2022年高中数学-有关圆锥曲线的经典结论.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 解析几何专题 经典结论 常用技巧 Marine 有关解析几何的经典结论1.|一、椭圆点 P 处的切线 PT平分PF1F2在点 P 处的 外角 . 2.PT平分 PF1F2在点 P处的外角, 就焦点在直线PT上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径3.的圆,除去长轴的两个端点. 以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相离 . 4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 . 5.假设P x 0,y0在椭圆x2y21上,就过0P 的椭圆的切线方程是x xy y1. a22 b2 ya2b26.假设P x 0,y0在椭圆x21外 ,就过 Po 作椭

2、圆的两条切线切点为P1、P2,就切2a2 b7.点弦 P1P2 的直线方程是 x x 2 y y 2 1 . b a 2 2椭圆 x 2 y 2 1 a b 0 的左右焦点分别为 a bF1, F2,点P 为椭圆上任意一点F PF 2y2,就椭圆的焦点角形的面积为SF PF 12b 2 tan2.椭圆x28.221ab0的焦半径公式：ab9.MF 1|aex ,|MF2|aex F 1c ,0 , F2 ,0M x0,y 0. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q两点, A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和10.AQ分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M、N两点,就 MFNF. 过椭圆一个

3、焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q交于点 M,A2P 和 A1Q交于点 N,就 MFNF. 11.AB 是 椭 圆x2y21的 不 平 行 于 对 称 轴 的 弦 , Mx0y0为AB 的 中 点 , 就a22 b12.k OMkABb2,2a即K AB2 bx 0；a2y 0在 椭 圆2 xy21内 , 就 被Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是假 设P x0,y0a2b213.x xy y2 x 0y02. a2b2a2b2在 椭 圆x2y21内 , 就 过Po的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是假 设P x0,y0a22

4、 b第 1页,共 8页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - x2y2x x 0y y 0. 解析几何专题 经典结论 常用技巧Marine a22 ba2b2二、双曲线1.点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P 处的 内角 . PT 上的射影 H点的轨迹是以长轴为2.PT平分PF1F2 在点 P 处的内角, 就焦点在直线3.直径的圆,除去长轴的两个端点. 相切 . 内切： P 在右支；外切：以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相交 . 4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆P在左支5.6.7.8.9.

5、10.假设P 0x 0,y 0在双曲线2 xy21a0,b 0上,就过P 的双曲线的切线方a2b2程是x xy y1. a2b2假设P 0x 0,y 0在双曲线2 xy21a0,b 0外,就过 Po 作双曲线的两条a2b2切线切点为P1、P2,就切点弦P1P2 的直线方程是x xy y1. a2b2双曲线x2y21 a0,b o的左右焦点分别为F1,F2,点 P为双曲线上任意a2b2一点F PF2,就双曲线的焦点角形的面积为SF PF 122 b cot2. 双曲线x2y21a0,b o的焦半径公式：F 1c,0 , F c 2 ,0a2b2当M x 0,y 0在右支上时,|MF1|ex 0a

6、 ,|MF2|ex 0a . 当M x 0,y 0在左支上时,|MF1|ex 0a ,|MF2|ex 0a设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q两点, A 为双曲线长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M、N两点,就 MFNF. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点,A1P和 A2Q交于点 M,A2P 和 A1Q交于点 N,就 MFNF. 11.12.AB 是双曲线x2y21a0,b 0的不平行于对称轴的弦,M x0y0为 ABa2b2的中点,就b2x 0,即K ABb2x 0；KOMKABa2y0a2y

7、0假设P 0x 0,y 0在双曲线2 xy21a0,b 0内,就被Po 所平分的中点弦a22b的方程是x xy yx02y02. a2b2a2b2第 2页,共 8页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 13.1.2.3.4.5.解析几何专题 经典结论 常用技巧Marine 假设P 0x 0,y 0在双曲线2 x. y21a0,b 0内,就过Po 的弦中点的轨迹a2b2方程是x2y2x xy ya2b2a2b2椭圆与双曲线的对偶性质- 会推导的经典结论椭圆椭圆x2y21 abo的两个顶点为A 1a,0,A 2 ,0,与 y

