2022年高三数学二轮专题复习教案――三角函数.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载20XX 届高三数学二轮专题复习教案三角函数一、本章学问结构：二、重点学问回忆1、终边相同的角的表示方法：凡是与终边 相同的角,都可以表示成 k360 0+ 的形式,特例,终边在 x 轴上的角集合 | =k 180 0,kZ ,终边在 y 轴上的角集合 | =k 180 0+90 0,kZ ,终边在坐标轴上的角的集合 | =k90 0,kZ；在已知三角函数值的大小求角的大小时,通常先确定角的终边位置,然后再确定大小；懂得弧度的意义,并能正确进行弧度和角度的换算； 2角度制与弧度制的互化：弧度180 ,1180弧度, 1弧度18

2、05718弧长公式：lR；扇形面积公式：S1R21Rl；22、任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特别角的三角函数值、同角三角函数的关系式、诱导公式：（1）三角函数定义：角中边上任意一点P 为x,y,设|OP |r就：siny,cosx,tanyrrx（2）三角函数符号规律：一全正,二正弦,三正切,四余弦；（3）特别角的三角函数值名师归纳总结 0 643232第 1 页,共 12 页2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - sin 0 12学习必备3欢迎下载1 0 -1 0 222cos1 3210 -1 0 Z1 222tan 0 31 3不存在0

3、 不存在0 3（3）同角三角函数的基本关系：sin2xcos2x;1sinxtanxcosx（4）诱导公式（奇变偶不变,符号看象限）: sin sin ,cos cos ,tan tan sin sin ,cos cos ,tan tan sin sin ,cos cos ,tan tan sin 2 sin 2k sin ,cos 2 sin ,cos 2k cos ,tan2 tan k cos ,tan2k tan , sin2 cos ,cos2 sin sin2cos ,cos2 -sin 3、两角和与差的三角函数（1）和（差）角公式sinsincoscossin;tantantan

4、coscoscossinsin;1tantan（2）二倍角公式二倍角公式：sin22sincos；sin2；tan212tan2；cos2cos2sin22cos2112tan（3）常常使用的公式cos2、cos21cos2、sincos1sin 2升（降）幂公式：sin21222帮助角公式：asinbcosa22 bsin（由a b 详细的值确定） ；正切公式的变形：tantantan1tantan . 4、三角函数的图象与性质（一）列表综合三个三角函数ysinx ,ycosx,ytanx 的图象与性质,并挖掘：最值的情形；名师归纳总结 明白周期函数和最小正周期的意义会求yAsinx的周期,

5、或者经过简洁的恒等第 2 页,共 12 页变形可化为上述函数的三角函数的周期,明白加了肯定值后的周期情形；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载会从图象归纳对称轴和对称中心；ysinx 的对称轴是xk2kkZ,对称中心是k2,0kZ；ycosx 的对称轴是 xkkZ,对称中心是 k,0kZytanx 的对称中心是k,0Z2留意加了肯定值后的情形变化. 写单调区间留意0 . （二）明白正弦、余弦、正切函数的图象的画法,会用“ 五点法” 画正弦、余弦函数和函数yAsinx的简图,并能由图象写出解析式“ 五点法” 作图的列表方式；求解析式yAs

6、inx时处相的确定方法：代（最高、低）点法、公式1x. x的图象变换方法如下：（三）正弦型函数yAsin先平移后伸缩ysinx的图象向左 0 或向右 01平移个单位长度得ysinx的图象横坐标伸长 01 或缩短到原先的1 纵坐标不变得ysinx的图象纵坐标伸长 A1 或缩短 0A1为原先的A 倍 横坐标不变得yAsinx的图象向上k0或向下k0平移k个单位长度得yAsinxk 的图象先伸缩后平移ysinx的图象纵坐标伸长A1或缩短0A11得yAsinxk 的图象为原先的A 倍 横坐标不变 得yAsinx 的图象横坐标伸长01或缩短到原先的1 纵坐标不变0向左0或向右0得yAsinx 的图象平移

7、个单位yAsin x的图象向上k0或向下k得平移k个单位长度5、解三角形名师归纳总结 正、余弦定理正弦定理abcA ,2R（2 R是,ABC 外接圆直径）第 3 页,共 12 页sinAsinBsinC注：a:b:csinA:sinB:sinC；a2Rsinb2RsinBc2RsinC；C；abcabcsinAsinBsinCsinAsinBsin- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 余弦定理：a2b2c22 bccos学习必备欢迎下载Ab2c2a2等三个；A等三个；注：cos2 bc；几个公式 : 三角形面积公式：S ABC1ah1absinCppapb

8、pc,p1abc ；B222内切圆半径r=2SABC；外接圆直径2R=abAc sin C;sinAsinsin Asin BabcB在使用正弦定理时判定一解或二解的方法：ABC中,已知a ,b ,A时三角形解的个数的判定：其中 h=bsinA, A 为锐角时：ah 时,无解；a=h 时,一解（直角） ； hab 时,一解（锐角） ；三、考点剖析 考点一： 三角函数的概念【内容解读】三角函数的概念包括任意角的概念和弧度制,任意三角函数（正弦、余弦、正切）的定义,能进行弧度与角度的互化,会由角的终边所经过点的坐标求该角的三角函数 值；在学习中要正确区分象限角及它们的表示方法,终边相同角的表示方法

