2022年高一数学必修一易错题集锦答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高一数学必修一易错题集锦答案1.已知集合 M=y| y = x21,x R,N=y|y = x1,x R,就 MN=（ ）解： M=y| y=x 21,x R= y| y1 , N=y|y=xMN= y| y1 y|y R= y| y1,1,x R=y|y R 注：集合是由元素构成的, 熟识集合要从熟识元素开头,要留意区分 x| y=x21 、y| y=x 21, xR、 x, y| y=x 21, xR ,这三个集合是不同的2 . 已知 A=x| x23x2=0,B= x| ax2=0 且 AB=A,求实数 a 组成的集合 C解：AB=A B

2、 A 又 A=x| x23x2=0=1 ,2 B= 或 1 或 2 C=0,1,2 3 ； 已知 m A, n B, 且集合 A= x | x 2 a , a Z, B= x | x 2 a ,1 a Z,又C= x | x 4 a 1 , a Z,就有： m+n 填 A,B,C 中的一个 解： m A, 设 m=2a1, a1 Z, 又 n B , n=2a2+1, a2 Z , m+n=2 a1+a2+1, 而 a1+a2 Z , m+n B；4 已知集合 A=x|x23x100 ,集合 B=x|p 1x2p 1 如 B A,求实数 p的取值范畴解：当 B时,即 p12p 1p2. 由 B

3、A 得： 2p 1 且 2p15.由3p3. 2p3当 B= 时,即 p12p1p2. 由、得： p3.点评 ：从以上解答应看到：解决有关AB=、AB=,AB 等集合问题易忽视空集的情形而显现漏解,这需要在解题过程中要全方位、多角度注视问题5 已知集合 A=a,a b,a 2b ,B=a,ac,ac2 如 A=B,求 c 的值分析 ：要解决 c 的求值问题, 关键是要有方程的数学思想,此题应依据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性,无序性建立关系式解：分两种情形进行争论（1）如 a b=ac 且 a2b=ac2,消去 b 得： aac22ac=0,. a=0 时,集合 B中的

4、三元素均为零,和元素的互异性相冲突,故a 0c22c1=0,即 c=1,但 c=1 时, B 中的三元素又相同,此时无解（2）如 a b=ac2且 a 2b=ac,消去 b 得： 2ac2aca=0,a 0,2c2c 1=0,即c 12c 1=0 ,又 c 1,故 c=1 2点评 ：解决集合相等的问题易产生与互异性相冲突的增解,这需要解题后进行检验6 设 A是实数集,满意如aA,就11aA,a1且 1A. 如 2A,就 A中至少仍有几个元素？求出这几个元素A 理由 . 能否为单元素集合？请说明名师归纳总结 如 aA,证明： 11 A.求证：集合 aA中至少含有三个不同的元素. 第 1 页,共

5、17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：2A 1A 1 A 2a22A10 A 中至少仍有两个元素：1 和1 2a假如 A 为单元素集合,就a11a即该方程无实数解,故在实数范畴内,A 不行能是单元素集aA 1A 1A 1 a A,即 11 A1 a 1 1 1 a 1 a1 a由知 aA 时,1A, 1 1 A . 现在证明 a,1 1 , 1 三数互不相等 .1 a a a 1 a如 a= 1 , 即 a2-a+1=0 ,方程无解,a11 a 1 a如 a=11 ,即 a 2-a+1=0 ,方程无解 a 11a a如 11 = 1,即 a2-

6、a+1=0 ,方程无解 11 1 . a 1 a a 1 a综上所述,集合 A 中至少有三个不同的元素 . 点评 ：的证明中要说明三个数互不相等,否就证明欠严谨 . 7 设 M a,b,c,N 2,0,2 , 求（ 1）从 M到 N的映射种数；（2）从 M到 N的映射满意f af b fc,试确定这样的映射f 的种数 . 解：（1）由于 M a,b,c,N 2,0,2 ,结合映射的概念,有一共有 27 个映射名师归纳总结 a0a2a2a211第 2 页,共 17 页（2）符合条件的映射共有4 个,b2,b2,b0 ,b0 ,c2c2c2c08. 已知函数f x 的定义域为 0 , 1 ,求函数

7、f x1的定义域满意0x解：由于函数f x 的定义域为 0 ,1 ,即 0x1f x11x0,f x1的定义域是 1,0 1f x1,求f x . 9依据条件求以下各函数的解析式：（1）已知f x 是二次函数,如f00,f x（2）已知fx1x2x ,求f - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）如 f x 满意 f x 2 1ax , 求 f x x解：（1）此题知道函数的类型,可采纳待定系数法求解设f x ax2bxca0由于f0f0得f x ax2bx ,又由f x1xf x x1,a x2 1b x1ax2bx1即ax22ab xabax2b1

