概率论与数理统计几种重要的分布ppt课件.pptx

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1、第四章第四章 几种重要的分布几种重要的分布4.1 二项分布二项分布4.2 超几何分布超几何分布4.3 泊松分布泊松分布4.4 指数分布指数分布4.6 正态分布正态分布一、两点分布一、两点分布变变量量所所服服从从的的分分布布。只只取取两两个个可可能能值值的的随随机机 X1x2xPpq. 1 qp其中其中分分布布。的的服服从从参参数数为为称称若若10 ., 0, 121 pXvrxx2、数字特征、数字特征1、定义、定义, pEX .pqDX 4.1 二项分布二项分布二、二项分布二、二项分布: ),10( ,的的分分布布为为成成功功的的次次数数重重贝贝努努里里试试验验中中事事件件则则在在成成功功的的

2、概概率率为为事事件件如如果果在在一一次次试试验验中中XAnppA .3,3, 9 . 01的的分分布布次次中中取取到到的的合合格格品品件件数数求求次次连连续续每每次次一一件件重重复复抽抽取取三三次次、一一批批产产品品的的合合格格率率为为例例X.)(knkknqpCkXP 。则称则称其中其中的分布为的分布为若若),(,1, 10, 1 , 0,)(pnBXpqpnkqpCkXPXknkkn 1、定义、定义2、数字特征、数字特征nkknkknqpkCEX0 nkknkqpknknk0)!( ! nkknkqppknknn1)1()1(1!)1()1()!1()!1(nkknkknqpCnp1111

3、10111nmmnmmnkmqpCpn；np1)( nqpnp ),(pnBX22)(EXEXDX nkknkknqpCkEX122 nkknkqpknknk02)!( ! nkknkqpknknkkk0)!( !)1( EXqppknknnnnkknk 2)2()2(22!)2()2()!2()!2()1(npqpCpnnnkknkkn 22222)1(nppnn 2)1(.npq 例例2、某工厂每天用水量保持正常的概率为、某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4，求最近，求最近6天天内用水量正常的天数的分布。内用水量正常的天数的分布。解解：设最近六天内用水量保持正常的天数为：设最近六天内用水

4、量保持正常的天数为X。它服从二。它服从二项分布，项分布，n=6, p=0.75。利用二项分布公式计算。利用二项分布公式计算X0123456P0.00020.00440.03300.13180.29660.35600.1780解解：X服从二项分布，服从二项分布，n=10, p=0.2。利用二项分布公式计算。利用二项分布公式计算例例3、10部机器各自独立工作，因修理调整等原因，每部机部机器各自独立工作，因修理调整等原因，每部机器停车的概率为器停车的概率为0.2。求同时停车数目。求同时停车数目X的分布。的分布。X012345678910P0.110.270.300.200.090.030.010.0

5、00.000.000.00例例4、 一批产品的废品率为一批产品的废品率为0.03，进行，进行20次重复抽样（有放次重复抽样（有放回）。求出现废品的频率为回）。求出现废品的频率为0.1的概率。的概率。解解：X表示表示20次中抽到废品的次数，服从二项分布，次中抽到废品的次数，服从二项分布，n=20, p=0.03。利用二项分布公式计算。利用二项分布公式计算.0988. 0)2(1 . 020 XPXP3、二项分布的最可能值、二项分布的最可能值.,)(:00的的最最可可能能值值为为二二项项分分布布称称记记作作取取最最大大值值的的使使概概率率定定义义kkkkXP :,)(,00则有下面不等式则有下面不

6、等式最大最大时时设设kXPkk 1)1()(1)1()(0000kXPkXPkXPkXPpnpk 010 pnpk 不是整数不是整数当当为整数为整数当当或或即即pnppnppnppnppnpk , , 10例例5、某批产品有、某批产品有80的一等品，对它们进行重复抽样检验，的一等品，对它们进行重复抽样检验，共取出共取出4个样品，求其中一等品数个样品，求其中一等品数X的最可能值的最可能值k，并用贝努，并用贝努利公式验证。利公式验证。解解：一等品数：一等品数X服从二项分布，服从二项分布，np+p=3.2+0.8=4，所以所以k=3,4时时PX=k最大。最大。X01234P0.00160.02560

