2022年高一数学基本初等函数教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载其次章 基本初等函数（）一、课标要求：教材把指数函数,对数函数,幂函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图象的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,体会建立和争论一个函数模型的基本过程和方法,学会运用具体函数模型解决一些实际问题 .1. 明白指数函数模型的实际背景 .2. 懂得有理数指数幂的意义,通过详细实例明白实数指数幂的意义,把握幂的运算 .3. 懂得指数函数的概念和意义,把握 fx=a x 的符号、意义,能借助运算器或运算机画出详细指数函数的图象,探究并懂得指数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）.4.

2、 通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型 .5. 懂得对数的概念及其运算性质,明白对数换底公式及其简洁应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,明白对数的发觉历史及其对简化运算的作用 .6. 通过详细函数,直观明白对数函数模型所刻画的数量关系,初步懂得对数函数的概念,把握fx=logax 符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型,能借助运算器或运算机画出详细对数函数的图象,探究并明白对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）.f- -1x7. 知道指数函数y=ax与对数函数y=log ax 互为反函数（ a 0, a 1）,初步明白反函数的概念和的意义 .8.

3、 通过实例, 明白幂函数的概念,结合五种详细函数yx yx3,yx1,yx1的图象, 明白它们2的变化情形.二、编写意图与教学建议：1. 教材留意从现实生活的事例中引出指数函数概念,所举例子比较全面,有利于培育同学的思想素养和激发同学学习数学的爱好和欲望. 教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟识的事例,以丰富教学的情形创设.2. 在学习对数函数的图象和性质时,教材将它与指数函数的有关内容做了比较,让同学体会两种函数模型的增长区分与关联,渗透了类比思想. 建议教学中重视学问间的迁移与互逆作用.3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念,目的在于强化指数函数与对数函数这两种函

4、数模型的学习,教学中不宜对其定义做更多的拓展 .4. 教材对幂函数的内容做了削减,仅限于学习五种同学易于把握的幂函数,并且支配的次序向后调名师归纳总结 整,教学中应防止增加这部分内容,以免增加同学学习的负担. ,教5. 通过运用运算机绘制指数函数的动态图象,使同学进一步体会到信息技术在数学学习中的作用师要尽量发挥电脑绘图的教学功能.第 1 页,共 33 页6. 教材支配了“ 阅读与摸索” 的内容,有利于加强数学文化的训练,应指导同学仔细研读. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载三、教学内容与课时支配的建议本章教学时间约为14 课时 .

5、6 课时指数（第 12 课时）2.1 指数函数：2.2 对数函数：6 课时2.3 幂函数：1 课时小结：1 课时 2.1.1 一教学目标：1学问与技能： （1）懂得分数指数幂和根式的概念；（2）把握分数指数幂和根式之间的互化；（3）把握分数指数幂的运算性质；（4）培育同学观看分析、抽象等的才能 .2过程与方法：通过与中学所学的学问进行类比,分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质 .3情态与价值（1）培育同学观看分析,抽象的才能,渗透“ 转化” 的数学思想；（2）通过运算训练,养成同学严谨治学,一丝不苟的学习习惯；（3）让同学体验数学的简洁美和统一美 .二重点、难点名师归纳总结 - - - -

6、- - -第 2 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1教学重点： （1）分数指数幂和根式概念的懂得；（2）把握并运用分数指数幂的运算性质；2教学难点：分数指数幂及根式概念的懂得三学法与教具1学法：讲授法、争论法、类比分析法及发觉法2教具：多媒体四、教学设想：第一课时一、复习提问：什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个,立方根呢？归纳：在中学的时候我们已经知道：如x2a ,就 x 叫做 a 的平方根 .同理,如x3a ,就 x 叫做 a 的立方根 .依据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如 4 的平方根为 2

7、,负数没有平方根,一个数的立方根只有一个,如8 的立方根为 2；零的平方根、立方根均为零 .二、新课讲解类比平方根、立方根的概念,归纳出 n 次方根的概念 .nn 次方根：一般地,如 x a ,就 x 叫做 a 的 n 次方根（ throot ）,其中 n 1,且 n ,当 n 为偶数时, a 的 n 次方根中,正数用 n a 表示,假如是负数,用 n a 表示,n a 叫做根式 .n 为奇数时, a 的 n 次方根用符号 n a 表示,其中 n 称为根指数, a 为被开方数 .类比平方根、立方根,猜想：当 n 为偶数时,一个数的 n 次方根有多少个？当 n 为奇数时呢？n 为奇数 , a 的

