2022年高中数学常用逻辑用语的解题方法归纳.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 1.2 常用规律用语一、学问导学1规律联结词：“ 且” 、“ 或” 、“ 非” 分别用符号“” “” “” 表示 . 2命题：能够判定真假的陈述句3简洁命题：不含规律联结词的命题4复合命题：由简洁命题和规律联结词构成的命题,复合命题的基本形式：p 或 q；p 且 q；非 p 5四种命题的构成：原命题：假设 p 就 q； 逆命题：假设 q 就 p；否命题：假设 p 就q ；逆否命题：假设 q 就 p. 6原命题与逆否命题同真同假,是等价命题,即“ 假设 p 就 q”“ 假设 q 就 p ” .7反证法：欲证“ 假设 p 就 q” ,从“ 非 q”

2、 动身,导出冲突,从而知“ 假设 p 就非 q” 为假,即“ 假设 p 就 q” 为真 . 8充分条件与必要条件：p q ：p 是 q 的充分条件； q 是 p 的必要条件；p q ：p 是 q 的充要条件 . 9常用的全称量词： “ 对全部的” 、“对任意一个” “对一切” “对每一个” “ 任给” 等；并用符号“”表示 . 含有全称量词的命题叫做全称命题 . 10常用的存在量词： “ 存在一个”、“ 至少有一个”、“ 有些” 、“ 有一个” 、 “ 有的” 、“ 对某个” ； 并用符号“” 表示 . 含有存在量词的命题叫做特称命题 . 二、疑难学问导析1基此题型及其方法1由给定的复合命题指

3、出它的形式及其构成；2给定两个简洁命题能写出它们构成的复合命题,并能利用真值表判定复合命题的真假；3给定命题,能写出它的逆命题、否命题、逆否命题,并能运用四种命题的相互关系,特殊是互为逆否命题的等价性判定命题的真假. 留意：否命题与命题的否认是不同的. 4判定两个命题之间的充分、必要、充要关系；方法：利用定义5证明 p 的充要条件是 q ；方法：分别证明充分性和必要性6反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论. 反证法是通过证明命题的结论的反面不成立而确定命题的一种数学证明方法,是间接证法之一 . 注：常见关键词的否认：关键词是都是全是至少有一个至多有一个任意存在否认不是不都是全是一个也没有至

4、少有两个存在任意2全称命题与特称命题的关系：全称命题 p:xM,px, 它的否认p :xM,px；特称命题 p:xM,px,它的否认p :xM,px ；即全称命题的否认是特称命题,特称命题的否认是全称命题. 否认一个全称命题可以通过“ 举反例” 来说明. 三、经典例题导讲名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1把命题“ 全等三角形肯定相像” 写成“ 假设p 就 q” 的形式,并写出它的逆命题、否命题与逆否命题. . . 错解 ：原命题可改写成：假设两个三角形全等,就它们肯定相像逆命题：假设两个三角形相像,就它们全等.

5、 . 否命题：假设两个三角形不肯定全等,就它们不肯定相像逆否命题：假设两个三角形不肯定相像,就它们不肯定全等错因 ：对“ 肯定” 的否认把握不准,“ 肯定” 的否认 当于求补集,而“ 不肯定” 含有“ 肯定” 的意思“ 肯定不” ,在规律学问中求否认相 . 对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比较,留意结合集合学问 . 因而否命题与逆否命题错了 . 正解 ：否命题：假设两个三角形不全等,就它们不相像 . 逆否命题：假设两个三角形不相像,就它们不全等 . 例 2 将以下命题改写成“ 假设 p 就 q” 的形式,并写出否命题 .ao 时,函数 y=ax+b 的值随 x 值的增加而增加 . 错解

6、 ：原命题改为：假设 ao 时, x 的值增加,就函数 y=ax+b 的值也随着增加 . 错因 ：假如从字面上分析最简洁的方法是将 ao 看作条件,将“ 随着” 看作结论,而 x 的值增加, y 的值也增加看作讨论的对象,那么原命题改为假设 ao 时,就函数 y=ax+b 的值随着 x 的值增加而增加, 其否命题为假设 a o 时,就函数 y=ax+b 的值不随 x 值的增加而增加 .此题错解在留意力集中在“ 增加”两个字上, 将 x 值的增加当做条件,又不把 ao 看作前提,就变成两个条件的命题,但写否命题时又没按两个条件的规章写,所以就错了 . 正解 ：原命题改为： ao 时,假设 x 的

