2022年高一数学必修_第一章空间几何体知识点.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第一章 空间几何体1.1 空间几何体的结构1. 多面体与旋转体：（1）由如干个平面多边形围成的几何体叫做多面体 .围成多面体的各个多边形叫做多面体的面 .相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点 . （ 2）由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体,叫做旋转体,这条定直线叫做旋转体的轴 . 2. 棱柱：（ 1）有两个面相互平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱 .棱柱中,两个相互平行的面叫做棱柱的底面（简称底）,其余各面叫做棱柱的侧面,相邻

2、侧面的公共边叫做棱柱的侧棱,侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点 . （2）侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱,否就斜棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱；（3）棱柱的分类：按底面的多边形的边数分,有三棱柱、四棱柱、五棱柱等 棱柱和斜棱柱；.按侧棱与底面的关系分为直（ 4）底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体；底面为 矩形的直平行六面体叫长方体；底面为正方形的长方体叫正四棱柱；棱长都相等的正四棱柱叫正方体；（ 5）棱柱的性质：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行 且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形；3. 棱锥：（1）有

3、一个面是多边形,其余各面都是有一公共点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥.棱锥中,这个多边形面叫做棱锥的底面或底,有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面,各侧面的公共顶点叫做 棱锥的顶点,相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱 . （ 2）底面是正多边形,顶点在底面的射影是正多边形的中心的棱锥叫正棱柱；正棱柱顶点与底面中心的 连线段叫正棱锥的高；正棱锥侧面等腰三角形底边上的高叫正棱锥的斜高；（3）棱锥的分类：按底面的多边形的边数分,有三棱锥、四棱锥、五棱锥等 . （ 4）棱锥的性质：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相像,其相像比等于顶点到 截面距离与高的比的平方 . （ 5）正棱锥

4、的性质：正棱锥各侧棱都相等,各侧面都是全等的等腰三角形；正棱锥的高,斜高和斜 高在底面上的射影组成一个直角三角形,正棱锥的高, 侧棱,侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形；正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等；正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等；4. 圆柱与圆锥：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆柱；以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥.在圆柱中,旋转的轴叫做圆柱的轴,垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的

5、底面,平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面,无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 . 5. 棱台与圆台：（ 1）用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分叫做棱台；用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分叫做圆台 . （ 2）棱台的性质：两底面所在平面相互平行；两底面是对应边相互平行的相像多边形；侧面是梯形；侧棱的延长线相交于一点 . （ 3）圆台的性质：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延长线交于一点；母线长都相等 . （4）棱台与圆台统称为台体 . 6.球：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体,

6、叫球体,简称球 .在球中,半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径 . 7. 简洁组合体：由简洁几何体（如柱、锥、台、球等）组合而成的几何体叫简洁组合体 . 【常见题型】1如下四个命题：棱柱的侧面都是平行四边形；棱锥的侧面为三角形,且全部侧面都有一个共同的名师归纳总结 公共点；多面体至少有四个面；棱台的侧棱所在直线均相交于同一点.其中正确的命题有（F D ）个第 2 页,共 10 页A 1 个B2 个C3 个D4 个2圆锥底面半径为cm,高为2 cm,其中有一个内接正方体,求这个内接正方体的棱长【解】分析： 画出轴截面图,设正方体的棱长为x,利用相像列关系求解.

7、过圆锥的顶点S 和正方体底面的一条对角线CD 作圆锥的截面, 得圆锥S 的轴截面SEF,正方体对角面CDD 1C1,如下列图 . 设正方体棱长为x,就 CC1=x,C1D12x.C D 作 SOEF 于 O,就 SO2 ,OE=1,x12 / 2x . E C1O D 1QECC1EOS , CC1EC1,即SOEO21x2 cm 2, 即内接正方体棱长为2cm 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1.2 空间几何体的三视图和直观图1. 中心投影与平行投影：（1）光由一点向外散射形成的投影称为中心投影 . （2）在一束平行光线照耀下形成的投影,称为平行

8、投影 . （3）平行投影依据投射方向是否正对着投影面,可以分为斜投影和正投影两种 . 2. 柱、锥、台、球的三视图：（ 1）三视图的定义：正视图：光线从几何体的前面对后面正投影得到的投影图；侧视图：光线从几何体的左面对右面正投影得到的投影图；俯视图：光线从几何体的上面对下面正投影得到的投影图几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图（ 2）三视图的几何作用：正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度；置关系,即反映了物体的高度和宽度 . 侧视图反映了物体上下、前后的位3. 直观图： “直观图 ”最常用的

