2022年高三数学-二项式定理.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点二项式定理1 学问精讲：（1）二项式定理：abnC0anC1an1 bCranrbrCnbn（n5N）nnnn其通项是Tr1Cranrbr（r=0,1,2, ,n）,知 4 求 1,如：T 6T 51Cn5anb5n亦可写成：Tr1Cranbrna（nN）abn0 C nan1 C nan1b1rCranrbr1nn C nbnn特殊地：1xnC0xnC1xCrxnrCnxn（nN）nnnn3nCn1其中,r C 二项式系数；而系数是字母前的常数；例 1C13 C29 Cn33n1Cn等于（）nnnA4nB；34nC；4n1

2、D.4n31C n33解： 设S nC13 C29 Cn33n1Cn,于是：nnn3 S n3 C132C233Cn3n 3Cn=Cn01 3 C n2 32 C n3 3nnnn应选 D 例 2（1）求12 7的绽开式的第四项的系数；2803 x ,r,（2）求x19的绽开式中3x 的系数及二项式系数x解：（1）12 7的绽开式的第四项是T 3 1C3 72 3r 1r 9 2C x12 7的绽开式的第四项的系数是280 （2）x19的绽开式的通项是rT1r 9C xr1r x 2 rx3,r3, 9843 x 的系数3 1C3 984,3 x 的二项式系数3 C 9（2）二项绽开式系数的性

3、质：对称性 , 在二项绽开式中,与首末两端“ 等距离” 的两项的二项式系数相等,即C0Cn,C1Cn1,C2Cn2,CkCnk,nnnnnnnn增减性与最大值：在二项式绽开式中,二项式系数先增后减,且在中间取得最大值；假如名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点n 偶数：Cnrm axCnnT n1；二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大,即22如 果 二 项 式 的 幂 指 数 是 奇 数 , 中 间 两 项 的 二 项 式 系 数 相 等 并 且 最 大 , 即名师归纳总结 CnrmaxCnn

4、1Cnn1Tn211Tn211；2n；. , 即第 2 页,共 4 页22全部二项式系数的和用赋值法可以证明等于n 2 即C0C1Cnnnn和 相 等奇数 项 的二 项 式系 数 和与 偶 数项 的 二 项式 系 数C0C2C1C32n1nnnn|a7|例 3已知12 7a 0a xa x27 a x ,求：（1）a 1a 2a ；（2）a 1a 3a 5a ；（3）|a0|a 1|解：（1）当x1时,12 71271,绽开式右边为7a 0a 1a2a 7a 0a 1a 2a71,当x0时,a 01,a 1a2a71 12,（2）令x1,a0a 1a 2a71令x1,a0a 1a2a3a 4a

5、5a6a 737 得：2a 1a3a 5a 7137,a 1a 3a 5a 713. 2（3）由绽开式知：a a a5,a 均为负,a 0,a a4,a 均为正,由（ 2）中 + 得：2a 0a2a4a 6137,a0a 2a4a61237,|a0|a 1|a7|a 0a 1a2a 3a 4a5a6a 7a0a2a 4a6a 1a3a 5a737- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4（1）假如在x21xn名师总结优秀学问点的绽开式中,前三项的系数成等差数列,求绽开式中的有4理项；（2）求x123的绽开式的常数项；项r；x解：（1）绽开式中前三项的系数

6、分别为1,n,n n1,28由题意得： 2n=1+n n1 得 n =8；28设第 r+1 项为有理项,T r1cr1x163r,就 r 是 4 的倍数,所以r=0,4, 8；482r有理项为T 1x 4,T 535x ,T 912；8256 x【思维点拨】求绽开式中某一特定的项的问题时,常用通项公式,用待定系数法确定（2）x123x16,其展开式的通xx为r名师归纳总结 T r11rC6rx62r121rC6rx62rr,令62rr0得r3N取第 3 页,共 4 页x22所以,常数项为4T20,3n【思维点拨】亲密留意通项公式的使用；（3）二项式定理的应用：近似运算和估量、证不等式,如证明：

7、2n2nn）2n11n的绽开式中的四项即可；（例 5、 如 n 为奇数,就7nC17n1C27n2Cn17被 9 除得的余数是nnnA 0 B；2 C；7 D.8 解：7nC17n1C27n2Cn178n191n1nnn=9nC1n 911n1Cn191n1nn由于 n为奇数,所以原式=9nC19n11n1Cn192nn所以,其余数为 9 2 = 7,选 C 例 6：当nN且 n 1,求证2 11n3n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证明 : 11n1C n11Cn21名师总结nn优秀学问点n112C11Cnnn2nnn11n12.nn1nn1n21

8、21nn1nn2321n2 .n2.3n .n211312111 nn111122n1.2.3n .2222n11231从而2132n【思维点拨】 这类是二项式定理的应用问题,它的取舍依据题目而定；2重点难点 : 二项式定理,和二项绽开式的性质；3思维方式 :一般与特殊的转化,赋值法的应用；r n r r4特殊留意 :二项式的绽开式共有 n+1 项,C n a b 是第 r+1 项；r n r r通项是 rT 1 C n a b（r=0,1,2, ,n）中含有 Tr 1 , a , b , n , r 五个元素,只要知道其中四个即可求第五个元素；留意二项式系数与某一项系数的异同；名师归纳总结 当 n 不是很大, | x | 比较小时可以用绽开式的前几项求1xn的近似值；第 4 页,共 4 页- - - - - - -