7、.15360.40960.40960011kppnppknppppnnnn0,knpn n很大时，频率为概率的可能最大很大时，频率为概率的可能最大证明：证明：YXnYpnBX则则且且若若定理定理,),(: .1),(pqqnB 其中其中有有对于对于, 1 , 0nm )()(mXnPmYP )(mnXP mmnmnnqpC ).,(qnBY则则).()( )2( );()( )1( ),(),(:mnYPmXPmnYPmXPqnBYpnBX 则有则有若若推论推论例例6、某人射击的命中率为、某人射击的命中率为0.8，今连续射击，今连续射击30次，计算命中率为次，计算命中率为 60的概率。的概率。

8、).2 . 0 ,30(,30),8 . 0 ,30(,30:BYXYBXX则则令令且且次次命命中中目目标标的的次次数数表表示示设设解解 )18(6 . 030 XPXP)12( YP)11()12( YPYP.0 99690 99050 0064).5(,42, 6),(7 XPDXEXpnBX计算计算、已知、已知例例.,:pn首先计算首先计算解解,3 . 020426 pnnpqDXnpEX.7625. 0)4(1)5(:).3 . 0 ,20( XPXPBX查表得查表得则则例例9、计算机在进行加法运算时，每个加数按四舍五入取、计算机在进行加法运算时，每个加数按四舍五入取整数，假定每个加数

9、的取整误差服从整数，假定每个加数的取整误差服从-0.5,0.5上的均匀分上的均匀分布，今有五个加数相加，计算它们中至少有三个加数的布，今有五个加数相加，计算它们中至少有三个加数的取整误差绝对值概率不超过取整误差绝对值概率不超过0.3的概率。的概率。.,1 . 0, , 010 ,2)(8的的分分布布求求的的次次数数观观测测值值不不大大于于表表示示用用次次独独立立观观测测进进行行现现对对其其它它、设设例例YYnXxxxfX )01. 0 ,(01. 02)()1 . 0(1 . 001 . 0nBYxdxdxxfXPp因因此此解解： 例例1：某班有学生：某班有学生20名，其中名，其中5名女同学，

10、今从班上任选名女同学，今从班上任选4名名学生去参观展览，被选到的女学生数学生去参观展览，被选到的女学生数X是一个随机变量，求是一个随机变量，求X的分布。的分布。)4 , 3 , 2 , 1 , 0()(4204155 kCCCkXPkk例例2：某班有学生：某班有学生20名，其中名，其中3名女同学，今从班上任选名女同学，今从班上任选4名名学生去参观展览，被选到的女学生数学生去参观展览，被选到的女学生数X是一个随机变量，求是一个随机变量，求X的分布。的分布。)3 , 2 , 1 , 0()(4204173 kCCCkXPkk4.2 超几何分布超几何分布:,21的的分分布布为为超超几几何何分分布布则

11、则称称元元素素的的个个数数个个中中第第一一类类表表示示这这令令个个从从中中不不放放回回抽抽取取第第二二类类个个属属于于个个属属于于第第一一类类其其中中个个元元素素分分为为两两类类设设XnXnNNN1、定义、定义2、数字特征、数字特征.1 ,211 NnNNNNNnDXNNnEX ),(NMnHX).,min, 2 , 1 , 0( ,)(111NnmCCCmXPnNmnNNmN 3、超几何分布与二项分布的关系、超几何分布与二项分布的关系.)(,:211mnmmnnNmnNmNqpCCCCmXPpNNNn 有有时时当当对对于于固固定定的的定定理理证明：证明：,1时时当当pNNN nNmnNmNC

12、CCmXP 21)!( !)1()1(!)1()1()1()1(222111mnmnNNNnmnNNNmNNN )!( !mnmn)11()21)(11()11()21)(11()11()21)(11(22211121NnNNNNmnNNNmNNNNnmnm mnmmnNNNNC 21)( NqpCmnmmn例例3、一大批种子的发芽率为、一大批种子的发芽率为90，从中任取，从中任取10粒，求粒，求(1)播种后恰好有播种后恰好有8粒发芽的概率。粒发芽的概率。(2)播种后不少于播种后不少于8粒发芽的概率。粒发芽的概率。解解 设设X为为10粒种子中发芽的种子数目，服从超几何分布。粒种子中发芽的种子数