8、x11 x 1x22abb1b1因此：a0ax222ab12 此题属于复合函数解析式问题,可采纳换元法求解设 u x 1 x 0, x u 1 u 12 2 2f u u 1 2 u 1 u 1 u 1f x x 1（x 1）（3）由于 f x 为抽象函数,可以用消参法求解用1 代 x 可得：f 1 2 a 1 , 与 f x 2 1 axx x x x联列可消去 f 1 得：f x 2 a ax. x 3 x 3点评 ：求函数解析式 （1）如已知函数 f x 的类型, 常采纳待定系数法； （2）如已知 f g x 表达式,常采纳换元法或采纳凑合法；（3）如为抽象函数,常采纳代换后消参法 .

9、10 已知 3 x 2 2 y 2 6 x,试求 x 2y 2的最大值 . 2 2 2 2分 析 ： 要 求 x y 的 最 大 值 , 由 已 知 条 件 很 快 将 x y 变 为 一 元 二 次 函 数f x 1 x 3 2 9 , 然后求极值点的 x 值,联系到 y 20,这一条件,既快又准地求2 2出最大值 . 2 3 2y x 3 x .解 由 3 x 2 2 y 2 6 x 得 22 3 2y 0 , x 3 x 0 , 0 x 2 .2又 x 2y 2x 2 3 x 23 x 1 x 3 2 9 ,2 2 2当 x 2 时,x 2y 2有最大值,最大值为 1 2 3 2 9 4

10、 .2 2点评 ：上述解法观看到了隐藏条件,表达了思维的深刻性由3 x22y26x得y232 x3 x ,2. 大部分同学的作法如下：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - x2y23x2x3x2y23x1x3 29 2,22当x时,2取最大值,最大值为92这种解法由于忽视了 y 2 0 这一条件,致使运算结果显现错误 . 因此,要留意审题,不仅能从表面形式上发觉特点,而且仍能从已知条件中发觉其隐藏条件,既要留意主要的已知条件,又要留意次要条件,甚至有些问题的观看要从相应的图像着手,这样才能正确地解题 . 11 设 f

11、x 是 R上的函数,且满意 f 0 1, 并且对任意的实数 ,x y 都有f x y f x y 2 x y 1,求 f x 的表达式 . 解法一 ：由 f 0 1, f x y f x y 2 x y 1,设 x y ,得 f 0 f x x 2 x x 1,所以 f x x 2x 1解法二 ：令 x 0,得 f 0 y f 0 y y 1 即 f y 1 y y 1又将 y 用 x 代换到上式中得 f x x 2x 1点评 ：所给函数中含有两个变量时,可对这两个变量交替用特殊值代入,或使这两个变量相等代入,再用已知条件,可求出未知的函数 . 详细取什么特殊值,依据题目特点而定 . 12 判

12、定函数 f x 1 x 1 x 的奇偶性 . 1 x解：f x 1 x 1 x 有意义时必需满意 1 x0 1 x 11 x 1 x即函数的定义域是x 1 x 1,由于定义域不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数也不是偶函数名师归纳总结 13 判定f x log xx21的奇偶性 . 2x2 x1 第 4 页,共 17 页正解 ：方法一：fx log2xx 21 logfxlog2x121log2x2 x1 fx是奇函数x方法二：fx fx log2x2 x1 log2xx21 log2xx21 xx21 log210fx fxfx 是奇函数- - - - - - -精选学习资料 - - -

13、- - - - - - 14 函数 y=54xx2的单调增区间是_. 解：y= 5 4 x x 2的定义域是 5,1,又 g x 5 4 x x 在区间 5, 2 上增函数,2在区间 2,1是减函数,所以 y= 5 4 x x 2的增区间是 5, 215 已知奇函数 f x 是定义在 3,3 上的减函数, 且满意不等式 f x3+ f x 230, 求 x的取值范畴 . 解：由3x2333得 30x66, 故 0x6 , 3x6x又 f x 是奇函数, f x33x 2, 即 x 2+x60, 解得 x2 或 x3, 综上得 2x 6 , 即 A= x|2 x 6 , 16 作出以下函数的图像

14、 1y=|x-2|x1 ；2 y 10 |lg |. 分析： 明显直接用已知函数的解析式列表描点有些困难,除去对其函数性质分析外,我们仍应想到对已知解析式进行等价变形 想. . 在变换函数解析式中运用了转化变换和分类争论的思解：1 当 x2 时,即 x-2 0 时,当 x2 时,即 x-2 0 时,所以yxx12299xx2241224这是分段函数,每段函数图像可依据二次函数图像作出 见图 2 当 x1 时, lgx 0,y =10lgx=x ；当 0x1 时, lgx 0,名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以这

