2022年高中数学圆的方程典型例题学生版.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例 1 求过两点A 1,4、B3,2 且圆心在直线y0上的圆的标准方程并判定点P2,4 与圆的关系解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为xa2yb2r2圆心在y0上,故b012y220圆的方程为xa2y2r2又该圆过A1,4、B3,2两点1a216r2解之得：a1,r220所以所求圆的方程为x3a 24r2解法二：（直接求出圆心坐标和半径）名师归纳总结 由于圆过A1,4、B3,2两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上,又由于第 1 页,共 9 页kAB421,故 l 的斜率为

2、1,又 AB 的中点为2,3 ,故 AB 的垂直平分线l 的方程为：13y3x2即xy10又知圆心在直线y0上,故圆心坐标为C1,0半径rAC 1124220故所求圆的方程为x1 2y220又点P 2,4到圆心C1,0的距离为dPC21 24225r点 P 在圆外例 2 求半径为 4,与圆x2y24x2y40相切,且和直线y0相切的圆的方程解： 就题意,设所求圆的方程为圆C：xa2yb 2r2圆 C 与直线y0相切,且半径为4,就圆心 C 的坐标为C 1a,4或C2a,4又已知圆x2y24x2y40的圆心 A的坐标为2,1 ,半径为3如两圆相切,就CA437或CA4311 当C 1a,4时 ,

3、a2241 272, 或a2241 22 1 无 解 , 故 可 得a2210所求圆方程为x22102y4242,或x22102y42422 当C2a,4时 ,a2241 272, 或a2 241212 无 解 , 故- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a226学习必备欢迎下载名师归纳总结 所求圆的方程为x2262y4 242,或x2262y4 242第 2 页,共 9 页例 3 求经过点A 0,5,且与直线x2y0和2xy0都相切的圆的方程解： 圆和直线x2y0与2xy0相切,圆心 C 在这两条直线的交角平分线上,又圆心到两直线x2y0和2xy0的距离

4、相等x2yx2y55两直线交角的平分线方程是x3y0或3xy0又圆过点A 0,5 ,圆心 C 只能在直线3xy0上设圆心Ct,3 t C 到直线2xy0的距离等于AC ,2t3tt23 t5 2化简整理得t26 t50解得：t1或t55圆心是 1,3,半径为5 或圆心是5,15,半径为55所求圆的方程为x1 2y3 25或x52y152125例 4、 设圆满意： 1截 y 轴所得弦长为2；2被 x 轴分成两段弧,其弧长的比为3:1,在满意条件12 的全部圆中,求圆心到直线l：x2y0的距离最小的圆的方程解法一： 设圆心为Pa,b ,半径为 r 就 P 到 x 轴、 y 轴的距离分别为b 和 a

5、 由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为90 ,故圆截 x 轴所得弦长为2rr22b2又圆截 y 轴所得弦长为2r2a21又Pa,b到直线x2y0的距离为da2b55 d2a2 b2a24 b24 aba24 b22 a2b22 b2a21当且仅当ab时取“=” 号,此时dmin55这时有a2ba21a1或a1又r22b222 bb1b1故所求圆的方程为x1 2y1 22或x1 2y1 22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解法二： 同解法一,得da2b学习必备2 b欢迎下载a24 b245 bd5d2a5 d5将a22b21代入上式得：2b245

6、 bd5d21201 2a12y1 222 b1上述方程有实根,故8 5d21 0,2a2d5将d5代入方程得b1又55由a2b1 知 a 、b 同号故所求圆的方程为x1 y2或x1 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程2 2例 5 已知圆 O：x y 4,求过点 P 2,与圆 O 相切的切线解： 点 P 2,不在圆 O 上,切线 PT 的直线方程可设为 y k x 2 4依据 d r1 2 kk 2 42 解得 k 34所以 y 3 x 2 4 即 3 x 4 y 10 04由于过圆外一点作圆得切线应当有两条,可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为 x 2例 6 两圆 C ：x 2y

7、 2D 1 x E 1 y F 1 0 与 C ：x 2y 2D 2 x E 2 y F 2 0 相交于 A 、 B 两点,求它们的公共弦 AB所在直线的方程分析：第一求 A、B 两点的坐标, 再用两点式求直线 AB 的方程,但是求两圆交点坐标的过程太繁为了防止求交点,可以采纳“ 设而不求” 的技巧解： 设两圆C 、C 的任一交点坐标为x0,y0,就有：x 02y 02D 1x 0E 1y 0F 10x 02y 02D 2x 0E 2y 0F 20F 1F20得：D 1D2x0E 1E 2y 0 A、 B 的坐标满意方程D 1D2xE 1E2yF 1F20方程D 1D2xE 1E2yF 1F2

8、0是过 A 、 B 两点的直线方程又过 A 、 B 两点的直线是唯独的名师归纳总结 两圆C 、C 的公共弦 AB 所在直线的方程为D 1D2xE 1E2yF 1F20第 3 页,共 9 页例 7、过圆x2y21外一点M23, ,作这个圆的两条切线MA 、 MB ,切点分别是A 、 B ,求- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载直线 AB 的方程；练习：1 求过点M3,1,且与圆yx2 1y24相切的直线 l 的方程 2、过坐标原点且与圆x224x2y50相切的直线的方程为23、已知直线5x12ya0与圆x22xy20相切,就 a的值为.