9、画法是斜二测画法,由其规章能画出水平放置的直观图,其实质就是在坐标系中确定点的位置的画法 . 基本步骤如下：（1） 建系：在已知图形中取相互垂直的 x 轴和 y 轴,得到直角坐标系 xoy,直观图中画成斜坐标系 x o y ,两轴夹角为 45 . （2）平行不变：已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x 或 y 轴的线段 . （3）长度规章：已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持长度不变；平行于 y 轴的线段,长度为原来的一半 . 留意：1. “ 视图 ”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图. 光线自物体的前面对后投影所得的投影图成为 “ 正视图

10、 ”,自左向右投影所得的投影图称为“侧视图 ”,自上向下投影所得的图形称为“俯视图 ” . 用这三种视图即可刻划空间物体的几何结构,称为“三视图 ” . 2. 画三视图之前,先把几何体的结构弄清晰,确定一个正前方,从几何体的正前方、左侧（和右侧）、正上方三个不同的方向看几何体,画出所得到的三个平面图形,并发挥空间想象才能 . 在绘制三视图时,分界线和可见轮廓线都用实线画出,被遮挡的部分用虚线表示出来3. 三视图中反应的长、宽、高的特点：“ 长对正 ” ,“ 高平齐 ” ,“宽相等 ”4. 空间几何体的三视图与直观图有亲密联系 . 三视图从细节上刻画了空间几何体的结构,依据三视图可以得到一个精确

11、的空间几何体,得到广泛应用（零件图纸、建筑图纸）依据直观图的结构想象实物的形象. 直观图是对空间几何体的整体刻画,名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【常见题型】1如图,图（ 1）是常见的六角螺帽,试画出它的三视图 . 【解】分析：画三视图之前,先把几何体的结构弄清晰,确定一个正前方,从三个不同的角度进行观看 . 在绘制三视图时,分界线和可见轮廓线 都用实线画出,被遮挡的部分用虚线表示出来 . 图（ 1）为圆柱和正六棱柱的组合体 . 从三个方向观看,得到三个平面图形,绘制的三视图如下图所示 . 2画棱长为4cm 的正

12、方体的直观图. 【解】分析： 依据斜二测画法的步骤画正方体的直观图,先画下底面,再画棱,再画上底面.（1）画法：如图,按如下步骤完成. 2cm . 第一步, 在已知的直角三角形ABC 中取直角边CB 所在的直线为x 轴,与 BC垂直的直线为y 轴,画出对应的x 轴和 y 轴,使x O y45 o . 其次步,在x 轴上取O CBC ,过C 作y 轴的平行线,取C A1CA . 2第三步,连接A O,即得到该直角三角形的直观图. （2）画法：如图,按如下步骤完成. 第一步,作水平放置的正方形的直观图ABCD ,使BAD45 , oAB4cm AD其次步,过A 作 z 轴,使BAz90o . 分别

13、过点B C D 作 z 轴的平行线,在z 轴及这组平行线上分别截取AABBCCDD4cm. 第三步,连接A B B C,C D D A ,所得图形就是正方体的直观图. 1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1. 圆 柱 ： 侧 面 绽开 图 是矩 形 , 长是 圆 柱底 面 圆周 长 , 宽是 圆 柱的 高 （母 线 ）,S 圆柱侧 =2rl ,S圆柱表 =2r rl ,其中为 r 圆柱底面半径,l 为母线长；V 圆柱Sh2 r h. 2. 圆锥： 侧面绽开图为一个扇形,半径是圆锥的母线,弧长等于圆锥底面周长,侧面绽开图扇形中心角为r3600,S圆锥侧 =r

14、l , S圆锥表 =r rl ,其中为r圆锥底面半径, l 为母线长 .V 锥1ShS 为底面l3面积, h 为高）3. 圆台： 侧面绽开图是扇环,内弧长等于圆台上底周长,外弧长等于圆台下底周长,侧面绽开图扇环中心名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 角为Rlr0 360,S圆台侧 =rR l ,S圆台表 =r2rlRl2 R. V 台1 3S SSS h（S,S分别上、下底面积,h 为高） V 圆台1S S SS h1r2rRR2h（r、R 分别为圆台上底、33下底半径）4柱、锥、台的表面积与体积的运算公式的关系棱柱

