2022年高一数学常考立体几何证明题及答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载1、如图,已知空间四边形 ABCD 中,BC AC AD BD , E 是 AB 的中点；求证：（1） AB 平面 CDE; （2）平面 CDE 平面 ABC ；A E 2、如图,在正方体ABCDA B C D 中, E 是B D C AA 的中点,求证：AC/平面 BDE ；B1AA CD1 E D 3、已知ABC 中ACB90, SA面 ABC , ADSC, B SC 求证： AD面 SBCD4、已知正方体ABCDA B C D , O 是底 ABCD 对角线的交点 . ABB1 C1 第 1 页,共 8 页D1CC

2、1求证： C1O 面AB D ；21AC面AB D A1B15、正方体ABCDA B C D 中,求证：DCOBA（1）AC平面B D DB；A1 D 1 （2）BD平面ACB. 6、正方体 ABCD A1B1C1D1中1 求证：平面A1BD 平面 B1D1C；F2 如 E、F 分别是 AA1,CC1的中点,求证：平面EB1D1 平面 FBD 7、四周体 ABCD 中,ACBD E F 分别为AD BC 的中点, 且EFEDGC2AC ,ABDC90,B2求证： BD平面 ACD名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 8、如图,在正方体ABCD

3、优秀学习资料欢迎下载C D 的中点 . 求证：平面D EF 平面A B C D 中, E 、 F 、 G 分别是 AB 、 AD 、BDG .9、如图,在正方体ABCDA B C D 中, E 是AA 的中点 .（1）求证：A C/平面 BDE ；AB2,PAAD4, E 为 BC 的中点（2）求证：平面A AC平面 BDE .10、已知 ABCD 是矩形, PA（1）求证： DE 平面 PAE ；平面 ABCD ,（2）求直线 DP 与平面 PAE 所成的角11、 如图,在四棱锥PABCD 中,底面 ABCD 是DAB600且边长为 a 的菱形 ,侧面 PAD 是等边三角形,且平面PAD 垂

4、直于底面 ABCD AO平面 MBD （1）如 G 为 AD 的中点,求证：BG平面 PAD ；（2）求证： ADPB 12、如图 1,在正方体ABCDA B C D 中, M 为CC 1的中点, AC 交 BD 于点 O,求证：13 、 如 图 , 在 三 棱 锥 BCD 中 , BC AC, AD BD,作 BE CD, 为 垂 足 , 作 AH BE 于 求 证 ： AH 平 面 BCD1412 分求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形名师归纳总结 已知：如图,三棱锥SABC,SC 截面 EFGH ,AB 截面 EFGH . 第 2 页,共 8 页- - - -

5、 - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载2 3 a,如图求证：截面EFGH 是平行四边形1512 分已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 a,M、N 分别为 A1B 和 AC 上的点, A1MAN1求证： MN 面 BB1C1C；2求 MN 的长1612 分2022 浙江高考 如图, DC 平面 ABC,EB DC,ACBC EB2DC2, ACB120,P,Q 分 别为 AE,AB 的中点1证明： PQ 平面 ACD；2求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值1712 分如图,在四周体 ABCD 中, CB CD,ADBD,点 E、F 分别是

6、 AB、BD 的中点求证： 1直线 EF 面 ACD. （2）平面 EFC平面 BCD .名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载C B1CBD1 第 4 页,共 8 页1、如图,已知空间四边形ABCD 中,BCAC ADBD , E 是 AB 的中点；求证：（1） AB平面 CDE; A （2）平面 CDE平面 ABC ；证明：（1）BC AEACCEABE BE同理,AD AEBDDEABB BE又CEDEE AB平面 CDED （2）由（ 1）有 AB平面 CDE又AB平面 ABC ,平面 CDE

7、平面 ABC2、如图,在正方体ABCDA B C D 中, E 是AA 的中点,求证：AC/平面 BDE ；A证明：连接AC 交 BD 于 O ,连接 EO ,B1E E 为AA 的中点, O为 AC 的中点DC D EO 为三角形A AC 的中位线EO/ACA 又 EO 在平面 BDE 内,1A C 在平面 BDE 外A C/平面 BDE ；B 3、已知ABC 中ACB90, SA面 ABC , ADSC, 求证： AD面 SBCS证明：ACB90BCAC又 SA面 ABCSAB CBC面 SACB CA DC又SCAD SCBCCAD面 SBCAD1C14、已知正方体ABCDA B C D

