年重要不等式.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载五、反证法 有些不等式的证明,假如从正面直接证比较困难,可以从正难就反的角度 考虑,用反证法来证明；即第一假设所要证明的不等式（结论）不成立,然后 通过合理的规律推理而导出与已知条件或其它定理冲突,从而说明假设不成立,因此确定不等式成立；假如需要证明不等式为否定命题,惟一性命题或含有 “ 至多” 、“ 至少” 、“ 不存在” 、“ 不行能” 等词语时,可以考虑使用反证法；例 1 设 , x y zyR ,且sin2xsin2ysin2z =1,求证xyz2；（1）证明 假设xz2,就有0xy2z2（ 2）（ 3）由于正弦函数在

2、区间（ 0,2）上是増函数,所以sin xysin2z cosz（3）式两边（都是正数）平方,得sin2x2 cox y 2 cox x sin2y2sin x cos ycos x sin y 2 2 2 2cos z=1-sin z =sin x +sin y 整理,得sinxsinycosx+y 024 但是由（ 1）、（2）可知x y , , x+y （ 0,）,所以（ 4）式不行能成立；因此xyz2；八、放缩法放缩法是将有关数或式适当地“ 放大” 或“ 缩小” 的一种变形技巧,要证 明不等式 A1 分析：此题并不难,只要进行适当的放缩, 要证不等式左边的项数是 n 2-n+1.假如每

3、项都缩小为1 n 2 ,便过缩, 无法判定和 1 的大小关系, 然而我们简单发觉,除第一项外,把其余 n 2-n 项都缩小为 1 n 2 ,便简单得出结论；证明：不等式左边除第一项外,仍有n 2-n 项,除末项等于1 n 2 外,其余各项大于1n 2 ,现在不转变第一项,而将其它各项全都缩小为 n 1 2 ,即得n + 1 n+1 + 1 n+2 + + 1 2 1 n +n 2-nn 1 2 =1 n +1-1 n =1,就 1 n + 1 n+1 + 1 n+2 + 1 n 2 1 使用放缩法证明不等式时要把握好“ 放缩” 的尺度,即要恰当、适度,否就将达不到预期的目的,或得出错误的结论,

4、另外,是分组分别放缩仍是单个对应放缩,是部分放缩仍是整体放缩,都要依据不等式的结构特点把握清晰；九、数学归纳法含有自然数 n 的不等式,一般可采纳数学归纳法证明,数学归纳法的基本形式：对一个与自然数n 有关的命题 P（n）；（1）当 n=1 时,命题 P（ 1）成立；（2）假设当 n=k 时,命题 P（k）成立,能推出当 n=k+1 时命题 P（k+1）也成立,由（ 1）（2）就命题 P（n）对一切自然数n 都成立,其中（ 1）是通过详细的验证,得到递推的基础； （2）是以一次性的演绎论代替无穷次的逐一验证,获得递推的依据,在推导过程中,仍要留意“ 放缩” 技巧 5；例 10：已知, a、b

5、为正实数,且1 a +1 b =1；试证：对每一个 n N,（a+b）n-a n-b n2 2n-2 n+1 证明：（1）当 n=1 时,左边 =0=右边,命题成立（2）假设当n=k 时,不等式成立,即有（a+b）k-ak-b k2 2k-2 k+1,那么当 n=k+1 时,左边 =（a+b）k+1-ak+1-b k+1=a+b（a+b）k-a k-b k+a kb+ab k,且 1 a +1 b =1,故 ab=a+b,又（ a+b）（1 a +1 b）4,故 ab=a+b4；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - a

6、 kb+abk2ak bab k精品资料k+2欢迎下载2 2 k+1=2就左边 4（2 2k-2 k+1）+2k+2=22k+2-2 k+2=右边由（ 1）和（ 2）,对一切 nN,不等式成立；说明；此题综合性强,从此题结论动身,很简单想到用数学归纳法,在证明过程中奇妙运用条件1 a +1 b =1 及一些不等式性质,关键是在推导 n=k+1 的结论时,要对不等式的变形要向n=k 时的不等式靠拢,并想方设法用到前面结论；在详细运用数学归纳法证明命题时,有以下几方面须留意：两个条件缺一不行,如有（1）而无（ 2）,就属不完全归纳,结论的一般性不行靠,如有（ 2）无（ 1）,就（ 2）中的归纳假设