9、类型三：弦长、弧问题例 8、求直线l:3xy60被圆C:x22y22x4y0截得的弦 AB 的长 . 例 9、直线3 xy230截圆x2y4得的劣弧所对的圆心角为例 10、求两圆x2y2xy20和x2y25的公共弦长名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载类型四：直线与圆的位置关系例 11、已知直线3 xy23y0和圆x2y24,判定此直线与已知圆的位置关系. 例 12、如直线yxm与曲线4x2有且只有一个公共点,求实数m 的取值范畴 . 例 13 圆x3 2y329上到直线3x4y110的距离为 1 的

10、点有几个？分析： 借助图形直观求解或先求出直线 1l 、2l 的方程,从代数运算中查找解答解法一： 圆 x 3 2 y 3 2 9 的圆心为 O 1 3 , 3 ,半径 r 33 3 4 3 11设圆心 O 到直线 3 x 4 y 11 0 的距离为 d ,就 d 2 2 2 33 4如图, 在圆心 O 同侧,与直线 3 x 4 y 11 0 平行且距离为 1 的直线 1l 与圆有两个交点,这两个交点符合题意又rd321名师归纳总结 与直线3x4y110平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意第 5 页,共 9 页符合题意的点共有3 个解法二： 符合题意的点是平行于直线3x4y110,且

11、与之距离为1 的直线和圆的交点设所求直线为3x4ym0,就dm111,2 342- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - m115,即m6,或m学习必备欢迎下载4y60,或l ：x4y16016,也即l ：x设圆 O ：x 3 2 y 3 2 9 的圆心到直线 1l 、2l 的距离为 d 、d ,就3 3 4 3 6 3 3 4 3 16d 1 2 2 3,d 2 2 2 11l 与 O 相切, 与圆 O 有一个公共点；3 4 3 42l 与圆 O 相交,与圆 O 有两个公共点即符合题意的点共 3 个练习 1：直线 x y 1 与圆 x 2y 2 2 ay 0

12、 a 0 没有公共点,就 a 的取值范畴是练习2 ：如直线ykx2与圆x22y3 21有两个不同的交点,就2k 的取值范畴是. 0的距离为2 的点共有（）圆x2y22x4y30上到直线xy13、4、4有公共点,如（A ）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个过点P3,4作直线 l ,当斜率为何值时,直线l 与圆C：x12y2图所示y O x E P 类型五：圆与圆的位置关系名师归纳总结 例 14、判定圆C 1:x2y22x6y260与圆C2:x2y24x2y40的位置关系,第 6 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 15：圆x2y2

13、2x0和圆x2y2学习必备0欢迎下载条；4y的公切线共有解：圆x1 2O 1y21的圆心为2O 1,10 ,半径1r1,圆x2y224的圆心为O20,2 ,半径2r2,O 25,r 1r,3r 2r 11.r2r 1O 1 O 2r 1r2,两圆相交 .共有 2条公切线；练习1：如圆x2x2y222mxm240与圆x2y22x54my4m280相切,就实数m 的取值集合是y. P ,12 ,且半径为2的圆的方程 . 2：求与圆5外切于点类型六：圆中的对称问题例 16、圆x2y22x6y90关于直线 2xy50对称的圆的方程是类型七：圆中的最值问题例 18：圆x2y24x4y100上的点到直线,

14、xy140的最大距离与最小距离的差是例 191已知圆O ：x3 2y421,Pxy为圆 O 上的动点,求dx2y2的最大、最小值练习：名师归纳总结 1：已知点Px,y在圆x2y1 21上运动 . y的最大值与最小值. 第 7 页,共 9 页（1）求y1的最大值与最小值； （2）求2xx2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 设点Px,y是圆x2y21学习必备欢迎下载是任一点,求uy2的取值范畴x1八：轨迹问题例 21 已知点 M 与两个定点O0 ,0 ,A 3 ,0的距离的比为1 ,求点 M 的轨迹方程 . 2AB例 22、已知线段 AB 的端点 B

15、的坐标是 （4,3）,端点 A 在圆x1 2y24上运动,求线段的中点 M 的轨迹方程 . 类型九：圆的综合应用例 25、 已知圆x2y2x6ym,0与直线xy 22y30相交于 P 、 Q 两点, O 为原点,且,OPOQ,求实数 m 的值x 1y 1、x2,就由kOPkOQ1,可得x 1x2y 1y20分析： 设 P 、Q 两点的坐标为再利用一元二次方程根与系数的关系求解或由于通过原点的直线的斜率为程构造以y 为未知数的一元二次方程,由根与系数关系得出 xk OPk OQy ,由直线 l 与圆的方 x的值,从而使问题得以解决名师归纳总结 解法一： 设点 P 、 Q 的坐标为x 1,y 1、

16、x2,y2一方面,由OPOQ,得第 8 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - kOPkOQ1,即y 1y 21学习必备x2欢迎下载0,也即：x 1y 1y 2x 1x2程5另一方面,x 1,y 1、x 2,y 2是方程组x22y30ym0的实数解,即1x 、x 是方x2 yx6x210x04 m27的两个根名师归纳总结 x 1x22,x 1x24m527x6ym0,有第 9 页,共 9 页又 P 、 Q 在直线x2 y30上,y 1y21 3x 113x2193x 1x2x 1x2224将代入,得y 1y 2m125将、代入,解得m3,代入方程,检验0成立,m3解法二： 由直线方程可得3x2y,代入圆的方程x2y2x2y21x2yx6ymx2y20,39整理,得 12mx24m3 xy4m27y20由于x0,故可得4m27y24m3 y12m0xxkOP,kOQ是上述方程两根故k OPkOQ1得12m1,解得m34 m273为所求m经检验可知- - - - - - -