7、值增加,就函数 y=ax+b 的值也随着增加 . 否命题为： ao 时,假设 x 的值不增加,就函数y=ax+b 的值也不增加 . 原命题也可改为：当 x 的值增加时,假设 ao,就函数 y=ax+b 的值也随着增加 . 否命题为：当 x 增加时,假设 a o,就函数 y=ax+b 的值不增加 . 例 3 已知 h0,设命题甲为：两个实数 a、b 满意 a b 2 h,命题乙为：两个实数 a、b满意 a 1 | h 且 b 1 | h,那么 A甲是乙的充分但不必要条件 B甲是乙的必要但不充分条件C甲是乙的充要条件 D甲是乙的既不充分也不必要条件错解 ：a b 2 h a 1 b 1 2 h h

8、 h | a 1 | h , | b 1 | h关键词 是 都是全是至少有一个 至多有一个 任意 存在否认 不是 不都是全是一个也没有 至少有两个 存在 任意2全称命题与特称命题的关系：全称命题 p:xM,px, 它的否认p:xM,px；特称命题 p:xM,px,它的否认p:xM,px ；即全称命题的否认是特称命题,特称命题的否认是全称命题. 否认一个全称命题可以通过“ 举反例” 来说明. 三、经典例题导讲名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1把命题“ 全等三角形肯定相像” 写成“ 假设p 就 q” 的形式,并写出

9、它的逆命题、否命题与逆否命题. . . 错解 ：原命题可改写成：假设两个三角形全等,就它们肯定相像逆命题：假设两个三角形相像,就它们全等. . 否命题：假设两个三角形不肯定全等,就它们不肯定相像逆否命题：假设两个三角形不肯定相像,就它们不肯定全等错因 ：对“ 肯定” 的否认把握不准,“ 肯定” 的否认 当于求补集,而“ 不肯定” 含有“ 肯定” 的意思“ 肯定不” ,在规律学问中求否认相 . 对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比较,留意结合集合学问 . 因而否命题与逆否命题错了 . 正解 ：否命题：假设两个三角形不全等,就它们不相像 . 逆否命题：假设两个三角形不相像,就它们不全等 .

10、例 2 将以下命题改写成“ 假设 p 就 q” 的形式,并写出否命题 .ao 时,函数 y=ax+b 的值随 x 值的增加而增加 . 错解 ：原命题改为：假设 ao 时, x 的值增加,就函数 y=ax+b 的值也随着增加 . 错因 ：假如从字面上分析最简洁的方法是将 ao 看作条件,将“ 随着” 看作结论,而 x 的值增加, y 的值也增加看作讨论的对象,那么原命题改为假设 ao 时,就函数 y=ax+b 的值随着 x 的值增加而增加, 其否命题为假设 a o 时,就函数 y=ax+b 的值不随 x 值的增加而增加 .此题错解在留意力集中在“ 增加”两个字上, 将 x 值的增加当做条件,又不

11、把 ao 看作前提,就变成两个条件的命题,但写否命题时又没按两个条件的规章写,所以就错了 . 正解 ：原命题改为： ao 时,假设 x 的值增加,就函数 y=ax+b 的值也随着增加 . 否命题为： ao 时,假设 x 的值不增加,就函数y=ax+b 的值也不增加 . 原命题也可改为：当 x 的值增加时,假设 ao,就函数 y=ax+b 的值也随着增加 . 否命题为：当 x 增加时,假设 a o,就函数 y=ax+b 的值不增加 . 例 3 已知 h0,设命题甲为：两个实数 a、b 满意 a b 2 h,命题乙为：两个实数 a、b满意 a 1 | h 且 b 1 | h,那么 A甲是乙的充分但

12、不必要条件 B甲是乙的必要但不充分条件C甲是乙的充要条件 D甲是乙的既不充分也不必要条件错解 ：a b 2 h a 1 b 1 2 h h h | a 1 | h , | b 1 | h故此题应选 C. 错因 ： 1对充分、必要、充要条件的概念分不清,无从判定,凭推测产生错误；名师归纳总结 2不能运用确定值不等式性质作正确推理而产生错误. 第 3 页,共 6 页正解 ：由于a1h,所以ha1h ,hb1hhb1两式相减得2 hab2 h- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故ab2 h即由命题甲成立推出命题乙成立,所以甲是乙的必要条件. . B. 由于a2

13、hb2h同理也可得ab2 h因此,命题甲成立不能确定命题乙肯定成立,所以甲不是乙的充分条件,故应选 例 4已知命题甲： a+b4, 命题乙 :a1且 b3 ,就命题甲是命题乙的错解 ：由逆否命题与原命题同真同假知,乙的充分不必要条件 . 假设 a=1 且 b=3 就 a+b=4 成立, 所以命题甲是命题错因 ：对命题的否认不正确 .a 1且 b 3的否认是 a=1 或 b=3. 正解 ：当 a+b 4 时, 可选取 a=1,b=5 ,故此时 a 1且 b 3 不成立 a=1. 同样, a 1, 且 b 3时,可选取 a=2,b=2,a+b=4 ,故此时 a+b=4. 因此,甲是乙的既不充分也不