15、表面积相关公式圆柱S 全2r22表面积相关公式S 全S 侧2S 底,rh（r：底面半径, h：高）其中S 侧l侧棱长g c 直截面周长棱锥S 全S 侧S 底圆锥S 全r2rl（r：底面半径, l：母线长）棱台圆台S 全 2r2r lrl（r：下底半径, r ：上底半径, l：S 全S 侧S 上底S 下底母线长）棱柱V体积公式圆柱V体积公式棱台V1 3SS SS hS 底g h 高2 r h棱锥V1S 底g h 高圆锥V1 32 r h圆台V12 r rr2h335柱、椎、台之间,可以看成一个台体进行变化,当台体的上底面逐步收缩为一个点时,它就成了锥体；当台体的上底面逐步扩展到与下底面全等时,它

16、就成了柱体. 因而体积会有以下的关系：V 锥1S h3S 0V 台1 3SS SS hS SV 柱S h. 【常见题型】1已知圆台的上下底面半径分别是 2,5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长 . 【 解 】 设 圆 台 的 母 线 长 为 l , 就 , 圆 台 的 上 底 面 面 积 为 S上 2 24, 圆 台 的 上 底 面 面 积 为S下 5 225,所以圆台的底面面积为 S S 上 S下 29 .又圆台的侧面积 S 侧 2 5 l 7 l,于是7 l 29,即 l 29 为所求 . 72一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是 2,3, 6,就长方体的体积是 .

17、 【解】解析： 长方体的长宽高分别为 a b c ,求出 a b c 的值,再求体积 . 2设长方体的长宽高分别为 a b c ,就 ab 2, ac 3, bc 6,三式相乘得 abc 36 . 所以,长方体的体积为 6 1.3.2 球的体积和表面积名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 球的体积是对球体所占空间大小的度量,它是球半径的函数,设球的半径为R,就球的体积V 球4R332. 球的表面积是对球的表面大小的度量,它也是球半径的函数,设球的半径为R ,就球的表面积为S 球面4R2,它是球的大圆面积的4 倍3

18、. 用一个平面去截球,所得到的截面是一个圆. 【常见题型】1如图,正四棱锥 P ABCD 底面的四个顶点 A B C D 在球 O 的同一个大圆上,点 P在球面上,假如 V P ABCD 16,就球 O 的表面积是3A. 4 B. 8 C. 12 D. 16【解】 如图,正四棱锥 P ABCD底面的四个顶点 A B C D 在球 O 的同一个大圆上,点 P在球面上, PO与平面 ABCD 垂直,是棱锥的高,PO=R,S ABCD 2 R ,2V P ABCD 16,所以 1 2 R 2R 16,解得 R=2,3 3 3就球 O 的表面积是 16,选 D. 2半球内有一个内接正方体,正方体的一个

19、面在半球的底面圆内,如正方体棱长为 6 ,求球的表面积和体积【解】分析： 作出轴截面,利用勾股定理求解. ADORBC作轴截面如下列图,CC6,AC262 3,D设球半径为 R,就R2OC2CC262329ABCR3,S 球42 R36,V 球4R336AOC3练习题AC一、挑选题1有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个A 棱台B 棱锥C 棱柱D 都不对名师归纳总结 2棱长都是 1的三棱锥的表面积为（）这个球的表面积是 （）A C 3 3D 4 33B 2 33长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5 ,它的 8 个顶点都在同一球面上,A 25B 50第 6 页,共 10 页C

20、125D 都不对- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4正方体的内切球和外接球的半径之比为（）A 3 :1B 3 : 2C 2:3D 3: 384,就圆台较小底面5一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为2cm ,就球的表面积是（）8 cm22 12 cm16 cm220 cm26圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3 倍,母线长为3 ,圆台的侧面积为的半径为（）A 765 37下图是由哪个平面图形旋转得到的（）（1）（2）（ 3）（4）A（1）B（2）C （3）D（4）8 个三棱锥后,剩8在棱长为 1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形,