8、 次方根有一个 n , 为 naa 为正数 :n 为偶数 , a 的 次方根有两个 n , 为 naa 为负数 : n 为奇数 , a 的 次方根只有一个 n , 为 n an 为偶数 , a 的 次方根不存在 .零的 n 次方根为零,记为 n 0 0举例： 16 的次方根为 2 ,27 的 次方根为 5 27 等等,而 27的 4 次方根不存在 .小结：一个数究竟有没有 n 次方根,我们肯定先考虑被开方数究竟是正数仍是负数,仍要分清 n 为奇数和偶数两种情形 .依据 n 次方根的意义,可得：n anana 表示 a n n 的 n 次方根,等式nn aa 肯定成立吗？假如不肯定成立,那么na

9、nn ana确定成立,等于什么？名师归纳总结 让同学留意争论,n 为奇偶数和a 的符号,充分让同学分组争论.第 3 页,共 33 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 通过探究得到：n 为奇数,nana学习必备欢迎下载n 为偶数 , nan|a|a ,a0再在确定值算详细的值,这样就防止显现错误：a a0如3 333273,4 84| 8 | 8小结：当 n 为偶数时,nn a 化简得到结果先取确定值,例题：求以下各式的值（1）13 83 2 2 1 0 3 4 3.4 4 a b2分析：当 n 为偶数时,应先写nn a|a ,然后再去确定值摸索：nan

10、na n是否成立,举例说明.课堂练习： 1. 求出以下各式的值1 2 771233a33a1343 a342如2 a2 aa1,求 的取值范畴 .3运算3 8343243233三归纳小结：1根式的概念：如n 1 且n* N ,就,x 是 的 次方根 ,n 为奇数时 ,x=na,n为偶数时,xna ；n 为偶数时 ,nan|a|a a02把握两个公式：n 为奇数时 ,nan a a03作业： P69习题 2.1 A 组第 1 题其次课时 提问：1习中学时的整数指数幂,运算性质？名师归纳总结 ana a a;0 a a1a0,00无意义第 4 页,共 33 页an1a0nmn aanamamana

11、m n anm amn,ab nn na b- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载什么叫实数？有理数,无理数统称实数.（分数指数幂2观看以下式子,并总结出规律：a0 108510 a5a25a2a58 aa424 aa21210412 a4a3 4 a3a4510 a52 a5 a2a5小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式,形式） .根式的被开方数不能被根指数整除时,根式是否也可以写成分数指数幂的形式 2.如：3a 2a3a01bb2b054c 5nc4c00,nN*,n1即：ammaan为此,我们

12、规定正数的分数指数幂的意义为：m分数指数幂只是根式的一种新的写法,annm aa0,m nN*正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.即：am1 ma0,m nN*nan规定： 0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂无意义.说明：规定好分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互换的,n111而不是amamamam a0由于整数指数幂,分数指数幂都有意义,因此,有理数指数幂是有意义的,整数指数幂的运算性质,可以推广到有理数指数幂,即：名师归纳总结 - - - - - - -（1）r as aarsa0, , r sQ （2） arSarsa0, , r sQ（3） a b rr ra

13、b Q0,b0,rQ 如 a0,P 是一个无理数,就P 该如何懂得？为明白决这个问题,引导同学先阅读课本P62P62.即：2 的不足近似值,从由小于2 的方向靠近2 ,2 的过剩近似值从大于2 的方向靠近2 .所以,当2 不足近似值从小于2 的方向靠近时,52的近似值从小于52的方向靠近52.当2 的过剩似值从大于2 的方向靠近2 时,52的近似值从大于52的方向靠近52,如课本图所第 5 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载示 所以,52是一个确定的实数.0,p是一个无理数是一个确定的实数,有理数指数幂的性质同样适.一般来说,无理数指数幂apa

14、用于无理数指数幂.无理指数幂的意义,是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地靠近以确定大小摸索：23的含义是什么？由以上分析,可知道,有理数指数幂,无理数指数幂有意义,且它们运算性质相同,实数指数幂有意义,也有相同的运算性质,即：ars ararsa0,rR sR ar sarsa0,rR sR a b a b a r r0,rR 3例题（1）（P60,例 2）求值解：823 2 23 22224a 0）.3332512 5 152 15112225 12521521 5321632 34 32 332744818（2）（P60,例 3）用分数指数幂的形式表或以下各式（解：a3.aa3a1