14、必要条件 . 注： a 1且 b 3为真时,必需 a 1,b 3同时成立 . 例 5 已知 p 是 r 的充分不必要条件,s 是 r 的必要条件, q 是 s 的必要条件,那么 p 是 q成立的 A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件p 成立,所分析 ：此题考查简易规律学问. p 成立,所以pq, 但 q 成立不能推出由于 prsq 但 r 成立不能推出以选 A 解：选 A 例 6已知关于 x 的一元二次方程mZ mx 24x40 x 24mx4m 24m50 求方程和都有整数解的充要条件. . c5.,解：方程有实根的充要条件是1644m0,解得 m 1. 方程有实

15、根的充要条件是16m244m24 m5 0,解得m45m.1 而mZ,故 m=1 或 m=0 或 m=1. 4当 m=1 时,方程无整数解. 当 m=0时,无整数解；当 m=1时,都有整数. 从而都有整数解m=1. 反之, m=1都有整数解都有整数解的充要条件是m=1. 21 例 7用反证法证明：假设a 、 b 、 cR ,且xa22b1,yb2zc22a1,就x、 y 、z中至少有一个不小于0证明 ： 假设 x 、 y 、 z 均小于 0,即：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - xa22b10- ；yb22c10-

16、；2b1 2c1 20,10-；zc22ayza1 2+得x冲突,这与a1 2b12c10就假设不成立,x 、 y 、 z 中至少有一个不小于 0 例 8 已知命题 p: 方程 x 2 mx1=0 有两个不等的负根；命题 q: 方程 4x 24 m2 x10 无实根假设“p 或 q” 为真,“ p 且 q” 为假,求 m的取值范畴分析 ：“p 或 q” 为真,就命题 p、q 至少有一个为真,“p 且 q” 为假,就命题 p、q 至少有一为假,因此,两命题 p、q 应一真一假,即命题 p 为真,命题 q 为假或命题 p 为假,命题 q 为真 . 解： 假设方程 x2mx1=0 有两不等的负根,就

17、mm240解得 m2,0即命题 p：m 2 假设方程 4x 24 m2 x10 无实根,就 16 m 2 216 16m 24m 3 0 解得： 1 m3. 即 q： 1m3. 因“p 或 q” 为真,所以p、q 至少有一为真,p 为假,命题q 为真 . 又“p 且 q” 为假,所以命题p、q 至少有一为假,因此,命题p、q 应一真一假,即命题p 为真,命题 q 为假或命题m2m或 3m23m1 或1m解得： m3 或 1m2.四、典型习题导练名师归纳总结 1方程mx22x10至少有一个负根,就第 5 页,共 6 页A.0m1或m0 B.0m1 C.m1 D.m12“x23x20” 是“x1或

18、x4” 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3三个数a b c 不全为 0 的充要条件是A.a b c 都不是 0. B.a b c 中至多一个是0. C.a b c 中只有一个是0. D.a b c 中至少一个不是0. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4由命题 p:6 是 12 的约数, q:6 是 24 的约数, 构成的“ p 或 q” 形式的命题是： _ _,“ p 且 q” 形式的命题是_ _,“ 非 p” 形式的命题是_ _. 5假设a bR ,试从A.ab0B.ab0C.a2b20D.ab

19、0E.ab0F. a 2b 20 中,选出适合以下条件者,用代号填空：1使 a b 都为 0 的充分条件是；2使a b 都不为 0 的充分条件是；3使a b 中至少有一个为0 的充要条件是4使a b 中至少有一个不为0 的充要条件是6分别指出由以下各组命题构成的规律关联词“ 或” 、“ 且” 、“ 非” 的真假1p: 梯形有一组对边平行；q：梯形有一组对边相等2p: 1是方程x24x30的解； q：3 是方程x24x30的解3p: 不等式x22x1x0解集为 R；q: 不等式x22x21解集为7命题：已知a、b 为实数,假设2ax b0 有非空解集,就a 2 4 b0. 写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判定这些命题的真假8用反证法证明： 假设 a、b、c、d 均为小于 1 的正数, 且 x=4a1 b ,y=4b1 c ,z=4c1名师归纳总结 d ,t=4d1 a ,就 x、y、 z、t 四个数中,至少有一个不大于1第 6 页,共 6 页- - - - - - -