8、 , O 是底 ABCD 对角线的交点 . A1求证： C1O 面AB D ；21AC面AB D DOBC证明：（1）连结AC ,设A C 1B D 1O ,连结AO 1AABCDA B C D 是正方体A ACC 是平行四边形A1C1 AC 且A C 1AC又O O 分别是A C 1,AC 的中点, O1C1 AO 且O C 1AOAOC O 是平行四边形C OAO 1 , AO 1 面AB D ,C O面AB D1C1O 面AB D 1名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载BD平面ACB. C1 （2）CC 1 面 A

9、 B C D 1 C C B D又A C 1 B D 1,B D 1 面 A C C同理可证 A C AD ,又 D B 1 AD 1 D 1即A CB D 1AC面AB D15、正方体ABCDA B C D 中,求证：（1）AC平面B D DB；（2）6、正方体 ABCD A1B1C1D1中 1求证：平面A1BD 平面 B1D1C；A1 D 1 B1 2如 E、F 分别是 AA1,CC1的中点,求证：平面EB1D1 平面 FBD 证明： 1由 B1B DD 1,得四边形BB1D 1D 是平行四边形,B1D 1 BD,F又 BD 平面 B1D 1C,B1D1平面 B1D1C,EDGC BD 平

10、面 B1D1CAB同理 A1D 平面 B1D1C而 A1DBDD,平面 A1BD 平面 B1CD2由 BD B1D 1,得 BD 平面 EB1D1取 BB1中点 G, AE B1G从而得 B1E AG,同理 GF AD AG DF B1E DF DF 平面 EB 1D1平面 EB1D1 平面 FBD 7、四周体 ABCD中,ACBD E F 分别为AD BC 的中点, 且EF2AC ,D EF 平面第 5 页,共 8 页2BDC90,求证： BD平面 ACD证明：取 CD 的中点 G ,连结EG FG ,E F 分别为AD BC 的中点, EG/1AC2FG/1BD,又ACBD FG1AC ,

11、在EFG 中,EG2FG21AC2EF2222 EG BDFG , BD 平面 ACDAC ,又BDC90,即 BDCD ,ACCDC8、如图,在正方体ABCDA B C D 中, E 、 F 、 G 分别是 AB 、 AD 、C D 的中点 . 求证：平面BDG .证明： E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点,EF BD又 EF平面 BDG , BD平面 BDGEF 平面 BDGD GEB四边形D GBE 为平行四边形,D E GB又D E平面 BDG , GB平面 BDGD E 平面 BDGEFD EE ,平面D EF 平面 BDG9、如图,在正方体ABCDA B C D 中, E

12、是AA 的中点 .名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载平面A AC的 中（1）求证：A C/平面 BDE ；（2）求证：平面A AC平面 BDE .证明：（1）设ACBDO , E 、 O 分别是AA 、 AC 的中点,A C EO又AC平面 BDE , EO平面 BDE ,A C 平面 BDE（2）AA 1平面 ABCD , BD平面 ABCD ,AA 1BD又 BDAC ,ACAA 1A ,BD平面A AC , BD平面 BDE ,平面 BDE10、已知 ABCD 是矩形, PA平面 ABCD ,AB2,PAAD4,

13、E 为 BC点（1）求证： DE 平面 PAE ；（2）求直线 DP 与平面 PAE 所成的角证明：在 ADE中,AD 2 AE 2 DE ,2AE DE PA 平面 ABCD , DE 平面 ABCD ,PA DE又PA AE A,DE 平面 PAE（2）DPE 为 DP 与平面 PAE 所成的角在 Rt PAD,PD 4 2,在 Rt DCE 中,DE 2 2在 Rt DEP中,PD 2 DE ,DPE 30 0011、如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 是 DAB 60 且边长为 a 的菱形,侧面 PAD 是等边三角形,且平面 PAD 垂直于底面 ABCD （1）如 G 为