15、a31a7222a23a2a222a283 a33 aa a1a4 a41a2a a 3323分析：先把根式化为分数指数幂,再由运算性质来运算课堂练习： P63 练习第 1,2,3,4 题补充练习：名师归纳总结 1. 运算：2n1 2 12n 2 4 82n1的结果a 101n3的值第 6 页,共 33 页2. 如a 33,a 10384,求a 3 a 3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载小结：1分数指数是根式的另一种写法 .2无理数指数幂表示一个确定的实数 .3把握好分数指数幂的运算性质,其与整数指数幂的运算性质是一样的 .习题 2

16、.1 第 2 题 作业： P69第三课时一教学目标 1学问与技能：（1）把握根式与分数指数幂互化；（2）能娴熟地运用有理指数幂运算性质进行化简,求值 .2过程与方法：通过训练点评,让同学更能娴熟指数幂运算性质 .3情感、态度、价值观（1）培育同学观看、分析问题的才能；（2）培育同学严谨的思维和科学正确的运算才能.二重点、难点：1重点：运用有理指数幂性质进行化简,求值2难点：有理指数幂性质的敏捷应用.三学法与教具：1学法：讲授法、争论法 .2教具：投影仪 四教学设想 ：1复习分数指数幂的概念与其性质 2例题讲解 例 1（P60,例 4）运算以下各式（式中字母都是正数）（1）21 611152a

17、b2a b3 3 a b6（2）138 m n8（先由同学观看以上两个式子的特点,然后分析、提问、解答）分析：四就运算的次序是先算乘方,再算乘除,最终算加减,有括号的先算括号的 . 整数幂的运算性质 及运算规律扩充到分数指数幂后,其运算次序仍符合我们以前的四就运算次序 .我们看到（ 1）小题是单项式的乘除运算；（2）小题是乘方形式的运算,它们应让如何运算呢？其实,第（ 1）小题是单项式的乘除法,可以用单项式的运算次序进行.第（ 2）小题是乘方运算,可先按积的乘方运算,再按幂的乘方进行运算211115解：（1）原式 =2 6 3a326b236=4ab0=4a名师归纳总结 （2）原式 = m18

18、 n38第 7 页,共 33 页48- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - =2 m n3学习必备欢迎下载例 2（P61 例 5）运算以下各式（1）3 252 a125425（2）a2a0）a .3分析：在第（ 1）小题中,只含有根式,且不是同类根式,比较难运算,但把根式先化为分数指数幂再运算,这样就简便多了,同样,第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法就运算.111解：（1）原式 = 253125 254231= 5 35 522131= 5325221= 565但不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母,= 6 55（2）原式 =a222

19、 a12a565 a2361a2a 3小结：运算的结果不强求统一用哪一种形式表示,又含有负指数 .课堂练习：化简：（1）2952 100 933 2 10 2（2）32 232 2（3）a a aa归纳小结：1 娴熟把握有理指数幂的运算法就,化简的基础 .2含有根式的式子化简,一般要先把根式转化为分数指数幂后再运算 .作业： P65 习题 2.1 A 组 第 4 题B 组 第 2 题2.1.2 指数函数及其性质（ 2 个课时）一. 教学目标：名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1学问与技能通过实际问

20、题明白指数函数的实际背景；懂得指数函数的概念和意义,依据图象懂得和把握指数函数的性质 .体会详细到一般数学争论方式及数形结合的思想；2情感、态度、价值观让同学明白数学来自生活,数学又服务于生活的哲理 .培育同学观看问题,分析问题的才能 .3过程与方法呈现函数图象,让同学通过观看,进而争论指数函数的性质 .二重、难点重点：指数函数的概念和性质及其应用.难点：指数函数性质的归纳,概括及其应用三、学法与教具：学法：观看法、讲授法及争论法 .教具：多媒体 .第一课时一教学设想 ：1. 情境设置在本章的开头,问题（1）中时间 x 与 GDP值中的 y 1.073 xx x 20 与问题 21中时间 t

21、和C-14含量P的对应关系 P= 1 5 30 t,请问这两个函数有什么共同特点 .2这两个函数有什么共同特点把P=1t变成P11t,从而得出这两个关系式中的底数是一个正数,自变量为指数,即都可5730573022以用ya （ a 0 且 a 1 来表示） .二讲授新课指数函数的定义一般地,函数yx a （ a0 且 a 1）叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R.提问：在以下的关系式中,哪些不是指数函数,为什么？名师归纳总结 （1）y2x2（2）y 2x（3）yx 2第 9 页,共 33 页（4）x（5）yy2 x（6）y42 xxxyyax 1（ a 1,且a2）（7）（8）-