21、就截去A 下的几何体的体积是（）2B 7C 4D 53656（）9已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为V 和V ,就V 1:V 2A 1: 3B 1:1C 2 :1 D3:1（）10假如两个球的体积之比为8: 27, 那么两个球的表面积之比为 A 8: 27B 2:3C 4:9D 2:911有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ）,就该几何体表面积及体积为：5 6 A 2 24 cm ,12 cm2B 2 15 cm ,12 cm2C 2 24 cm ,36 cm2D 以上都不正确12正方体的全面积为18cm2,就它的体积是（）A 4cm3；B 8cm3；C 112cm

22、3；D 33 cm3；72二、填空题名师归纳总结 13如三个球的表面积之比是1: 2:3 ,就它们的体积之比是_第 7 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 14已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2 、3 、6 ,这个长方体的对角长是_；如长方体的共顶点的三个侧面面积分别为 3,5,15 ,就它的体积为 _15 Rt ABC 中,AB 3, BC 4, AC 5,将三角形绕直角边 AB 旋转一周所成的几何体的体积为_16 17等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S球 _ S正方体图（ 1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图,

23、此几何体共由_块木块堆成 ;图（ 2）中的三视图表示的实物为_图（ 1）图（ 2）18如圆锥的表面积为a 平方米,且它的侧面绽开图是一个半圆,就这个圆锥的底面的直径为_19球的半径扩大为原先的2 倍, 它的体积扩大为原先的 _ 倍9厘米就此球的半20一个直径为 32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面上升径为 _厘米21已知棱台的上下底面面积分别为4、16,高为 3, 就该棱台的体积为_ 三、解答题22将圆心角为0 120 ,面积为 3的扇形,作为圆锥的侧面,求圆锥的表面积和体积60cm和 40cm ,求它23有一个正四棱台外形的油槽,可以装油190L ,假如它的两底面边长分

24、别等于的深度为多少cm ？24已知圆台的上下底面半径分别是2,5 ,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 25如图,在四边形ABCD 中,DAB900,ADC1350,AB5,CD22,AD2,求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积参考答案一、挑选题名师归纳总结 1A 从俯视图来看,上、下底面都是正方形,但是大小不一样,可以判定是棱台第 9 页,共 10 页2A 由于四个面是全等的正三角形,就S 表面积4S 底面积43343B 长方体的对角线是球的直

25、径,l2 32 4525 2, 2R5 2,R5 2,S4R25024D 正方体的棱长是内切球的直径,正方体的对角线是外接球的直径,设棱长是aa2r 内切球,r 内切球a,3 a2 r外接球,r 外接球3a,r 内切球：r 外接球1：3225B 正方体的顶点都在球面上,就球为正方体的外接球,就2 32R ,R3,S4R2126A S 侧面积r3 r l84 ,r77 A 几何体是圆台上加了个圆锥,分别由直角梯形和直角三角形旋转而得8D V 正方体8 V 三棱锥181111153222269D V 1:V 2Sh :1Sh 3:1310C V 1:V 28: 27,r 1:r22:3,S 1:S

26、 24: 911A 此几何体是个圆锥,r3, l5,h4,S表面2 33 524V12 34123二、填空题131: 2 2 : 3 3r 1:r 2:r 31:2 :3,r3:r 23:r 333 1 :3 2 :331: 2 2 :3 31146设ab2,bc3,ac6,就abc6,c3,a2,c1l3216- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 15设ab3,bc5,ac15就abc2225, Vabc151516旋转一周所成的几何体是以BC 为半径,以 AB 为高的圆锥,V12 r h1423163316设V43 Ra3,a3V R33 V,34S

27、正6 a263V23216 V2,S 球42 R336V23216 V217（1） 4（2）圆锥182 3a设圆锥的底面的半径为r ,圆锥的母线为l ,就由l2r 得l2 r ,3而S 圆锥表r2r2 ra,即3r2a ra3a,即直径为2 3a333198r2r V28 V 12012VSh2 r h4R3,R364271232128V1S SS S h144 161632833三、解答题22解：设扇形的半径和圆锥的母线都为l ,圆锥的半径为r ,就120l23 ,l3；2 332r r1；360S 表面积S 侧面S 底面rlr24 ,V1Sh12 1222 233323解：V1S SS S h hS3 VSh3 190000753 SS36002400160024解：25l222 5 ,l29725解： S 表面S 圆台底面S 圆台侧面S 圆锥侧面2 5253 222 225 21VV 圆台V 圆锥1 3r 12r r 1 2r 22h12 r h31483名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页