15、是分段函数,每段函数可依据正比例函数或反比例函数作出 . 见图 点评： 作不熟识的函数图像,可以变形成基本函数再作图,但要留意变形过程是否等价,要特殊留意 x,y 的变化范畴 . 因此必需熟记基本函数的图像. 例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数,及三角函数、反三角函数的图像 . 17 如 fx= ax 1 在区间（ 2,）上是增函数,求 a 的取值范畴x 2解：设 2 x 1 x 2 , f x 1 f x 2 ax 1 1 ax 2 1x 1 2 x 2 2 ax 1 1 x 2 2 ax 2 1 x 1 2 x 1 2 x 2 2 ax x 2 2 ax 1 x 2

16、2 ax x 2 2 ax 2 x 1 2 x 1 2 x 2 22 ax 1 x 1 2 ax 2 x 2 2 a 1 x 1 x 2 x 1 2 x 2 2 x 1 2 x 2 2由 f x= ax 1在区间（ 2,）上是增函数得x 2f x 1 f x 2 0 2 a 1 0a12点评 ：有关于单调性的问题,当我们感觉生疏,不熟识或走投无路时,回到单调性的定义上去,往往给我们带来“ 柳暗花明又一村” 的感觉 . 18 已知函数 f x 在 1, 1 上有定义, f 1 =1, 当且仅当 0x1 时 f x0, 且对任意 x、2y 1,1 都有 f x+ f y= f xy, 试证明：1x

17、y1 f x 为奇函数； 2 f x 在 1,1 上单调递减解 ：证明： 1 由 f x+f y= f x y , 令 x=y=0, 得 f 0=0, 令 y= x, 得 f x+ f 1 xyx= f 1 xx x2 = f 0=0. f x=f x. f x 为奇函数 . 2 先证 f x 在0 , 1 上单调递减 . 名师归纳总结 令 0x1x21, 就 f x2f x1= f x2f x1= f x2x 1x 1 第 6 页,共 17 页1x 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 0x1x20,1 x1x20,x2x 1x 10, 1x 2又 x

18、2x1 1 x2x1= x21 x1+10 x2x11x2x1, 0x2x 2x 11, 由题意知 f x2x 1x 10 ,1x 11x 2即 f x20, 且 a 2a+1=a1 2+ 3 0, a a 1 2 4 1+2 x+4 xa0, a 1x 1x , 4 2当 x , 1 时, y= 1 与 y= x 1 都是减函数,x4 2 y= 1x 1x 在 , 1 上是增函数, 1x 1x max=3 , 4 2 4 2 4 a3 , 故 a 的取值范畴是 3 , + . 4 4点评： 挖掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主,主客换名师归纳总结 位,创设新的函数

19、, 并利用新函数的性质制造性地使原问题获解,是解题人思维品质高的表第 8 页,共 17 页现. 此题主客换位后,利用新建函数y=11的单调性转换为函数最值奇妙地求出了4x2x实数 a 的取值范畴 . 此法也叫主元法. 1123 如a1332 3,试求 a的取值范畴 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1解：幂函数yx3有两个单调区间,a 1 a100.依据a1 和 32a的正、负情形,有以下关系a10a1032a0.32a0.32 aa132 aa132 a解三个不等式组：得2 a 3 2,无解,3 a的取值范畴是（,1）（2 3,3 2）1点评 ：

20、幂函数 y x 3有两个单调区间,在此题中相当重要,不少同学可能在解题中误认为 a 1 3 2 a ,从而导致解题错误 . 24 已知 a0 且 a 1 ,f log a x = 2 a x 1 a 1 x 1 求 fx ； 2 判定 fx 的奇偶性与单调性；名师归纳总结 3 对于 fx ,当 x 1 , 1时 , 有 f 1m +f 1 m2 0 ,求 m的集合 M . 第 9 页,共 17 页分析 ：先用换元法求出fx的表达式；再利用有关函数的性质判定其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问. 解： 1 令 t=logaxt R,就xt a,ftaa1atat,fx aa1axax,xR

21、 .222 fx aa1axaxfx ,且xR ,fx 为奇函数. 当 a1 时 ,aa10,22uxaxax 为增函数,当 0a1 时,类似可判定fx 为增函数. 综上,无论a1 或 0a,1fx在 R上都是增函数 . 3f 1m f 12 m,0fx 是奇函数且在R 上是增函数,f1m f2 m1 . 又x1,111m11m2111m2.1mm21点评 ：对含字母指数的单调性,要对字母进行争论. 对本例的不需要代入f （x）的表达式可求出 m的取值范畴,请同学们细心体会. 25 已知函数f x x2ax3a 如x 2, 2时,f x 0 恒成立,求 a的取值范畴 . 解：设f x 的最小值