7、便失去了实际基础,甚至在 探讨问题时,会得到荒谬的结论；十、增量法前面我们介绍了增量换元,在证明不等式,特殊是对称不等式经常用的,即 在假设条件 abc 下,证明一个关于 a、b、c 的不等式时,可令 a=c+p,b=c+q,（其中 pq 0,p、q 称为增量）然后进行论证, ；这种证明方法称为增量法或 放松法,它实质上是一种特殊的变量代换法；例 12：在 ABC 中,A120 , bc,求证： a3 c 证明：设 A=120 +d1（0d160 ）,b=c+d2（d20）,因 A 是其次象限角,故 cos120 +d1 cos120,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccosA=c+d

8、22+c 2-2c+d2 c cos120 +d1 c+d2 2+c 2-2c+ d2 ccos120=3c 2+3cd2+ d2 23c 2所以： a3 c 说明：此题证明过程有三步：变更已知条件,增设增量 d1、 d2,将已知的不等量关系转化为等量关系；应用有关的性质定理,并将 d1或 d2的式子代替 A 与 b；利用放缩原理,消去d1、d2,得到要证明的结论；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载十二、构造法在数学解题中, 常有一类问题, 它们的已知条件和需求结论之间不能直接建 立关系,我们经常

9、依据题目的条件,在分析联想的基础上适当地构造出一个或 几个与题目有关系的帮助等式、帮助图形、函数、模型等做为工具,参加解题,从而得到原问题的解,这样的一种解题方法叫做构造法；运用构造法解题是一 种制造性的思维活动,构造法是以制造性思维为依靠,用已知条件中的“ 元素”为“ 元件” ,用已知数学关系为支架,对题设条件、结论进行分析,联想有关知 识和方法,通过恰当地构造帮助元素,在思维中构造出一种新的数学形式,著 名的美国数学家波利亚对拟定解题方案时特殊强调“ 假设你找不出已知和未知的关系,就得考虑帮助条件”,这里所指的帮助条件问题,就包括运用构造法；（一）构造不等式例：求证1 2 3 4 5 6

10、2n-11n分析：求证不等式左边要能够便利运算,必需考虑帮助不等式 由真分数的性质（如b a是真分数,就 b a 0）,故有1 2 2 3,3 4 4 5 2n-1b0,试证明3 a - 3 b 3ab3a3bb0, a-b0,故求证不等式可变为abab0曲线上两点连线斜率和另外两点连线斜率大小比较（构造函数 y=3 x ,曲线上 A、B、C 三点坐标为a3,a、b3,b、ab3,ab,直线 AB 的斜率为3a3b,ab直线 DC 的斜率为3ab）ab- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载（三）构造函数证不等式例：求证 1+|a+b| |

11、a| 1+|a| + |b| 1+|b|分析：观看不等式左右两边,各项式子形状结构皆相像于 数 fx= x 1+x,x0,+,即 f（x）=1- 1 1+x,由于n 1+n的形式,构造函11+x在 0,+单调递减,因而 fx在 0,+单调递增,令 x1=|a+b|,x2=|a|+|b|,就有 x1x2,fx1fx2；. 即|a+b| 1+|a+b| |a|+|b| 1+|a|+|b| = 1+|a|+|b| + |a| 1+|a|+|b| |a| 1+|a| + |b| 1+|b|1有 了 上 面 的 证 明 思 路 , 我 们 便 很 容 易 地 证 明 下 一 个 不 等 式 19991

