2022年高中数学必修平面向量知识点总结与典型例题归纳.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 平面对量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量 ：既有大小又有方向的量；记作：AB 或 a ；2. 向量的模 ：向量的大小或长度,记作： | AB 或 | a ；3. 单位向量 ：长度为 1 的向量；假设 e 是单位向量,就 | e | 1；4. 零向量 ：长度为 0 的向量；记作：0 ；【 0 方向是任意的,且与任意向量平行】5. 平行向量共线向量 ：方向相同或相反的向量；6. 相等向量 ：长度和方向都相同的向量；7. 相反向量 ：长度相等,方向相反的向量；ABBA；8. 三角形法就：AB BC AC ； AB BC CD

2、 DE AE ； AB AC CB 指向被减数9. 平行四边形法就：以 a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为 a b , a b ；10. 共线定理 ：a b a / / b ；当 0 时, a 与 b 同向；当 0 时, a 与 b 反向；11. 基底 ：任意不共线的两个向量称为一组基底；12. 向量的模： 假设a , ,就|a|2 xy2,a2|a2 |,|ab|ab2 013. 数量积与夹角公式：a b|a| |b| cos；cosba b0x x 2y y 2|a| |b|14. 平行与垂直：a/ /babx y 2x y ；aa b题型 1. 基本概念判定正误：1共线向量就是

3、在同一条直线上的向量；2假设两个向量不相等,就它们的终点不行能是同一点；3与已知向量共线的单位向量是唯独的；4四边形 ABCD是平行四边形的条件是 AB CD ；5假设 AB CD ,就 A、 B、C、D四点构成平行四边形；6假设 a 与 b 共线,b 与 c 共线,就 a 与 c 共线；7假设 ma mb ,就 a b ；1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 8假设 mana ,就 mn ；9假设 a 与 b 不共线,就 a 与 b 都不是零向量；10假设a b|a| |b ,就a/ /b ；11假设 |ab| |

4、ab ,就 ab ；题型 2. 向量的加减运算1. 设 a 表示“ 向东走8km” , b 表示“ 向北走6km” , 就 |ab|；2. 化简 ABMBBOBCOM；3. 已知 |OA| 5, |OB| 3, 就 |AB|的最大值和最小值分别为、, AD4. 已知 AC 为AB与AD的和向量,且ACa BDb ,就 AB5. 已知点 C在线段 AB上,且AC3AB , 就 ACBC , ABBC ；5题型 3. 向量的数乘运算1. 运算： 22a5 b3 3 2a3 b2 2. 已知a1, 4,b 3,8,就3a1b；2题型 4 依据图形由已知向量求未知向量1. 已知在ABC 中, D 是

5、BC 的中点,请用向量AB AC表示 AD ；2. 在平行四边形ABCD 中,已知ACa BDb ,求 AB 和AD；题型 5. 向量的坐标运算1. 已知 AB 4,5,A 2,3,就点 B 的坐标是；2. 已知 PQ 3, 5,P 3,7,就点 Q 的坐标是；3. 假设物体受三个力 F 1 1,2 , F 2 2,3 , F 3 1, 4 , 就合力的坐标为；4. 已知 a 3,4,b 5, 2,求 a b , a b , 3 a 2 b ；5. 已知 A 1,2, B 3,2 , 向量 a x 2, x 3 y 2 与 AB 相等,求 x y的值；2 名师归纳总结 - - - - - -

6、-第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6. 已知AB2,3,BCm n ,CD 1,4,就 DA；7. 已知 O 是坐标原点,A2,1,B 4,8,且AB3BC0,求 OC 的坐标；题型 6. 判定两个向量能否作为一组基底1. 已知 e e 是平面内的一组基底,判定以下每组向量是否能构成一组基底：A. e 1 e 2 和 e 1 e 2 B. 3 e 1 2 e 2 和4 e 2 6 e 1 C. e 1 3 e 2 和 e 2 3 e 1 D. e 2 和 e 2 e 12. 已知 a 3,4,能与 a 构成基底的是A. 3 4 , B. 4 3 , C.