13、目，服从超几何分布。但是但是N很大，很大，n=10项对于项对于N很小，可以认为很小，可以认为X近似服从二近似服从二项分布项分布B（10，0.9）。）。1937. 01 . 09 . 0)8()1(28810 CXP9298. 01 . 09 . 0)8()2(1081010 kkkkCXP.1,21pNNpNNN 分分布布为为极极限限，时时，超超几几何何分分布布以以二二项项当当 几何分布几何分布1、定义、定义 )(pGX 在无穷次贝努利试验中，事件在无穷次贝努利试验中，事件 A 首次发生时所首次发生时所需要的试验次数需要的试验次数X的分布。的分布。:,分布为分布为数数的一切可能取值为正整的一切

14、可能取值为正整X1)( kpqkXP2、数字特征、数字特征. ,12pqDXpEX 3、无记忆性、无记忆性).()|( ,mXPnXnmXPnm 都都有有对对任任意意非非负负的的)(),()|(nXPnXnmXPnXnmXP 1)()(niiXPnXP证明：证明：)()(nXPnmXP 11niipqqpqn 1.nq nnmqq mq ).(mXP 例例1、 ( 离散随机等待时间离散随机等待时间) 每张彩票中奖概率每张彩票中奖概率 0.01，某人每次只买一张。，某人每次只买一张。(1) 他买到第他买到第 k张才中奖的概率，张才中奖的概率，(2) 买了买了 8 张都张都没有中奖的概率。没有中奖

15、的概率。解解. 买到第一张中奖彩票需要的次数买到第一张中奖彩票需要的次数 X G (0.01 ) 199. 001. 0)()1( kkXP899. 0)8()2( XP1、定义、定义).(, 0, 2 , 1 , 0,!)( PXkekkXPXk则则称称其其中中的的分分布布为为若若 )( PX2、数字特征、数字特征 ekkEXkk0! 11! ) 1(kkke01!mmkmme , ekkXEkk022!EXekkkkk 0!)1(， 222)(EXEXDX . 4.3 Poisson (泊松泊松) 分布分布3、泊松分布与二项分布的关系、泊松分布与二项分布的关系.!lim)(lim , 0l

16、im, 10),(: ekqpCkXPknpppnBXkknkknnnnnnn有有对对任任何何非非负负整整数数则则且且若若定定理理:, 0:则有则有设设证明证明npn knkknkknnnkknnnppC 1!)1()1()1(knknnknk 11111! ekppCkknkknn!)1(lim定理说明，对于成功率为定理说明，对于成功率为p的的n重贝努利试验，只要重贝努利试验，只要n充分充分大，而大，而p充分小，则其成功的次数充分小，则其成功的次数X近似服从参数近似服从参数 的泊松分布。的泊松分布。 np 例例1、X服从服从poisson分布，分布，EX=5，查表求，查表求P(X=2)，P(

17、X=5)， P(X=20)。.!)(limlim)(lim ememnpqpCmXPmnpmnmnmmnnn一般当一般当 n 20 ，p 0.05 时可以近似计算时可以近似计算例例2、检查了、检查了100个零件上的疵点数，结果如表。用个零件上的疵点数，结果如表。用poisson分分布公式计算疵点数的分布，并与实际检查结果比较。布公式计算疵点数的分布，并与实际检查结果比较。疵点数疵点数0123456频数频数14272620733解解:=140+271+262+203+74+35+36)/100=2疵点数疵点数0123456频数频数14272620733频率频率0.140.270.260.20.0

18、70.030.03概率概率0.13530.27070.27070.18040.09020.03610.0361例例3、一袋重量为、一袋重量为500克的种子约克的种子约10000粒，假设该袋种子粒，假设该袋种子的发芽率为的发芽率为98.5%，从中任取，从中任取100粒进行试验，计算恰好粒进行试验，计算恰好有有1粒没有发芽的概率。粒没有发芽的概率。解解1：设：设100粒中未发芽的种子有粒中未发芽的种子有X粒，服从超几何分布。粒，服从超几何分布。N10000，N19850，n100，由于，由于N很大，很大，n100相对于相对于N很小，很小，X可用二项分布近似计算可用二项分布近似计算解解2：n100，

