2022年高中数学人教版必修四常见公式及知识点系统总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点必修四常考公式及高频考点考点一角的表示方法第一部分三角函数与三角恒等变换1.终边相同角的表示方法：全部与角终边相同的角,连同角在内可以构成一个集合： | = k 360 + ,k Z 2.象限角的表示方法：第一象限角的集合为 | k 360 k360 +90 ,k Z 其次象限角的集合为 | k 360 +90 k 360 +180 ,k Z 第三象限角的集合为 | k 360 +180 k 360 +270 ,k Z 第四象限角的集合为 | k 360 +270 0,先利用诱导公式易错提示： y=Asin x ,当 0,且

2、 x=0 时的相位（ x+ = ）称为初相 . 假如不满意进行变形,使之满意上述条件,再进行运算. 如 y=-3sin-2x+600 的初相是 -600 求解思路：利用三角函数对称性与周期性的关系,解 . 相邻的对称中心之间的距离是周期的一半；相邻的对称轴之间的距离是周期的一半；相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期的四分之一 . 2. “ 一图、两域、四性”“ 一图” ：学好三角函数,图像是关键；易错提示： “ 左加右减、上加下减” 中“ 左加右减” 仅仅针对自变量x,不行针对 -x 或 2x 等.例：“ 两域” ：1 定义域求三角函数的定义域实际上是解简洁的三角不等式,常借助三角函数线或三

3、角函数图象或数轴法来求解 . 2 值域 最值 ：a. 直接法（有界法） ：利用 sinx , cosx 的值域 . b. 化一法：化为 y=Asin x+ +k 的形式逐步分析 x+ 的范畴,依据正弦函数单调性写出函数的值域 最值 . c. 换元法：把 sinx 或 cosx 看作一个整体,化为求一元二次函数在给定区间上的值域 最值 问题 . 例：1.y=asinx2+bsinx+c 22.y=asinx2+bsinxcosx+ccosx3.y=asinx+c/bcosx+d 4.y=asinx cosx+bsinxcosx+c “ 四性” ：1 单调性函数 y=Asin x+ A0, 0 图

4、象的单调递增区间由2k - 2 x+ 2k 2,kZ 解得 , 单调递减区间由2k + 2 x+ 0, 0 图象的单调递增区间由2k + x+ 2k 2 ,k Z 解得 , 单调递减区间由2k x+ 0, 0 图象的单调递增区间由k - 2 x+ k 2, kZ 解得 ,. 规律总结： 留意 、A 为负数时的处理技巧2 对称性函数 y=Asin x+ 的图象的对称轴由 x+ = k 2 k Z 解得 , 对称中心的横坐标由 x+ = k k Z 解得 ; 名师归纳总结 第 4 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点函数

5、y=Acos x+ 的图象的对称轴由 x+ = k k Z解得 , 对称中心的横坐标由 x+ =k 2 k Z 解得 ; 函数 y=Atan x+ 的图象的对称中心由 x+ = k k Z 解得 . 规律总结： 可以是单个角或多个角的代数式 . 无需区分 、A 符号 . 3 奇偶性函数 yAsin x ,xR是奇函数 . k k Z ,函数 yAsin x ,xR是偶函数 . k 2 kZ ；函数 yAcos x ,xR是奇函数 . k 2 k Z ；函数 y Acos x ,x R是偶函数 . k kZ ；k函数 yAtan x , xR是奇函数 . 2 k Z 规律总结： 可以是单个角或多

6、个角的代数式 . 无需区分 、A 符号 . 4 周期性函数 yAsin x 或 yAcos x 的最小正周期T2 | |,yAtan x 的最小正周期T | | . 考点六常见公式常见公式要做到“ 三用” ：正用、逆用、变形用1.同角三角函数的基本关系sin22 cos1 ； tan=sincos2.三角函数化简思路： “ 去负、脱周、化锐”（1）去负,即负角化正角：sin-a=-sina； cos-a=cosa；tan-a=-tana；（2）脱周,即将不在（0,2 ）的角化为（ 0,2 ）的角：sin2k +a=sina ； cos2k +a=cosa ；tan2k +a=-tana ；（3

7、）化锐,即将在（0,2 ）的角化为锐角：6 组诱导公式1 sin 2 ksin, cos 2 kcoscos, tan 2 ktantank第 5 页,共 11 页2 sinsin, coscos, tan3 sinsin, cos, tantan4 sinsin, coscos, tantan5 sin2cos, cos2sin6 sin2cos, cos2sin名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点口诀：奇变偶不变,符号看象限 . 均化为“k /2 a” , 做到“ 两观看、一变”；一观看： k 是奇数仍是偶数；二观看