12、2 3 4 5 6 1997 1998 1 44 1在此仍渗透了一些整体思想；证 明 ： 令 A= 1 2346 1997 1998, 着 眼 作 乘 相 约 , 构 造 乘 积 式 ,B=2 3 4 5 6 7 1996 19971,明显 B 的每一个因子大于A 的相应因子,即有 AB,同时留意到B 2 =1 22 3 4 5 6 7 1996 1997因B 2的每一个因子不大于 A 的相应因子 , 即B 2 A , 于 是AB 2 A 2AB , 即 2 1998 A 1 2 1998 1； 因 而1 642 11998A1998 1 1 44 2 通过构造乘积式 B 进行放缩处理,我们得

13、到了比（1）更强的（ 2）,（1）式自然成立,在（ 2）的基础上进一步可证更强的不等式 1 51 3 60 A ,名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载同时留意到3 4 C=1 2 3 4 4 5 6 7 1996 1997,3 4 C 的每一个因子不大于 A 的相应因子,即有关系3 4 CA,于是有 3 4 ACA2AC,即9 161998 A 1 23 41 1998,就得1 60 3 41A430,y0这一不等式应用相当广泛, 举一例（直接利用算术平均数平方平均数,或柯西不等式,也可得（1）式；

14、）例 3：设 x y 0, ,如不等式 x ya x y x0,y0恒成立,求证：a 2；【解析】：由于 a 的值为正数,将已知不等式两边平方,得：x+y+2 xy a 2x+y,即 2 xy a 21x+y,x, y0, x+y2 xy ,当且仅当 x=y 时,中有等号成立 . 比较、得 a 的最小值满意 a 21=1,a 2=2,a= 2 因 a0, a 的最小值是 2 . 【解法 2】原不等式等价于axy恒成立,1xy2xy就 a 大于等于xy的最大值；由于x y0,所以xyxy2xy2xy12xyxyxyxyxy当且仅当 x=y 时等号成立；所以x xy2,所以a2；y例 4：如 a0

15、,b0,a 3+b 3=2,求证： a+b2, ab1. 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证法一：因精品资料欢迎下载a0,b 0, a 3+b 3=2,所以a+b 32 3=a 3+b 3+3a 2b+3ab 28=3a 2b+3ab 26 =3aba+b2=3aba+ba 3+b 32 2= 3 a b ab a ab b =3a+ba+b 20. 即a+b 32 3,又 a+b0,所以 0a+b2,由于 2ab a+b2,所以 ab1. 证法二：设a、b 为方程 x2mx+n=0 的两根,就mab,nab由于

16、 a0, b0,所以 m0,n0,且 =m 24n0 由于 2=a3+b 3=a+ba 2ab+b2= a+ba+b23ab=mm2 3n 所以 n=m2233 m将代入得m 2 4m 22 0,33m即m38 0,所以 m3+80,即 m 2,所以 a+b2,3m由 2m 得 4m2,又 m24n,所以 44n,即 n1,所以 ab1. 名师归纳总结 例 5：如 x,y, zR,a,b, cR+,就bacx2cbay2acbz 22xy+yz+zx 0第 7 页,共 16 页1 证明:bacx2cbay2acbz22xyyzzx zx cx22bx2ay22xycy2bz22yzaz2abb

17、ccabxay2cybz 2azcx 20abbccax 22 zxy2bacx2cbayacbz22 xyyzzx 2 证明 : 所证不等式等介于例 6：已知 a,b,c 为正实数, a+b+c=1.求证：2 2 2 y z z x x y 2x y1 a z 2+b 2+c 21y z 2 xy yz zx 3xyz yz y z zx z x xy x y 2 xyyzzx 22 xy3 az 2 y2z3 b yz2 2z 2 3 x c2 zx 26 x2yxy21证法一： a 2 x 2y 2y 2+b 2z 22+c 2z 2x 1 =y 3z yz 3z 3x zx 3 312

