2022年高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案4.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - y22pxy22pxx22pyx22py抛l pF 0x F p0 x p0 x p0 l y y O l y F y 物O O x 线O F l 定义范畴对称性焦点平面内与一个定点F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点 F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线；MMF=点 M到直线 l 的距离 x0,yRx0,yRxR y0xR y0关于 x 轴对称关于 y 轴对称p ,0 2p ,0 20,p 20,p 2焦点在对称轴上顶点xx 1ppO0,0AFyppe=1 离心率准线xpyp2222方程准线与焦点位于顶点两侧且到

2、顶点的距离相等；顶点到准AFpy 1线的距离2焦点到准p线的距离焦半径AFx 1pAFy 1pA x 1,y 12222焦 点弦名师归纳总结 长x 1x 2px 1x 2py 1y2py 1y2p第 1 页,共 22 页AB- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yA x y 1oF,x B x 2y 2焦点弦AB 的几条性质以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切,就ABp y2pA x 1 ,y 1如 AB 的倾斜角为,就AB2p如 AB 的倾斜角为B x 2,y2sin2cos2切线x x2p2y y 2p 2x x 0y0411AFBFAB2AFBFA

3、FBFAFBFpy yp xx 0y y 0p xx 0x xp yy0方程一直线与抛物线的位置关系直线,抛物线,消 y 得：（1）当 k=0 时,直线 l 与抛物线的对称轴平行,有一个交点；（2）当 k 0 时, 0,直线 l 与抛物线相交,两个不同交点； =0, 直线 l 与抛物线相切,一个切点； 0,直线 l 与抛物线相离,无公共点；（3）如直线与抛物线只有一个公共点, 就直线与抛物线必相切吗 .（不肯定）名师归纳总结 二关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法x 1x2,x 1x 2,仍可进一步求出第 2 页,共 22 页直线 l ：ykxb抛物线, p0 联立方程法：ykxbk2x

4、22kbpxb202 y2px设交点坐标为A x 1y 1,Bx 2y2,就有0 , 以及- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y 1y 2kx 1bkx 2bkx 1x 22 b,y 1y2kx 1bkx 2bk2x 1x2kb x 1x22 b在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如1.相交弦 AB的弦长1k2x 1x 224x 1x 21k22aaAB1k2x 1x 2或AB11y1y211y 1y224y 1y21kk2k2b. 中点Mx0y0, x0x 12x2,y 0y 12y2点差法：,Bx 2y2,代入抛物线方程,得设交点坐标为

5、A x 1y 12 y 12 px 1y222 px 2将两式相减,可得 y 1 y 2 y 1 y 2 2 p x 1 x 2 y 1 y 2 2 px 1 x 2 y 1 y 2a. 在涉及斜率问题时,k AB 2 py 1 y 2b. 在 涉 及 中 点 轨 迹 问 题 时 , 设 线 段 AB 的 中 点 为 M x 0y 0 ,y 1 y 2 2 p 2 p p,x 1 x 2 y 1 y 2 2 y 0 y 0即 k AB p,y 0同理,对于抛物线 x 2 2 py p 0 ,如直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点,点 M x 0y 0 是弦 AB 的中点,就有 k AB x

6、1 x 2 2 x 0 x 02 p 2 p p（留意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点,2）直线的斜率存在,且不等于零）名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 抛物线练习及答案P到抛物线焦点距离之1、已知点 P 在抛物线 y 2 = 4x 上,那么点P 到点 Q（2, 1）的距离与点名师归纳总结 和取得最小值时,点P 的坐标为；（1,1）第 4 页,共 22 页42、已知点 P 是抛物线y22x 上的一个动点,就点P 到点（ 0,2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为；1723、直线yx3

7、与抛物线y24x 交于A B 两点,过A B 两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P Q ,就梯形 APQB 的面积为； 484、设 O 是坐标原点,F 是抛物线y22px p0的焦点, A 是抛物线上的一点,FA 与 x 轴正向的夹角为 60 ,就 OA 为；5、抛物线y24x 的焦点为 F ,准线为 l ,经过 F 且斜率为3 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点 A , AKl,垂足为 K ,就AKF的面积是； 4 36、已知抛物线C:y28x 的焦点为 F ,准线与 x 轴的交点为 K ,点 A 在 C 上且AK2AF ,就AFK 的面积为； 87、已知双曲线x2y21,就以双曲线

8、中心为焦点,以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程45为；8、在平面直角坐标系xoy 中,有肯定点A 2,1,如线段 OA的垂直平分线过抛物线y22px p0就该抛物线的方程是；9、在平面直角坐标系xoy 中,已知抛物线关于x 轴对称,顶点在原点O ,且过点 P2,4,就该抛物线的方程是；y28x10、抛物线yx 上的点到直线 24 x 3 y 8 0 距离的最小值是；43y 2=4x,过点 P4,0的直线与抛物线相交于 Ax 1,y1,Bx 2,y2两点,就y12+y22 的最小11、已知抛物线值是； 32 12、如曲线2 y | x |1 与直线 y kx b 没有公共点,就k 、 b 分别应满

9、意的条件是； k =0,-1 b 2 时,点 P（ x,0）存在无穷多条“ 相关弦 ” .给定x02. （1）证明：点 P（x 0,0）的全部 “相关弦 ”的中点的横坐标相同；（2）试问： 点 P（x0,0）的“相关弦 ”的弦长中是否存在最大值？如存在,求其最大值 （用 x0表示）：如不存在,请说明理由 . 解: （1）设 AB 为点 P（x 0,0）的任意一条 “相关弦 ”,且点 A、B 的坐标分别是（x 1,y1）、（x2,y2）（x1 x2）,就 y 21=4x 1, y 22=4x 2,两式相减得（ y1+y 2）（ y1-y 2）=4（x 1-x 2）.由于 x1 x2,所以 y1+

10、y 2 0.设直线 AB 的斜率是 k,弦 AB 的中点是 M（x m, y m）,就 k= y 1 y 2 4 2. x 1 x 2 y 1 y 2 y m从而 AB 的垂直平分线 l 的方程为 y y m y m x x m .2又点 P（x 0,0）在直线 l 上,所以 y m y m x 0 x m .2而 y m 0, 于是 x m x 0 2. 故点 P（x0,0）的全部 “ 相关弦 ”的中点的横坐标都是 x 0-2. 22由1 知,弦 AB 所在直线的方程是 y y m k x x m ,代入 y 4 x 中,2 2 2整理得 k x 2 k y m kx m 2 x y m kx m 0.（）2就 x 1、x 2 是方程（ ）的两个实根,且 x 1 x 2 y m kx2 m .k设点 P 的“ 相关弦 ” AB的弦长为 l,就l2x 1x 22y 1y 221k2x 1x 22y2 m=2x 0-3 时,l1k2x 1x 224x x