8、 轴平行的直a2b2线交椭圆于P1、P2时 A1P1 与 A2P2交点的轨迹方程是x2y21. a2b2过椭圆x2y21 a 0, b 0 上任一点A x0,y0任意作两条倾斜角互补的直a2b2线交椭圆于B,C 两点,就直线BC有定向且k BCb x 20常数 . a y 20假设 P 为椭圆x2y21ab0上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点 , a2b2PF F2, PF F 1,就actan2cot2. ac设椭圆x2y21ab0的两个焦点为F1、F2,P异于长轴端点为椭圆上a2b2任意一点,在PF1F2 中,记F PF 12, PF F 12,F F P,就有sinsinsi

9、nce. a假设椭圆2 xy21a b0的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,就当a2b20 e21时,可在椭圆上求一点P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离d 与 PF2 的比例中项 . 6.P 为椭圆x2y21a b0上任一点 ,F1,F2为二焦点, A 为椭圆内肯定点,a2b2就2a|AF2| |PA|PF 1| 2a|AF 1|, 当且仅当A F 2,P 三点共线时,等号成立. 7.椭圆2xx 02yby0201与直线AxByC0有公共点的充要条件是2 a2 B b22 A a2AxByC2. 0第 3页,共 8页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选

10、学习资料 - - - - - - - - - 8.9.10.11.12.13.解析几何专题 经典结论 常用技巧Marine 已知椭圆2 xy21ab0,O为坐标原点, P、Q为椭圆上两动点, 且 OPOQ .a2b21|1 OP2 |11; 2|OP|2+|OQ|2 的最大值为2 4a b2;3SOPQ12 |OQa22 ba2b2的最小值是2 2a b2. a2b过椭圆x2y21ab0的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦a2b2MN的垂直平分线交x 轴于 P,就| |PF|e. MN|2已知椭圆2 xy21 a b0 ,A 、B、是椭圆上的两点,线段 AB的垂直平分a2b2线与

11、x 轴相交于点P x 0,0, 就a2ab2x 0a2ab2. 设 P 点是椭圆x2y21 a b0上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点a2b2记F PF2,就 1|PF 1|PF2|12b2.2 SPF F 1 2b2 tan2. cos设 A、 B 是椭圆x2y21 a b0的长轴两端点,P 是椭圆上的一点,a2b2PAB, PBA,BPA,c、e 分别是椭圆的半焦距离心率,就有1|PA|2 ab2| cos2|.2 tantan12 e .3 SPAB2 22 a bcot. a22 c cosb2a2已知椭圆2 xy21 a b0的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦

12、点 Fa2b2的直线与椭圆相交于A、B 两点 , 点 C 在右准线 l 上,且 BCx轴,就直线AC经过线段 EF 的中点 . 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,就相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 . 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,就该点与焦点的连线必与焦半径相互垂直 . 16.椭圆焦三角形中, 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数第 4页,共 8页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解析几何专题 经典结论 常用技巧 Marine e 离心率

13、. 注 : 在椭圆焦三角形中 , 非焦顶点的内、 外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 . 17. 椭圆焦三角形中 , 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中 , 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项 . 双曲线1.2.3.4.5.双曲线x2y21a0,b 0的两个顶点为A 1a ,0,A 2 ,0,与 y 轴a2b2平行的直线交双曲线于P1、P2时 A1P1 与 A2P2交点的轨迹方程是x2y21. a2b2过双曲线x2y21a0,b o上任一点A x 0,y 0任意作两条倾斜角互a22 b补的直线交双曲线于B,C 两点,就直线BC有定向且kBC2 b x 0常数

14、 . 2 a y 0假设 P为双曲线x2y21a 0,b 0右或左支上除顶点外的任一点,F1, a2b2F2 是 焦 点 , PF F 2, PF F 1, 就catan2cot2 或cacatan2cot2. ca设双曲线x2y21a0,b 0的两个焦点为F1、F2,P 异于长轴端点a2b2为 双 曲 线 上 任 意 一 点 , 在 PF1F2中 , 记F PF 2, PF F 2,F F P,就有sinsince. sina假设双曲线x2y21a0,b 0的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为a2b2L,就当 1e21 时,可在双曲线上求一点P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与

