2022年解直角三角形知识点.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 一、 直角三角形的性质： 1、两个锐角互余 C=90 A+B=90A 2、在直角三角形中,30 角所对的直角边等于斜边的一半； C=90 A=30 BC=1 AB 2D 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ACB=90 D 为 AB的中点 CD=1 AB=BD=AD 2a2C 2 b ,b2c2B 4、勾股定理：a2b2c2：a2b22 c 仍可以变形为c22 a 5、射影定理： 在直角三角形中, 斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项,每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项 ACB=90 CDAB CD2AD.BDAC2

2、AD.ABBC2BD.AB6、常用关系式由三角形面积公式可得：AB. CD=AC. BC 二、锐角三角函数1、锐角三角函数定义：在 RT ABC 中, C=90 , a 、 b 、 c 分别是 A、 B、 C的对边,就：sinAA 的对边accosAA 的邻边b斜边c斜边ctanAA 的对边acotAA 的邻边bA 的邻边bA 的对边a常用变形：ac g sinA；aA等,由同学们自行归纳sin2、锐角三角函数的有关性质：（1）当 0 A90 时, 0 sin A 1； 0 cos A 1； tan A 0； cot A 0（2）在 0 : 90 之间,正弦、正切（sin 、 tan ）的值,

3、随角度的增大而增大；余弦、余切（ cos 、 cot ）的值,随角度的增大而减小；3、同角三角函数的关系：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - sin2Acos2A1tanA g cotA1tanAsinAcotAcosAcosAsinA常用变形：sinA12 cosAcosA12 sinA（用定义证明,易得,同学自行完成）4、正弦与余弦,正切与余切的转换关系：如图 1,由定义可得：sinAacosBAcos90A同理可得：AcsinAcos90Asin90tanAcot90cosAcotAtan90A5、特别角的三角函

4、数值：AA三角函数0B22C260B230C345603045190sincostan-cot（运算器、特别角）二、有关三角函数运算三、解直角三角形已知的一些边、角 求 另一些边、角1、解直角三角形的基本类型及其解法总结：类型已知条件cBa2b2解法90A, tanAa,B两直角边 a 、 bb两边290A直角边 a ,斜边 cbc2a, sinAa,Bc一边直角边 a ,锐角 A90A,bacotA ,casinA一锐角斜边c,锐角 AB90A,acg sinA,bc g cosA例 1：在 Rt ABC中, C=Rt ,a,b,c是 ABC的三边 ,a=6, B=30 求 A,b,c. 名

5、师归纳总结 在 Rt ABC中 , C=Rt,a,b,c是 A, B,C的对边 ,a=5,b=53, 求 c, A, B. 第 2 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2: 在 Rt ABC中, C=Rt,a,b,c是三边 , 且ctgA3,a=6. 求 c. 8在 Rt ABC中, C=Rt, B=30 ,a-b=2. 求 c. 在 Rt ABC中, B=45 , C=60 ,BC= 6 2 3 . 求 S ABC及 ABC的周长 . 在 Rt ABC中, C=Rt, AC 8 5 , A的平分线 AD的长是 16 15解直角三角形

6、. 3在 Rt ABC中, C=90 , AB 10 3 , cosABC 3.D 是 AC上一点 DBC=30 . 求5BC,AD. 2、解直角三角形的实际运用1 仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角；视线铅垂线仰角俯角 水平线h i h : l视线 l2 坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度 坡比 ；用字母 i 表示,即 i h；坡l度一般写成 1: m的形式,如 i 1:5 等；把坡面与水平面的夹角记作 叫做坡角 ,那么hi tan；l3 从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角；如图 3,OA、OB、OC、 OD的方向角分别是：45 、 1

7、35 、 225 ；4 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90 的水平角, 叫做方向角； 如图 4,OA、OB、 OC、OD的方向角分别是：北偏东30 （东北方向）,南偏东 45 （东南方向） ,南偏西 60 （西南方向） ,北偏西 60 （西北方向） ；补充： 在两个直角三角形中,都缺解直角三角形的条件时,可用列方程的方法解决；有关公式名师归纳总结 （1）S1absinC =1 2bcsinA =1 2acsinB第 3 页,共 6 页2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）Rt 面积公式：S V1ab1 2chab2（3）结论：直角三角形斜边

8、上的高hc（4）测底部不行到达物体的高度如右图,在 Rt ABP中,QPABP=xcot x在 Rt AQB中,BQ=xcotBaBQBP=a,即 xcot -xcot =a解直角三角形的学问的应用,可以解决：1 测量物体高度2 有关航行问题3 运算坝体或边路的坡度等问题3、三角形的面积公式：已知 ABC 中, A、 B、 C的对应边分别是 a 、 b 、 c ,如图 2,过点 A作 AD BC于点 D；在 RT ABD 中, sin B AD,即：AD AB g sin B（AD c g sin B）AB1 1 1S ABC BC AD a c g g sin B ac sin B（其中：

9、B 为 a 、 c 的夹角）2 2 2同理可得 ：S ABC 1ac sin B 1bc sin A 1ab sin C （三角形的面积公式）2 2 2由面积公式可得：1ac sin B 1bc sin A2 2两边同时除于 1 c 得：a sin B b sin A a b2 sin A sin B同理可得, 正弦公式：a b csin A sin B sin C余弦定理如图 2：ADb g sinC,BDBCCDab g cos C,在直角三角形ABD 中,由勾股定理得：AB2b2AD2CBD2c2 bg sinC2abg cos 2整理得：a22abcosCcos2C2 csin2a22

10、abcos Cb2cos2Cb2sin2Cc2b2a22 abcosC整理得到余弦定理：c2a2b22abcosC （ C 为a 、 b 的夹角）名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 同理可得：（余弦定理及其变形）a2b2c22 bccosAcosAb22 ca22bcb2a2c22accosBcosBa2c2b22acc2a2b22 abcosCcosCa2b2c22ab四、三角函数与相像：如图 5,可以利用相像进行求解,也可以利用三角函数进行求解：cosAADAABxx3.26sinADEBCAEAC610AEAC如图 6,DEBCxtanAEAB48备注：三角函数,在解决直角三角形的一些问题中,有时候会比相像书写更简洁一些C五、三角函数与一次函数设一次函数ykxb 经过点A x 1,y 1与B x 2,y2那么我们可以列出方程组：ADBy 1kx 1b就可以得到：ky2y 1如下图所示：ktany 2kx 2bx 2x 1Bx 2,y2y2y1Ax 1,y1y2-y1x2-x1名师归纳总结 Ox1x2第 5 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页