22、- - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载x a 是一个确定的实数,所小结：依据指数函数的定义来判定说明：由于a 0, x是任意一个实数时,以函数的定义域为实数集R.的形式才能称为如a0,当x0 时,ax等于0当x0 时,ax无意义如 a0,如yx 2 ,先时, 对于x =1,x1等等,在实数范畴内的函数值不存在.68如 a=1, y1 x1,是一个常量,没有争论的意义,只有满意yaxa0,且a11不符合指数函数,a 为常数 , 象y=2-3 ,y=2 xx,yxx,y3 x5,y3 x1 等等,yx a且 a 0的形式 , 所以不是指数函数. 下

23、面我们通过我们在学习函数的单调性的时候,主要是依据函数的图象,即用数形结合的方法来争论先来争论 a 1 的情形yx用运算机完成以下表格,并且用运算机画出函数1.00y2x的图象1.001.502.003.002.502.001.500.000.50x 21111 2 4 842y x y=2- - - - - - - 0 - - - - - x - - 再争论, 0 a 1 的情形,用运算机完成以下表格并绘出函数y1 2x的图象 .名师归纳总结 yxx2.502.001.501.00 0.001.001.502.002.50第 10 页,共 33 页1 211 21 2 4 4- - - -

24、- - -精选学习资料 - - - - - - - - - y1xy 学习必备欢迎下载2- - - - - - - 0 - - - - - x - - 从图中我们看出y2x与y1x的图象有什么关系.2通过图象看出xy2x与y1x的图象关于y 轴对称 , 实质是y2x上的点-x,y 数图象.2与 =1x 上点 -x, y 关于 轴对称 .2争论：y2与y1x的图象关于y 轴对称,所以这两个函数是偶函数,对吗？2yx利用电y脑5软件画出yx 5 ,yx 3 ,y1 x ,3y1 5x的函1x5yx 3y1x30 问题： 1：从画出的图象中,你能发觉函数的图象与底数间有什么样的规律 .从图上看ya

25、（ a1）与ya （ 0 a 1）两函数图象的特点.名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 33 页0 精选学习资料 - - - - - - - - - .学习必备欢迎下载问题 2：依据函数的图象争论函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性问题 3：指数函数yx a （ a 0 且 a 1）,当底数越大时,函数图象间有什么样的关系.图象特点函数性质a 1 0 a1 向 x轴正负方向无限延长1 a 1 0 a 1 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称非奇非偶函数函数图象都在 x 轴上方函数的值域为R + 函数图象都过定点（0, 1）0 a =1 自左向右

26、,自左向右,增函数减函数图象逐步上升图象逐步下降在第一象限内的图在第一象限内的图x0,x a 1 x 0,x a 1 象纵坐标都大于1 象纵坐标都小于在其次象限内的图在其次象限内的图1 x0,x a 1 x 0,x a 1 象纵坐标都小于1 象纵坐标都大于5利用函数的单调性,结合图象仍可以看出：（1）在 , 上, =x a（ a 0 且 a 1）值域是 f a ,f b 或f b ,f a ;（2）如x0,就 1;f x 取遍全部正数当且仅当xR;（3）对于指数函数f x a （ a 0 且 a 1）,总有f1a ;（4）当 a 1 时,如1x 2x ,就f x 1f x 2；例题：f得例 1

27、：（ P66 例 6）已知指数函数f x a （ a0 且 a 1）的图象过点（3, ）,求0,f1, 3 的值.1分析：要求f0,f1, 3 的值, 只需求出a ,得出fx =3x,再把 0,1,3 分别代入 x ,即可求f0,f1,f 3 .提问：要求出指数函数,需要几个条件？名师归纳总结 课堂练习： P68练习：第 1, 2,3 题第 12 页,共 33 页补充练习： 1、函数f x 1x的定义域和值域分别是多少.22、当x 1,1 时 函数f x 3x2 的值域是多少.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解（ 1）xR y0学习必备欢迎下载（2）

28、（5 3,）例 2：求以下函数的定义域：（1）y44ax（ 2）y2 3| |R,所以,要使（ 1）,（2）题的定义域,保要使其指数部分2x分析：类为y a1,a0的定义域是有意义就得.3归纳小结作业： P69 习题 2.1 A 组第 5、6 题1、懂得指数函数 y a a x0, 留意 a 1 与 0 a 1 两种情形；2、解题利用指数函数的图象,可有利于清楚地分析题目,培育数型结合与分类争论的数学思想 .第 2 课时教学过程：1、复习指数函数的图象和性质2、例题例 1：（ P66 例 7）比较以下各题中的个值的大小（1） 1.7 2.5 与3 1.7y1.7 x的图象,在图象上 2 0.8