9、,由三角函数的 定义,确定终边在各个象限的三角函数的符号；在弧度制下,运算扇形的面积和弧长比在角 度制下运算更为便利、简洁；【命题规律】在高考中,主要考查象限角,终边相同的角,三角函数的定义,一般以选 择题和填空题为主；例 1、（2022 北京文） 如角 的终边经过点2P1,-2.,就 tan 2的值为. 解：tan22,tan212 tan41tan3点评 ：一个角的终边经过某一点,在平面直角坐标系中画出图形,用三角函数的定义来 求解,或者不画图形直接套用公式求解都可以；考点二： 同角三角函数的关系【内容解读】同角三角函数的关系有平方关系和商数关系,用同角三角函数定义反复证明强化记忆,在解题

10、时要留意sin22 cos1,这是一个隐含条件,在解题时要常常能想到它；利用同角的三角函数关系求解时,留意角所在象限,看是否需要分类争论；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【命题规律】在高考中,同角的三角函数的关系,一般以挑选题和填空题为主,结合坐标系分类争论是关键；例、（浙江理）如 cos2sin5, 就 tan= 2 22 cos1 ,（A）1（B）2 （C）1（D）22sin解：由 cos2sin5 可得：由 cos52sin,又由sin22 cos1 ,可得：sin2（52sin）21 可

11、得 sin255, cos52sin5 ,5所以, tansin2；cos点评 ：对于给出正弦与余弦的关系式的试题,要能想到隐含条件：与它联系成方程组,解方程组来求解；例 3、（2007 全国卷 1 理 1）是第四象限角,tan5,就 sin（）12A1 5B1C5 13D5513是第四象限角,同样要能解：由tan5,所以,有sin51,cos1212sin22 cos解得： sin5 13tansin cos点评 ：由正切值求正弦值或余弦值,用到同角三角函数公式：想到隐含条件：sin22 cos1 ；考点三：诱导公式【内容解读】诱导公式用角度和弧度制表示都成立,记忆方法可以概括为“ 奇变偶不

12、变,符号看象限”,“ 变” 与“ 不变” 是相对于对偶关系的函数而言的,sin 与 cos 对偶,“ 奇” 、“ 偶” 是对诱导公式中 k + 的整数 k 来讲的,象限指 k + 中,将 看作锐角时,2 2k + 所在象限,如将 cos 3 + 写成 cos（3 + ）,由于 3 是奇数,就“cos ” 变2 2 23 3 3为对偶函数符号“sin ” ,又 + 看作第四象限角,cos + 为“+” ,所以有 cos +2 2 2 =sin ；【命题规律】 诱导公式的考查, 一般是填空题或挑选题,也有些大题用到诱导公式；例 4、2022 陕西文 sin330等于（）有时会运算特别角的三角函数值

13、,名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - A3B1C1 2学习必备欢迎下载D3 222解： sin330sin36030 sin 30117 25；2点评 ：此题是对诱导公式和特别角三角函数值的考查,娴熟把握诱导公式即可；答案：7 25例 5、（2022 浙江文） 如sin23,就cos2 . 5解：由sin23可知,cos3；而cos22cos2123 5255点评 ：本小题主要考查诱导公式及二倍角公式的应用,难度不算大,属基础题,娴熟把握公式就能求解；考点四： 三角函数的图象和性质【内容解读】 懂得正、余弦函数在 0

14、 ,2 ,正切函数在 （-2最大值与最小值、周期性,图象与 x 轴的交点,会用五点法画 函数,2）的性质, 如单调性、yAsinx,xR的图象,并懂得它的性质：（）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的最大值与最小值间的距离 为其函数的半个周期；（） 函数图象与x 轴的交点是其对称中心,相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；（）函数取最值的点与相邻的与x 轴的交点间的距离为其函数的1个周期；4留意函数图象平移的规律,是先平移再伸缩,仍是先伸缩再平移；【命题规律】主要考查三角函数的周期性、单调性、有界性、图象的平移等,以挑选题、解答题为主,难度以简洁题、中档题为主；名师归纳总结

15、例 6、2022 天津文 设asin5,bcos2,ctan2,就（）第 6 页,共 12 页777A abcB acbC bcaD bac解：asin2,由于422,所以0cos2sin21tan2,选 D77777点评 ：把握正弦函数与余弦函数在0,4,4,2的大小的比较,画出它们的图象,从图象上能比较它们的大小,另外正余弦函数的值域：0,1,也要把握；例 7、2022 山东文、理 函数yln cosxx的图象是（）22y y y y O x O x O x O x 22222222ABCD解：yln cos 2x2是偶函数,可排除B、D,由 cosx 的值域可以确定.因此- - - -