19、p=0.015很小，很小，X可用可用poisson分布近似计算分布近似计算5 . 1 np.334695. 0)1( XP查表得查表得.33595. 0)985. 0(015. 0)1(991100 CXP例例4、设城市每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布。、设城市每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布。据统计在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人据统计在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人概率的概率的1/2。计算一年中因交通事故至少死亡。计算一年中因交通事故至少死亡3人的概率。人的概率。解解:设随机变量设随机变量X表示一年内因交通事故死亡的人数。要表示一年内因交通事故死亡的人数。要求泊

20、松分布的参数。由题意，求泊松分布的参数。由题意，)2(21)1( XPXP4 ).4( PX)2(1)3( XPXP)2()1()0(1 XPXPXP.761896. 0 4、Poisson分布的最可能值分布的最可能值 kkXPkXPkkXPkXP)1()(11)()1( 不是整数不是整数若若为整数为整数若若, 1,0k超几何分布超几何分布nNmnNNmNCCCmXP 11)(时时且且较小较小很大很大pNNnN1,二项分布二项分布mnmmnqpCmXP )(泊松分布泊松分布时时且且较小较小很大很大0, nppn emmXPm!)(超几何分布、二项分布、泊松分布的关系超几何分布、二项分布、泊松分

21、布的关系, 1 , 0)(nkqpCkXPknkkn , 2, 1, 0!)( kkekXPk X 0 1pk1- - p p只有两个互逆结果的只有两个互逆结果的 n 次独立重复试验次独立重复试验 (n+1)p 二项分布二项分布的逼近式的逼近式,min, 1 , 0)(nMLLkCCCkXPnNknMNkM ),10(, 2 , 1)1 ()(1 pkppkXPk无穷次伯努利无穷次伯努利试验中试验中A首次首次发生的试验次数发生的试验次数对含有两类元素的有限总体对含有两类元素的有限总体进行不放回抽样时进行不放回抽样时某类元素个数的概率分布某类元素个数的概率分布在一定时间内出现在一定时间内出现在给

22、定区域的随机在给定区域的随机质点的个数质点的个数一、均匀分布一、均匀分布 ., .的分布为均匀分布的分布为均匀分布服从服从则称则称上具有均等性上具有均等性的取值在的取值在即即位置无关位置无关而与其而与其个子区间的长度成正比个子区间的长度成正比子区间内的概率仅与这子区间内的概率仅与这中任意中任意且取值在且取值在上取值上取值在区间在区间设连续型设连续型XbaXbabaXvr定义定义 若连续型随机变量若连续型随机变量 X 的概率密度为的概率密度为 1、定义、定义 ,0;,1)(其它其它bxaabxf.,baUX则称则称可描述在某区间可描述在某区间上具有等可能上具有等可能结果的随机试验结果的随机试验

23、,baUX4.4 指数分布指数分布2、分布函数、分布函数3、数字特征、数字特征 xtdtfxXPxF)()()( . , 1, , 0bxbxaabaxaxdxabxba ;2ba xdabxba 2,322baba .12)(2ab dxxfxEX )(xdxfxEX )(2222)(EXEXDX 二、指数分布二、指数分布 1、定义、定义 )( eX定义定义 若连续型随机变量若连续型随机变量 X 的概率密度为的概率密度为 , 0,00)(xxexfx；，其中其中 0为常数，为常数，则称则称 X 服从参数为服从参数为 的的指数分布指数分布， 记为记为 Xe( ). 可描述两次事件可描述两次事件

24、发生的时间间隔发生的时间间隔2、分布函数、分布函数3、数字特征、数字特征 xtdtfxXPxF)()()( . 0,1, 0 , 0 xexx 0dxxex;1 ,22 .12 dxxfxEX )(xdxfxEX )(2222)(EXEXDX 02dxexx例例1、某元件寿命、某元件寿命X服从参数为服从参数为1/1000的指数分布。的指数分布。三个这样的元件使用三个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率。小时后，都没有损坏的概率。解解：各元件寿命相互独立。因此各元件寿命相互独立。因此3个这样的元件使用个这样的元件使用1000小时都未损坏的概率为小时都未损坏的概率为 。3 e为为：的的指