18、 24 3a x 2+3b yz 2+3c xy 21 z xyz3 3 2x y xy 2 x yz2xy2z2xyz232yz yz2zx zx2xyxy2x2yz 2y2z- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - =1 3a 2+3b 2+3c 2 a+b+c 23精品资料欢迎下载=1 3a 2+3b 2+3c 2 a 2b 2c 22ab2ac 2bc32+c 2+b 2+c 2=1 ab 32+bc2+ c a2 0 a2+b 2+c 213证法二： a+b+c2=a2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bca2+b 2+c 2+a2+b 2+a3a

19、 2+b 2+c 2a+b+c 2=1 a 2+b 2+c 213c232证法一:3a23 a213a21,2同理3 b23b3,3c23 c2323 a23 b23 c23 abc 962原不等式成立. 证法二：3a23b23 c2 3a2 3b2333 ab3c633 a23 b23 c2336 原不等式成立. 三、四、例2 . 如a 1,a2,a n是一组实数,且a 1a2ankk 为定值,试求：a 12a22a n2 的最小值分析：fx ax2 在n2, 上是凸函数an2k21 a2a222aa 1a2n21nn2an2k2a 12a2n当且仅当a 1an 时,取等号五、排序不等式定理

20、 4 定理 7 （排序不等式）设有两个有序数组：名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - a 1a2精品资料及b 1欢迎下载b n,anb 2就名师归纳总结 a1 b 1a2b2anbn（次序和）a n或第 9 页,共 16 页a1 bj1a2bj2anbjn（乱序和）a 1b na2bn1anb 1.（逆序和）其中j1,j2,nj是 1,2, , n的任一排列 .当且仅当a 1a2.求b 1b2b n时等号（对任一排列j1,j2,nj）成立 . 例 5（IMO20 5）设a 1,a2,a k,为两两各不相同的正整数证：对

21、任何整数n ,有kn1akn11.k2kkbn.证法一设b 1,b2,bn是a1,a2,an的一个排列,满意b 1b2因b 1,b2,b n都是正整数,故b 1,1b 22,b nn .又因1111 n,故由排序不等式,得2 22 3a 1a2an（乱序和）22n2b 1b2b n（逆序和）22n2111.2n证法二由柯西不等式,有n112n1ak1k2n1akkn11.kkkkakkak因a 1,a2,an是互不相同的正整数,易知kn11n11.akkk- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - kn11kn1ak.精品资料欢迎下载kk例 1 如 、 为锐角,

22、且满意cos 2+cos 2 + cos 2= 1,求证：ctg 2 + ctg 2 + ctg 2 3 2 数学通报 1993,6 问题 839 于证明 依据已知条件得 sin2+ sin 2+sin 2= 2,而要证不等式等价1 1 1 9sin2sin2sin22由柯西不等式得1111 sin 22sin2sin2）（111）sin2sin2sin2sin2sin2sin22（+ + ）9 2证毕关于前面例 7 我们已经用了几种解法,现利用排序原懂得决；证明：由于 b 2、 c 2、a 2 是 a 2、b 2 、c 2 的一个排列,所以由排序原理得a 2b 2b 2 c 2c 2a 2a

23、 4+b 4+c 4故（ a 2b 2b 2 c 2c 2a 2）2a 4+b 4+c 42a 2b 22b2 c 22c 2a 2 3（a 2b 2b 2 c 2c 2a 2）名师归纳总结 于是a 2b 2b 2 c 2c 2a 2a 2+b 2 +c 21 3,24 a2b2b2c2cc2a21第 10 页,共 16 页设 p=1 2 a+b+c pc =1 4 a2b2c就 Sp pa pb a2b221 4 a 2+b2 +c 241= 413 a 2+b 2 +c 2 3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即 a 2+b 2 +c 243 S；

24、精品资料欢迎下载六、贝努利不等式：1xn1nx （x1,x0, n 为正整数）当 n 为实数时贝努利不等式也成立；例 2（IM02 3）已知三角形的边长a,b,c及其面积 S求证：a2b2c243S .并求等号成立的条件这个不等式称为魏琴伯克（Weitjenb-ock）不等式,它有很多证法证法一 设 C 是 c 边所对的角,由余弦定理及三角形的面积公式,得2 2 2a b c 4 3 S2 2 2 2= a b a b 2 ab cos C 2 3 ab sin C2 2 2 22 a b 2 ab sin C 30 2 a b 2 ab 0 .上式中第一个不等式当且只当 C 30 90 时成