14、 AD 的中点,求证：BG 平面 PAD ；（2）求证： AD PB 证明：（1）ABD 为等边三角形且 G 为 AD 的中点,BG AD又平面 PAD 平面 ABCD,BG 平面 PAD（2） PAD 是等边三角形且 G 为 AD 的中点,AD PG且 AD BG ,PG BG G ,AD 平面 PBG ,PB 平面 PBG ,AD PB12、如图 1,在正方体 ABCD A B C D 中, M 为 CC 1 的中点, AC 交 BD 于点 O,求证：AO 平面 MBD 证明：连结 MO ,A M , DBA A , DBAC,A A AC A ,DB平面 A ACC ,而 AO 平面 A

15、 ACC 1DBA O 设正方体棱长为 a ,就 A O 2 3a ,2MO 2 3a 22 4在 RtA C M 中,A M 2 9a 2A O 2MO 2A M 2,AO OM4OM DB =O,A O 平面 MBD 名师归纳总结 第 6 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载 13、如图,在三棱锥 BCD中, BCAC,ADBD,作 BECD,为垂足,作 AH BE于求证： AH平面 BCD证明：取 AB的中点 ,连结 CF,DF ACBC , CFAB E , ADBD , DFAB 又 CFDFF , AB平面

16、 CDF CD平面 CDF, CDAB 又 CDBE , BEABB, CD平面 ABE, CDAH AHCD , AHBE ,CDBEAH平面 BCD1412 分求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形已知：如图,三棱锥 SABC,SC 截面 EFGH ,AB 截面 EFGH . 求证：截面 EFGH 是平行四边形证明： SC 截面 EFGH ,SC.平面 EFGH , SC. 平面 ASC,且平面 ASC平面 EFGH GH, SC GH . 同理可证 SC EF, GH EF . 同理可证 HE GF. 四边形 EFGH 是平行四边形1512 分已知正方体ABCD

17、 A1B1C1D1的棱长为 a,M、N 分别为 A1B 和 AC 上的点, A1MAN2 3 a,如图1求证： MN 面 BB1C1C；2求 MN 的长解： 1证明： 作 NP AB 于 P,连接 MP.NP BC,AP ABAN ACA1M A1B, MP AA1 BB1,面 MPN 面 BB1C1C. MN . 面 MPN, MN 面 BB1C1C. 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2BCAN AC2 3 a2a1 3,NP 1 3a,优秀学习资料欢迎下载同理 MP2 3a. 又 MP BB1, MP面 ABC

18、D ,MP PN. 在 Rt MPN 中 MN 4 9a21 9a25 3 a. 1612 分2022 浙江高考 如图, DC 平面 ABC,EB DC,ACBC EB2DC2, ACB120,P,Q 分 别为 AE,AB 的中点1证明： PQ 平面 ACD；2求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值解： 1证明： 由于 P,Q 分别为 AE,AB 的中点,所以 又 PQ.平面 ACD ,从而 PQ 平面 ACD . PQ EB.又 DC EB,因此 PQ DC,2如图,连接CQ, DP,由于 Q 为 AB 的中点,且ACBC,所以 CQ AB. 由于 DC 平面 ABC,EB DC ,所以

19、EB平面 ABC,因此 CQEB. 故 CQ平面 ABE. 由 1有 PQ DC,又 PQ1 2EBDC,所以四边形 CQPD 为平行四边形,故 DP CQ,因此 DP平面 ABE, DAP 为 AD 和平面 ABE 所成的角,在 Rt DPA 中, AD5,DP1,sinDAP5,51712 分如图,在四周体 ABCD 中, CB CD,ADBD,点 E、F 分别是 AB、BD 的中点求证： 1直线 EF 面 ACD. 2平面 EFC 平面 BCD . 证明： 1在 ABD 中, E、F 分别是 AB、BD 的中点, EF AD. 又 AD. 平面 ACD, EF.平面 ACD,直线 EF 面 ACD . 2在 ABD 中, ADBD,EF AD, EFBD. 在 BCD 中, CD CB,F 为 BD 的中点, CFBD. CFEFF, BD平面 EFC,又 BD. 平面 BCD,平面 EFC平面 BCD .名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页