15、 PF2 的比例中项 . 6.P 为双曲线x a2|y21a0,b 0上任一点 ,F1,F2为二焦点, A 为双曲线2b2内肯定点,就AF 2| 2a|PA|PF 1|, 当且仅当A F2,P 三点共线且P 和第 5页,共 8页名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解析几何专题 经典结论 常用技巧 Marine A F 在 y 轴同侧时,等号成立 . 2 27. 双曲线 x2 y2 1a 0,b 0与直线 Ax By C 0 有公共点的充要条a b件是 A a 2 2B b 2 2C 2. 2 28. 已知双曲线 x2

16、y2 1ba 0,O为坐标原点, P、Q为双曲线上两动点,a b且 OP OQ . 2 2112 12 12 12 ;2|OP| 2+|OQ| 2 的最小值为 4a b2 2 ;3S OPQ| OP | | OQ | a b b a2 2的最小值是 a b2 2 . b a2 29. 过双曲线 x2 y2 1a0,b 0的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于a bM,N 两点,弦 MN的垂直平分线交 x 轴于 P,就| PF | e. | MN | 22 210. 已知双曲线 x2 y2 1a0,b 0 ,A 、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的a b2 2 2 2垂直平分线与 x 轴相交于

17、点 P x 0 ,0 , 就 x 0 a b或 x 0 a b. a a2 211. 设 P 点是双曲线 x2 y2 1a0,b 0上异于实轴端点的任一点 ,F1、F2a b2为 其 焦 点 记 F PF 2,就 1 | PF 1 | PF 2 | 2 b .2 1 cosS PF F 1 2 b 2 cot . 22 212. 设 A、B 是双曲线 x2 y2 1a0,b 0的长轴两端点,P 是双曲线上的a b一点,PAB , PBA , BPA,c、e 分别是双曲线的半焦距2离心率,就有 1 | PA | 22 ab |cos2 2 | . | a c co s |2 22 tan tan

18、 1 e .3 2S PAB 22 a b2 cot . b a2 213. 已知双曲线 x2 y2 1a0,b 0的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲a b线右焦点 F 的直线与双曲线相交于 A、B 两点 , 点 C 在右准线 l 上,且 BC x轴,就直线 AC经过线段 EF 的中点 . 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,就相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 . 第 6页,共 8页名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解析几何专题 经典结论 常用技巧 Marine 15.

19、 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,就该点与焦点的连线必与焦半径相互垂直 . 16. 双曲线焦三角形中 , 外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e 离心率 . 注 : 在双曲线焦三角形中 点. , 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外17.双曲线焦三角形中, 其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18.双曲线焦三角形中, 半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦,利用方程的根与系数关系来运算弦长,常用的弦长公式：AB1k2x 1x211y 1y2k22、直线的一般式方程

20、：任何直线均可写成A,B 不同时为 0 的形式；3、知直线横截距,常设其方程为 它不适用于斜率为0 的直线 ；与直线垂直的直线可表示为；4、两平行线间的距离为5、假设直线与直线平行就斜率且在轴上截距充要条件6、圆的一般方程：,特殊提示：只有当时,方程才表示圆心为,半径为第 7页,共 8页名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解析几何专题 经典结论 常用技巧 Marine 的圆；二元二次方程 表示圆的充要条件是且且；,半径为；圆7、圆的参数方程：为参数,其中圆心为的参数方程的主要应用是三角换元：；8、为直径端点的圆方程切线长：过圆,弦长一半外一点所引圆的切线的长为9、弦长问题：圆的弦长的运算：常用弦心距及圆的半径所构成的直角三角形来解：；过两圆、交点的圆 公共弦 系为,当时,方程为两圆公共弦所在直线方程 . ；第 8页,共 8页名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页