8、：k/2 a 终边所在象限 ,再由 k /2 a 终边所在象限, 确定 原函数 对应函数值的正负 . 一变：正弦变余弦、 余弦变正弦、正切利用商的关系变换 . 其中公式（ 1）也可懂得为终边相同角的三角函数值相同,公式（3）也可依据函数奇偶性懂得3.两角和差公式sinsincoscossin； coscoscossinsin；tantantan, 1tantan4.二倍角公式sin2sincos；cos22 cossin22cos2112sin2；tan 212 tan2, = 时的特别情形tan二倍角公式是两角和的正弦、余弦、正切公式,当倍角是相对的,如0.5 是 0.25 的倍角, 3是

9、1.5 的倍角5.升降幂公式cos 2cos2sin222cos2112sin2（升幂缩角） . cos21cos 2,sin1cos2（降幂扩角）,226.帮助角公式asinbcos=2 ab2 sin 帮助角所在象限由点 , a b 的象限打算 , tanb,- 2 2i考点二向量的线性运算1. 向量的加法法就（1）平行四边形法就：共起点,指向对角线；起点相同、终点相同,首尾相连、路径不限（2）三角形法就：首尾相连,可懂得为“ 条条大路通罗马”2. 向量的 减法原就：起点相同、指向被减OAOBOCOAOBBA1 2 a+b= 2 OC , 1 2 a-b= 1 2 BA 两个向量共线只可用

10、三角形法就；封闭图形、首尾相连、相加为零3. 向量的数乘运算实数与向量 a 的积叫做向量的数乘,记作a 其几何意义就是将表示向量a 的有向线段伸长或压缩a0（1）aa（2）当0 时,a 的方向与 a 的方向相同；当0 时,a 的方向与 a 的方向相反；当0时,4.a 与 b 的数量积运算a b=| a|b|cos =|a|b|cos=x 1x2+y1y 2（1）|a|cos 叫做 a 在 b 方向上的投影；|b|cos 叫做 b 在 a 方向上的投影（2）a b 的几何意义： a b 等于 |a| 与 |b| 在 a 方向上的投影 |b|cos 的乘积（3） 为 a 与 b 的夹角, 0 （4

11、）零向量与任一向量的数量积为 0（5）a b=- b a（6）向量没有除法,“ a / b” 没有意义 , 留意与复数运算的区分B O bD aA （7）向量的加法、减法、数乘结果为向量,向量的数量积结果为实数易错提示：向量的数量积与实数运算的区分：名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）向量的数量积不满意结合律,即：名师总结优秀学问点b=c a.b .ca.b .c （2）向量的数量积不满意消去律,即：由a.b=a .c a 0 ,推不出（3）由 |a|=|b| ,推不出a=b 或 a=-b （4） |a.b|

12、|a|.|b| 考点三 向量的运算律1. 实数与向量的积的运算律设 、 为实数,那么1 结合律： a= a; 2 第一安排律： + a= a+ a; 3 其次安排律： a+b= a+ b. 2. 向量的数量积的运算律：1 a b= b a （交换律） ; 2 （a）b= （ab）= ab= a （b）; 3 （a+b）c= a c +b c. 考点四 向量的坐标表示及坐标运算1. 平面对量基本定理假如 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数 1、 2,使得 a= 1e1+ 2e2不共线的向量（隐含另一条件为非零向量,基底不唯独）e1、e2叫做表

13、示这一平面内全部向量的一组基底该定理作用：证明三点共线、两直线平行或两个向量 a、b 共线 . 解题思路：可用两个不共线的向量 e1、e2表示向量 a、b,设 b= a（a 0）,化成关于 e1、 e 2 的方程,即 f e1+g e2=0,由于 e1、 e 2不共线,就 f =0,g =0 2. 向量的坐标表示i,j是一对相互垂直的单位向量,就有且只有一对实数x, ,使得ax iy j,称 x,y 为向量a的坐标,记作：ax,y,即为向量的坐标表示y 11 设 a=x y 1,b=x2,y2,就 a+b=x 1x2,y 1y22 设 a=x y 1,b=x2,y2,就 a-b=x 1x2,y