25、指数数分分布布的的分分布布函函数数参参数数为为 )0(1)(1000 xexFx小小时时没没有有损损坏坏的的概概率率为为一一个个元元件件使使用用 10001)1000(1)1000( eFXP4、无记忆性、无记忆性若若 X e( ),则则)()(tXPsXtsXP 证明：证明：)(),()(sXPsXtsXPsXtsXP 命题命题)()(sXPtsXP )(1)(1sXPtsXP )(1)(1sFtsF stsee )()(tXPet 故又把指数分布称为故又把指数分布称为“永远年轻永远年轻”的分布的分布解解 X e(0. 05), (1) P(10 X 20) ，0, 0;0,05. 0)(0

26、5. 0 xxexf例例2、 从某项寿命试验的数据中知，寿命从某项寿命试验的数据中知，寿命 X 服从参数为服从参数为0.05 的指数分布，的指数分布，(1) 求求 P(1(10 80| |X 50) ); )10()20(FF 2005. 01005. 0 ee;2387. 0 事件事件 X 80 X 50， P( (X 80| |X 50) ) )50()50,80( XPXXP.2231.0 xe05. 0即有即有 - - 0.05 x x ) x ) ) 0.1 , , 则则 x 取值应在什么范围内？取值应在什么范围内？ , 0,001)(05. 0 xxexFx；，)50()80( X

27、PXP)50(1)80(1FF 5. 24 ee，1. 005. 005. 0 xdexx.46 1、定义、定义 ),(2 NX定义定义 若连续型随机变量若连续型随机变量 X 的概率密度为的概率密度为 xexfx,21)(222)( 则称则称 X 服从参数为服从参数为 和和 的的正正态分布态分布，其中其中 - 0 为常数，为常数， 记为记为 X XN( , 2 ). 4.6 正态分布正态分布正态分布是概率论中最重要的分布。正态分布是概率论中最重要的分布。自然界大量的随机现象近似服从正态，如：自然界大量的随机现象近似服从正态，如： 测量误差，生物特征数据，农作物的产量，测量误差，生物特征数据，农

28、作物的产量，工业产品的质量指标，气象数据等等；工业产品的质量指标，气象数据等等； 一般的，如果某个数量指标受到大量的随机因素一般的，如果某个数量指标受到大量的随机因素的影响，每一个因素所起的作用又很小，则这个数量的影响，每一个因素所起的作用又很小，则这个数量指标就近似服从正态分布。指标就近似服从正态分布。 概率论中的很多重要分布都与正态分布有关。概率论中的很多重要分布都与正态分布有关。(1) 密度函数关于密度函数关于 x = 对称；对称；(2) 图形在图形在x轴上方且密度函数在轴上方且密度函数在 x = 处达到最大值；处达到最大值； 两头小两头小，中间大中间大大多数现象的正常状态，大多数现象的

29、正常状态，即极端的总是少数。即极端的总是少数。正态分布密度函数的重要性质正态分布密度函数的重要性质(3) 密度函数在密度函数在 x = 处有拐点；处有拐点；(4) x轴是密度函数的水平渐近线轴是密度函数的水平渐近线；(5) 是位置参数，是位置参数， 是形状参数是形状参数 如果固定如果固定 而改变而改变 ，密度，密度函数位置改变，沿函数位置改变，沿 ox 轴平移，轴平移，但是形状不变；但是形状不变； 反之，如果固定反之，如果固定 而改变而改变 ，密度函数的位置不改变，但形状密度函数的位置不改变，但形状将随将随 的增加而变平坦，随的增加而变平坦，随 的的减小而变陡峭减小而变陡峭 。 说明固定说明固

30、定 时，对于同样长度的区间，当参数时，对于同样长度的区间，当参数 越大时，越大时，X 落在这个区间里的概率将越小，而当参数落在这个区间里的概率将越小，而当参数 越小时，越小时，X 落在这个区间里的概率将越大。落在这个区间里的概率将越大。2、数字特征、数字特征dxxeEXx 222)(21tdettxt 22)(21tdettdett 222222; xdexDXx 222)(2)(21tdettxt 22222|222222tdetett 222= 2. 3、分布函数、分布函数则则若若),(2 NX xtdtexF222)(21)(4、标准正态分布、标准正态分布 )1 , 0( NX xtdt