7、 3 , 4 D. 1, 4 5 5 5 5 5 5 3题型 7. 结合三角函数求向量坐标1. 已知 O 是坐标原点,点 A 在其次象限, | OA | 2,xOA 150,求 OA 的坐标；2. 已知 O 是原点,点 A 在第一象限, | OA | 4 3,xOA 60,求 OA 的坐标；题型 8. 求数量积1. 已知 |a| 3,|b| 4,且 a 与 b 的夹角为 60 ,求 1 a b ,2aaab,3a1ba2b ,b ,4 2ab a3 ；22. 已知a6,b 8,10,求 1 |a|,|b , 2 a b ,32,4 2ab a3 b ；3 名师归纳总结 - - - - - -

8、-第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 题型 9. 求向量的夹角1. 已知 |a| 8,|b| 3,a b12,求 a 与 b 的夹角；3,1,b 2 3, 22. 已知a,求 a 与 b 的夹角；3. 已知A 1,0,B0,1,C2,5,求 cosBAC；题型 10. 求向量的模1. 已知 |a| 3,|b| 4,且 a 与 b 的夹角为 60 ,求 1 |ab ,2 | 2a3 | b ；2. 已知a2,6,bab ,6|a1 2b ； 8,10,求 1 |a|,|b , 5 |3. 已知 |a| 1 |,b|2, | 3 a2 |3,求 |3ab ；题型

9、 11. 求单位向量【与 a 平行的单位向量：e|a|】a1. 与a12,5平行的单位向量是 2.与m 1,1平行的单位向量是；2题型 12. 向量的平行与垂直1. 已知a1,2,b 3,2,1 k 为何值时,向量kab 与a3 b 垂直？ 2 k 为何值时向量 kab 与a3 b 平行？4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 已知 a 是非零向量,a ba c ,且 bc ,求证：abc ；题型 13. 三点共线问题1. 已知A 0,2,B2, 2,C3, 4,求证：A B C 三点共线；三点共线；a8 , b

10、 CD2 22. 设AB5 ,BC2a3ab ,求证： A、 、D3. 已知ABa2 , b BC5a6 , b CD7a2b ,就肯定共线的三点是；4. 已知A 1, 3,B8, 1,假设点C2a1,a2在直线 AB 上,求 a 的值；tOBOC5. 已知四个点的坐标O0,0, 3, 4, 1,2, 1,1,是否存在常数t ,使 OA成立？题型 14. 判定多边形的外形1. 假设AB3 e ,CD5 e ,且 |AD| |BC , 就四边形的外形是；2. 已知A 1,0,B4,3,C2, 4,D0,2,证明四边形ABCD 是梯形；3. 已知A 2,1,B6, 3,C0,5,求证：ABC 是直

11、角三角形；5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4. 在平面直角坐标系内,OA 1,8, OB 4,1, OC1,3 , 求证：ABC 是等腰直角三角形；题型 15. 平面对量的综合应用1. 已知a1,0,b2,1,当 k 为何值时,向量kab 与a3 b 平行？2. 已知a3,5,且 ab , |b|2,求 b 的坐标；3. 已知 a 与b同向,b1,2,就a b10,求 a 的坐标；4. 已知a1,2,b3,1,c5,4,就 cab ；5. 已知am ,3,b2,1,1假设 a 与 b 的夹角为钝角,求m 的范畴；2假设 a 与 b 的夹角为锐角,求 m 的范畴；6. 已知 a 6,2,b 3, m ,当 m 为何值时,1 a与 b 的夹角为钝角？2 a 与 b 的夹角为锐角？7. 已知梯形 ABCD 的顶点坐标分别为A 1,2, 3, 4,D2,1,且AB/ /DC ,AB2 CD ,求点 C 的坐标；8. 已知ABC 三个顶点的坐标分别为A3,4,B0,0,C c ,0,1假设AB AC0,求 c 的值；2假设c5,求 sin A 的值；6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页