14、 1y23 设ax1,y1x1,y14 设 a=x y 1,b=x2,y2,就 ab=| a|b|cos =x 1x 2+y1y2（5）设 Ax 1,y 1, B x 2,y 2, 就ABOBOAx 2x y 1 2（6）|AB|x2x12y2y12 ,A、B两点间距离公式易错提示：公式（ 2）与公式（ 5）的区分向量坐标与该向量有向线段的端点无关,仅与其相对位置有关考点四 向量的常见公式1. 线段的定比分公式（1）定比分点向量公式：设P x y 1,P 2x 2,y 2,P x y 是线段P P 的分点 ,是实数,且PPPP ,就的名师归纳总结 第 9 页,共 11 页- - - - - -

15、 -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点x2x3,y1y2y3坐标是x 1x2,y 1y2,即xx 1x 2OPOP 1OP 2111yy 1y 211OPtOP 11t OP （t11）. （2）定比分点坐标公式：设P x1,y1,P x2,y2,分点P x,y,设P 1、P 2是直线 上两点,P 点在l 上且不同于P 1、P 2,如存在一实数,使P PPP 2,就叫做P 分有向线段P P 2所成的比（0, 在线段P P 2内,0, 在P P 2外）,且xx1x2, 为 PP P 2中点时,xx12x21yy1y2yy12y21如：ABC,A x1,y1,B

16、x2,y2,C x3,y3,就ABC重心G的坐标是x1332. 三角形五“ 心” 向量形式的充要条件设 O 为ABC 所在平面上一点,角A B C 所对边长分别为a b c ,就（1） O为ABC的外心OA2OB2OC2. （2） O为ABC 的重心OAOBOC0. （3） O为ABC 的垂心OA OBOB OCOC OA . （4） O为ABC 的内心aOAbOBcOC0. （5） O为ABC 的A 的旁心aOAbOBcOC .3. Ax1,y 1 、Bx 2,y 2、 Cx 3,y 3 三点共线OC= OA + OB , 且 + =1 x 1-x 2y2-y 3= x2-x 3 y1-y

17、2 等4. 向量的三角形不等式和方程（1） a - b a+b a + b当且仅当a、b 同向时,右边取等号 当且仅当a、 b 反向时,左边取等号；（2） a - b a-b a + b当且仅当a、b 反向时,右边取等号 当且仅当a、 b 同向时,左边取等号；记忆规律：（1）与（ 2）的几何意义为三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边（3） a+b2+ a-b=2（ a+ b2）,该式几何意义为平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和 2 2（4）ab0 推不出 a 与 b 的夹角为锐角,可能为 0；ab0 推不出 a 与 b 的夹角为钝角,可能为 180 5. 点的平移公式xxhxx

18、hOPOP PP . P x,y,且 PP 的坐标为 , h k . yykyyk注: 图形 F 上的任意一点Px ,y 在平移后图形 F 上的对应点为6. “ 按向量平移” 的几个结论1 点P x y 按向量 a= , 平移后得到点P x h yk . yh k . hk . 2 函数yf x 的图象 C 按向量 a= , h k 平移后得到图象 C , 就 C 的函数解析式为yf x3 图象 C 按向量 a= , h k 平移后得到图象C , 如 C 的解析式yf x , 就 C 的函数解析式为f x4 曲线 C :f x y , 0按向量 a= , 平移后得到图象 C , 就 C 的方程

19、为fxh yk0. 第 10 页,共 11 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点5 向量 m= , x y 按向量 a= , h k 平移后得到的向量仍旧为 m= , x y . 考点五 向量的的四种常见题型设 a=x 1,y 1,b=x 2,y2a/bb= a（a 0）x y2x y 10（交叉相乘差为零）,1. 两个向量的平行或共线关系：如 a=0, 就 a=0,当 b=0, 不唯独；当 不行写为 x1/x2=y1/y2b 0, 不存在 . 限定 a 0 是保证 的唯独性和存在性2. 两个向量的垂直关系 aba b=0| a|b|cos =0x x 2y y20（对应相乘和为零）3. 两个向量的夹角公式：cos2 x 1x x 2y y 22 y 2, 其中 为 a 与 b 的夹角2 y 12 x 24. 两个向量的模运算：如ax y,就a2x22 y 或ax 2y2（a b）2=a2 2ab+b 2, （a+b）（a-b ）=a 2-b2 解题技巧：1. 如向量用模表示,且已知两个向量的夹角,遇模,先平方后开方,如awbawb22. 如向量用坐标表示,遇模不平方,直接依据坐标运算名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页