29、0.1与0.80.2 3 1.70.3 与3.1 0.9解法 1：用数形结合的方法,如第（1）小题,用图形运算器或运算机画出找出横坐标分别为2.5, 3 的点,明显,图象上横坐标就为3 的点在横坐标为2.5 的点的上方,所以y1.7x0 2 . 5 1. 73 1. 7解法 2：用运算器直接运算：1.72.53.773 1. 74. 9 1所以,1.72.53 1.7解法 3：由函数的单调性考虑名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由于指数函数y1.7x学习必备欢迎下载1.72.51.73在 R 上是增函数,且2.5

30、 3,所以,仿照以上方法可以解决第（2）小题.1,把这两数值分注：在第（ 3）小题中,可以用解法 1,解法 2 解决,但解法 3 不适合 .由于 1.7 0.3=0.9 3.1 不能直接看成某个函数的两个值,因此,在这两个数值间找到别与 1 比较大小,进而比较 1.7 0.3 与 0.9 3.1 的大小 .摸索：1、已知a0.8 0.7,b0.8 0.9,c1.2 0.8,按大小次序排列a b c .1%,112. 比较a3 与a2 的大小 （ a 0 且 a 0）.指数函数不仅能比较与它有关的值的大小,在现实生活中,也有许多实际的应用.例 2（P67 例 8）截止到 1999 年底,我们人口

31、哟13 亿,假如今后, 能将人口年平均均增长率掌握在那么经过 20 年后,我国人口数最多为多少（精确到亿）？分析：可以先考试一年一年增长的情形,再从中发觉规律,最终解决问题：1999 年底人口约为 13 亿y 亿,就经过 1 年 经过 2 年 经过 3 年 经过 x 年人口约为 13（1+1%）亿人口约为 13（1+1%）（1+1%）=131+1% 2 亿人口约为 131+1% 21+1%=131+1% 3 亿人口约为 131+1%x亿经过 20 年人口约为 131+1%20亿解：设今后人口年平均增长率为1%,经过 x 年后,我国人口数为y131 1%x当 x =20 时,y131 1%201

32、6 亿答：经过 20 年后,我国人口数最多为 16 亿 .小 结 ： 类 似 上 面 此 题 , 设 原 值 为 N , 平 均 增 长 率 为P , 就 对 于 经 过 时 间 x 后 总 量yN1x p ,像yN1p x等形如ykaxKR, a 0 且 a 1）的函数称为指数型函数.摸索： P68 探究：（1）假如人口年均增长率提高1 个平分点,利用运算器分别运算20 年后, 33 年后的我国人口数.（2）假如年平均增长率保持在2%,利用运算器 20222100年,每隔 5 年相应的人口数.（3）你看到我国人口数的增长出现什么趋势？（4）如何看待方案生育政策？3课堂练习名师归纳总结 （1）

33、右图是指数函数yaxyyx bayycxcyx d 的图象, 判定a b c d 与 1 的大小x第 14 页,共 33 页bxydxyx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载关系；（2）设 y 1 a 3 x 1, y 2 a 2 x, 其中 a0, a 1,确定 x为何值时,有： y 1 y 2 1y y 2（3）用清水漂洗衣服,如每次能洗去污垢的 3,写出存留污垢 y 与漂洗次数 x 的函数关系式,如要使4存留的污垢,不超过原有的 1%,就少要漂洗几次（此题为人教社 B 版 101 页第 6 题） .归纳小结：本节课争论了指数函数性

34、质的应用,关键是要记住 a 1 或 0 a 时 y a 的图象,在此 xx基础上争论其性质 .本节课仍涉及到指数型函数的应用,形如 y ka （a0 且 a 1）.作业： P69 A 组第 7 ,8 题 P70 B 组 第 1,4 题对数（第一课时）一教学目标：1学问技能：懂得对数的概念,明白对数与指数的关系；懂得和把握对数的性质；把握对数式与指数式的关系 .2. 过程与方法：通过与指数式的比较,引出对数定义与性质 .3情感、态度、价值观（1）学会对数式与指数式的互化,从而培育同学的类比、分析、归纳才能.（2）通过对数的运算法就的学习,培育同学的严谨的思维品质.（3）在学习过程中培育同学探究的意识.（4）让同学懂得平均之间的内在联系,培育分析、解决问题的才能二重点与难点：（1）重点：对数式与指数式的互化及对数的性质（2）难点：推导对数性质的三学法与教具：（1）学法：讲授法、争