22、为g a （1）当a2即 a4 时,g a f 273 a 0,得a7故此时 a 不存在；32- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 当a 2, 2即 4 a 4 时,g a 3 a a20,得 6 a 2 24又 4 a 4,故 4 a 2；名师归纳总结 （3）a 2 即 a 4 时,2故 7 a 4 g a f27 a 0,得 a 7,又 a 4 第 10 页,共 17 页综上,得 7 a 2 26 已知mx2x10有且只有一根在区间（0,1 ）内,求 m 的取值范畴 . 解：设f x mx2x1,（1）当 m 0 时方程的根为1,不满意条件 . （

23、2）当 m 0mx2x10有且只有一根在区间（0,1 ）内又f010 有两种可能情形f10得 m 2 或者f10 且011得 m 不存在2 m综上所得, m 2 27. 是否存在这样的实数k,使得关于x 的方程x2+（2k3） x （ 3k1） 0 有两个实数根,且两根都在0 与 2 之间？假如有,试确定k 的取值范畴；假如没有,试说明理由. 解：令f x x22k3x3 k1那么由条件得到f2k3243k1k00即4 k21570即此不等式无解k013 k03f2422k331k102k3232k22即不存在满意条件的k 值. 28 已知二次函数f x ax2bxc 对于 x 1、 x 2R

24、,且 x 1 x 2时f x 1f x2,求证：方程f x 1 2f x 1f x 2有不等实根,且必有一根属于区间（ x 1, x 2） . 解：设 F（ x ）f x 1 2f x 1f x 2,就方程f x 1 2f x 1f x 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 与方程F（ x ） 0 等价F（ x 1）f x 1 1 f x 1 f x 2 1 f x 1 f x 2 2 2F（ x 2）f x 2 1 f x 1 f x 2 1 f x 1 f x 2 2 2F（ x1） F（ x2）1 f x 1 f x 2 2,又 f x 1 f x

25、 2 4F（ x 1）F（ x 2） 0 故方程必有一根在区间（x 1, x 2）内 . 由于抛物线 y F（ x ）在 x 轴上、下方均有分布,所以此抛物线与 x 轴相交于两个不同的交点,即方程有两个不等的实根,从而方程有两个不等的实根,且必有一根属于区间（x1, x2）. 点评 ：此题由于方程是 f x 1 f x 1 f x 2 ,其中由于有 f x 表达式,所以解题中2有的同学不懂得函数图像与方程的根的联系,误认为证明f x 的图像与 x 轴相交于两个不同的点,从而证题中着眼于证f x 1f x20,使此题没法解决. 此题中将问题转化为F（ x ）f x 1 2f x 1f x 2的图

26、像与 x 轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在. 29 试确定方程2x3x24x20最小根所在的区间,并使区间两个端点是两个连续的整数. 分析 ：只要构造函数 f x 2 x 3x 24 x 2,运算 f x 的自变量 x 取整数值时的函数值,依据其符号,确定方程根的个数及根的分布 . 解：令 f x 2 x 3x 24 x 2f 3 54 912 2 490 f 2 16482 100 f 1 214230,f 000022 0 f 121 42 10,f 21648260 依据 f 2f 10,f 0f 10,f 1f 20 可知 f x 的零点分别在区间（2, 1）,（0,1 ）,（1

27、,2 ）内 . 由于方程是一个一元三次方程,所以它最多有三个根,所以原方程的最小根在区间（2,1）内 . 名师归纳总结 点评 ：运算一元高次函数值可借助于运算器来完成,在实数范畴内一元n 次方程最多有n第 11 页,共 17 页个实根,当然此题也可以用因式分解方法来解. 2x32 x4x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x22x122x12x1x222名师归纳总结 2x1x2x2x 1,x2, 满 足第 12 页,共 17 页2所以2x 3x24x20 有三个根：1 , 22,230 设 二 次 函 数f ax2bxc a0,方 程fx x0的 两 个 根0x1x21. xx0就是二a（1）当x0,1x时,证明xfxx 1；（2）设函数f x 2 axbxc a0,的图像关于直线xx0对称,证明：x0x1. 2分析：（1）用作差比较法证明不等式xfxx1；（2）函数f ax2bxc a0,图像关于直线xx0对称,实际直线次函数的对称轴,即x0b,然后用已知条件证明不等式即可. 2 a证明：（1）依题意,设F