31、exXPx2221)()(;21)(22xex . 1, 0 DXEX-3-2-11230.10.20.30.45 . 0)0( )1( xx)(1)( )2(xx 1)(2 )3( aaXP).9 . 5(),21(),96. 1|(|),96. 1(),96. 1(),1 , 0(1 XPXPXPXPXPNX求求、若若例例5、一般正态分布与标准正态分布的关系、一般正态分布与标准正态分布的关系 uxxF)()2(证明：证明：222)(21)( xexf(1)则则和和分布函数分别为分布函数分别为和和分别为分别为其概率密度函数其概率密度函数定理：若定理：若),()(),()(),1 , 0(),

32、(2xxFxxfNYNX uxxf1)(1) ux1221211 xe xdttfxF)()()2(dtutx 1, uty令令dydt 有有dyyxFux )()( ux);1 , 0(,),()1(2NYXYNX则则若若 ).,(),0( ,),()2(222 abaNYabaXYNX则则若若定理：定理： 标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布. 只需查只需查标准正态分布标准正态分布的分布表，就可以解决的分布表，就可以解决正态分布正态分布的概率的概率计算问题计算

33、问题.)(bXaP bbXP)( bYaP ab).10()1|8(|)5 . 0 , 8(22 XPXPNX及及，求，求、若、若例例)1 , 0(5 . 08)5 . 0 , 8(2NXNX，解：解：9549. 01)2(225 . 08)1|8(| XPXP99996833. 0)4(5 . 0810)10()10( XP。和和求求及及，、若、若例例 ,618. 0)3(045. 0)5(),(32XPXPNX)1 , 0(),(2NXNX ，解：解：,045. 05)5( 又又XP)7 . 1(955. 0551 )3 . 0(618. 03)3( 又又XP48 . 1 ，例例4、设、设

34、 X N(1,4) , 求求 P (0 X 1.6).解解 210216 . 1)6 . 10(XP 5 . 03 . 0 5 . 01 3 . 0 6915. 016179. 0 3094. 0 ).0(, 3 . 0)42(), 2(52 XPXPNX求求且且、若、若例例解一：解一： 20)0(XP 21 2224)42(XP)0(2 3 . 0 8 . 02 2 . 0) 0( XP解二解二 图解法图解法0.22 . 0)0( XP由图知由图知-22460.050.10.150.20.3例例6 (3 原理原理)解解)33()3|(| XPXP 33 33 9974. 019987. 02

35、132 一次试验中一次试验中, X 落入区间落入区间( - 3 , +3 )的概率为的概率为 0.9974, 而超出此区间可能性很小而超出此区间可能性很小由由3 原理知原理知，1)(3,0)(3 bbaa时时时时当当).3|(|),(2 xPNX求求设设例例7、 设测量的误差设测量的误差 X N(7.5,100)(单位单位:米米)，问要进行多少，问要进行多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的米的概率大于概率大于0.9 ?解：解： 105 . 710105 . 710)10|(|XP 75. 125. 0 75. 11 25. 0

36、 5586.0 设设 A 表示进行表示进行 n 次独立测量至少有一次误差的绝对值不超过次独立测量至少有一次误差的绝对值不超过10米。米。9 . 0)5586. 01(1)( nAPn 3故至少要进行故至少要进行 4 次独立测量才能满足要求次独立测量才能满足要求.).,(,)(, 0, 00, 00,)()(011rXXdxexrrxxexrxfXxrxrr 分布，记为分布，记为服从服从则称则称其中其中具有概率密度具有概率密度变量变量定义：如果连续型随机定义：如果连续型随机 01)(dxexrxEXxrr分布分布 1、定义、定义 ),(rX 2、数字特征、数字特征 01)()()(1xdexrx

37、r)()1(rr ; r 0122)(dxexrxEXxrr 012)()()(1xdexrxr)()2(2rr ;)1(2 rr22)(EXEXDX .2 r阶阶爱爱尔尔朗朗分分布布。为为排排队队论论中中常常用用的的为为正正整整数数时时，当当rxxexrxfrxrr 0, 00,)!1()()2(1).(,0, 00,)2(21)(21),(2)3(222122nXnxxexnxfnnrxnn 记记为为分分布布个个自自由由度度的的为为具具有有时时，是是正正整整数数当当 数数分分布布。时时即即为为前前面面介介绍绍过过的的指指1)1( r3、特殊情形、特殊情形).,(),(,212121nnii