25、立等号, 其次个不等式当且只当 a b 时成立等号所以原不等式当且只当 a b c 时成立等号证法二 我们证明一个更一般的不等式：2 2 2 2 2 2a b c 4 3 S b c c a a b .令 a y , z b z , x c x y x y z并利用海伦公式, 就此不等式等价于yz 2zx2xy 243xyz xyz zy 2xz 2yx 2名师归纳总结 4xyyzzx 43 xyz xyz 0 .第 11 页,共 16 页xyyzzx 23xyz xyz2yz 2zx2zxxyyzxy - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下

26、载xyz时成立等号,从而原最终这个不等式明显成立,而且易知它当且仅当不等式当且只当 a b c 时成立等号附注 仍有很多关于三角形的边与面积的不等式,例如a 4b 4c 416 S 2 a b 4 b c 4 c a 4,它们也可以用上述变换方法证明例 3 2. 如a 1,a2,an是一组实数,且a1a2ankk 为定值,试求：a 12a22an2 的最小值分析：fx x2在, 上是凸函数2k2,0上是凸函数,那么在ABC中,1a 12a22an2a1a2na nnn2a 12a22an2k2x 在区间n当且仅当a1a2an 时,取等号1 .02成都模拟试题如函数ysinsinAsinBsin

27、C的最大值为32D 3 2A 1B 3C 222分析：ysinx在0 ,上是凹函数,就：Csin6033谈三1sinAsinBsinCsinAB332例sinAsinBsinC323ABC时,取等号；当且仅当sinAsinBsinC时,即角形不等式与代数不等式的相关性人们在一些中学数学的刊物上,不时的编拟出某些新的不等式,其实,只要你把握了换元这种技巧, 你便会发觉它们只不过是一些常见不等式的变式罢了. 本文意在通过实例谈名师归纳总结 谈三角形不等式与代数不等式的相关性,或许对人们的思维有点启示. 第 12 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -

28、 - 精品资料 欢迎下载三角形不等式向代数不等式的转化在多种刊物（如文 1、2 ）上探讨了如下三角形不等式：在锐角A B C中,求证cosBAcosCB3.cosAcosBCcosCcosA2笔者给出此不等式的上界,得到在锐角ABC 中,求证CcosBAcosCB2 .3cosA2cosBcosCcosA留意到同理c o s Ac o s BC,c o s BCc o s BCs i n Bs i n Cc o s Bc o s Cs i n Bs i n Cc o s Bc o s C1c o t Bc o t C1c o t Bc o t C112c o t C,c o t Bc o s

29、BA112c o t Ac o s Cc o t CcosCB11cot2cotB.cosAA于是不等式等价于在锐角ABC 中,求证1cotA1B5.9141cotBcotC1cotC1cotAcot2留意到ABC中的恒等式c o t Ac o t Ac o t B1 .c o t Bc o t Cc o t C于是三角形不等式又等价于如下代数不等式名师归纳总结 已知a,b,cR,abc,1求证第 13 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 9a11精品资料c1欢迎下载154b112证明先证左不等式,由三元均值不等式得111a1b1c13 3a11b11c1193 3a1b1cc119;9a1b14再证右不等式,事实上11151. c5a1b1c122a1b12b1c12c1a15a1b1c2abbcca4abc65 abc5abbcca5ab5 abc3abbcca0 ,显 然 成 立综上可知不等式成立. 需要指出的是,不等式是我们在文3中提出的一个新的代数不等式代数不等式向三角形不等式的转化名师归纳总结 湖北杨先义先生在文4中提出了一个特别好玩的代数不等式: 第 14 页,共 16 页已知x,y,zR,xyz,1就1x1y1z83xyz3证明 1 令xaac,yabc,zacc,a ,b ,cR,就所证不等式bbb271-