38、nrrrXXXrXXXX 则则它它们们的的和和相相互互独独立立，且且定定理理：如如果果).1()1 , 0(22 XNX，则，则定理：如果定理：如果分分布布与与正正态态分分布布的的关关系系、 24 证明：证明：2221)(),1 , 0(xexNX )()(22xXPxFX 0),(, 0 , 0 xxXxPxdxxxdxfxX)()()(,02 时时当当xxx2)()( 22121xex . 0,21, 0 , 0)(2212xexxxfxX 21注意注意二元正态分布二元正态分布 22221212112221)(2)1(21exp121),( yyxxyxf的联合概率密度为的联合概率密度为机

39、变量机变量定义：若二元连续型随定义：若二元连续型随),(YX服从二元正态分布。服从二元正态分布。称称时时均为常数。均为常数。其中其中),(,1| , 0, 0,212121YX .布布边边缘缘密密度度是是一一元元正正态态分分定定理理：二二元元正正态态分分布布的的. 0),( 的相关系数的相关系数与与独立独立态分布的随机变量态分布的随机变量定理：对于服从二元正定理：对于服从二元正YXYX两个重要的连续型随机变量的分布两个重要的连续型随机变量的分布).(,1)2()21()()(1212ntXtnXnxnnnxfxfXn记记为为分分布布，个个自自由由度度的的服服从从具具有有则则称称为为，的的概概率

40、率密密度度、若若连连续续型型随随机机变变量量 ).,(,0, 00,1)2()2()2()()(221212212122121212111nnFXFnnXxxxnnxnnnnnnxfxfXnnnn记记为为分分布布，的的，第第二二个个自自由由度度为为为为服服从从具具有有第第一一个个自自由由度度则则称称为为，的的概概率率密密度度、若若连连续续型型随随机机变变量量 描述在某区间上描述在某区间上具有等可能结果具有等可能结果的随机试验的随机试验 描述影响某一数量指标的描述影响某一数量指标的随机因素很多，每一因素随机因素很多，每一因素独立，独立，但每个因素所起但每个因素所起作用不大的随机试验作用不大的随机

41、试验描述电子描述电子产品或动物寿命的分布产品或动物寿命的分布, , 各种随机服务系统的服务时间、各种随机服务系统的服务时间、等待时间等等待时间等 ,0;,1)(其其它它bxaabxf , 0,00)(xxexfx；， xexfx,21)(222)( X 在区间在区间(a, b)上取值上取值, 且取值且取值在在(a, b)中任意小区间内的概率中任意小区间内的概率仅与小区间的长度成正比仅与小区间的长度成正比 ., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF0,00,1)(xxexFx 随机变量随机变量 X分布函数分布函数离散型离散型连续型连续型 分布列分布列 密度函数密度函数 复习复习 其图形是右连续

42、的阶梯曲线其图形是右连续的阶梯曲线 xxkkpxF)(,)()( xtdtfxF其图形是连续曲线其图形是连续曲线 kkpxXP )( f (x) 常见的分布常见的分布 离散型离散型连续型连续型两点分布、二项分布、泊松分布两点分布、二项分布、泊松分布超几何分布、几何分布超几何分布、几何分布x p(x)0 f (x)x0 特征特征非负非负 规范规范 至此，我们已介绍了两类重要的随机变量至此，我们已介绍了两类重要的随机变量: : 全部可能的取值全部可能的取值取值的概率分布取值的概率分布是判定一个函数是否为某随机变量是判定一个函数是否为某随机变量X的分布列或密度的充要条件的分布列或密度的充要条件.F(

43、X)= P(X x)均匀分布、指数分布、正态分布、均匀分布、指数分布、正态分布、 分布分布分布分布分布列或分布密度分布列或分布密度期望期望方差方差B( (n, p) ) ( (01) ) U( (a, b) ) e( ( ) ) p pq np npq 其其它它,0;,1)(bxaabxf0,)2)(exp(21)(22 xxf1 , 0,)(1 kqpkXPkkknkknqpCkXP )(P( ( ) ) 00,00,)( xxexfx 2ba12)(2ab 2 N( ( , 2) ) !)(kekXPk 121 体现了随机变量数字特征的重要性体现了随机变量数字特征的重要性 常用随机变量的期望与方差常用随机变量的期望与方差可可以以互互相相确确定定均均和和参参数数关关联联1,10 qpp1, 10,1 , 0qppnk, 1, 0,0 k