16、- - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载此题应选 A. 点评 ：本小题主要考查复合函数的图像识别,充分把握偶函数的性质,余弦函数的图象及性质,另外,排除法,在复习时应引起重视,解挑选题时,常常采纳排除法；例 8、2022 天津文 把函数ysin x xR的图象上全部的点向左平行移动3个单位长度,再把所得图象上全部点的横坐标缩短到原先的1 2倍（纵坐标不变） ,得到的图象所表示的函数是（）x6,xRAysin 2x3,xRBysin2Cysin 2x3,xRDysin2x3,xR解：y=sin x向左平移3个单位ysinx3横坐标缩短到原先的1倍ysin2x

17、3,2应选（ C）；点评 ：三角函数图象的平移、伸缩变换是高考的热门试题之一,坚固变换的方法,依据 变换的步骤来求解即可；例 9、（浙江理）在同一平面直角坐标系中,函数ycosx3x0,22的图象和直线y1的交点个数是 （D）4 2（A）0 （B）1 （C）2 解：原函数可化为：ycosx 23x0,2=sinx x 20, 2 .作出原函数图像,2截取y1 2的交点个数是2 个.x0,2部分,其与直线点评 ：本小题主要考查三角函数图像的性质问题,学会五点法画图,取特别角的三角函数值画图；考点五： 三角恒等变换【内容解读】 经受用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法 的

18、作用；能从两角差的余弦公式,导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,明白它们的内在联系,公式之间的规律,能用上述的公式进行简洁的恒等 变换；留意三角恒等变换与其它学问的联系,如函数的周期性,三角函数与向量等内容；【命题规律】主要考查三角函数的化简、求值、恒等变换；题型主、客观题均有,近几年 常有一道解答题,难度不大,属中档题；名师归纳总结 例 10、（2022 惠州三模） 已知函数fx3sin2xsinxcosx第 7 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ I）求函数fx的最小正周期；学习必备欢迎下载x在x,

19、02的值域 . （II）求函数f解：fx3sin2xsinxcosx231cos2x1 2sin2xTx2121sin2x3cos2x3sin2x33（I）22222（II）0x232x43sin23332所以f x 的值域为：3,32点评 ：此题考查三角恒等变换,三角函数图象的性质,留意把握在给定范畴内,三角函数值域的求法；例 11、（2022 广东六校联考） 已知向量 a cos 3x,sin 3x,b cos x ,sin x ,且2 2 2 2x0,2（1）求 a b（2）设函数 f x a b + a b,求函数 f x 的最值及相应的 x 的值；解：（I）由已知条件：0 x, 得：

20、a b cos 3 xcos x,sin 3 xsin x2 2 2 2 23 x x 2 3 x x 2cos cos sin sin 2 2 c o s 2 x 2 s i n x2 2 2 2（2）f x 2 sin x cos 3 x cos x sin 3 x sin x 2 sin x cos 2 x2 2 2 22 s i n 2x 2 s i n x 1 2 s i n 1 2 3,由于：0 x,所以：0 sin x 12 2 21 3所以,只有当：x 时,f maxx ,x 0,或 x 1 时,f minx 12 2点评 ：此题是三角函数与向量结合的综合题,考查向量的学问,三

21、角恒等变换、函数图象等学问；例 12、（ 2022 北京文、理） 已知函数f x sin2x3sinxsinx20的最小正周期为 . （）求 的值；名师归纳总结 （）求函数fx在区间 0,2 3上的取值范畴 . 第 8 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（）学习必备欢迎下载f x 1cos2x3sin 2x22=3sinx1cos2x1222=sin2x61.2由于函数 fx的最小正周期为 ,且 0,所以2 2解得 =1. （）由（）得f x sin2x61. 2由于 0x2 3,.所以1 2x67 62所以1 2x61. 3 2,

22、即 fx的取值范畴为 0,3 22因此 0sin2x612点评： 娴熟把握三角函数的降幂,由 在训练时,要留意公式的推导过程；考点六： 解三角形2 倍角的余弦公式的三种形式可实现降幂或升幂,【内容解读】 把握正弦定理、 余弦定理,并能解决一些简洁的三角形度量问题,能够运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些与测量和几何运算有关的问题；解三角形时,要敏捷运用已知条件,依据正、余弦定理,列出方程,进而求解,最终仍要检验是否符合题意；【命题规律】 本节是高考必考内容,重点为正余弦定理及三角形面积公式,考题敏捷多样,近几年常常以解答题的形式来考查,如以解决实际问题为背景的试题,有肯定的难度；且例 1

23、3 、（2022 广东五校联考）在 ABC 中,角A、 B、C 所对的边分别为a、 b、c,且tanA1,cosB310210（1）求 tanC 的值 ; （2）如 ABC最长的边为1,求 b；解：（1）cosB3 100,B锐角 , 10sinB12 cosB10,tanBsinB1, 10cosB31tanCtanABtanAB1tanAtanB111123 1tanAtanB232 由1 知 C为钝角 , C 是最大角 , 最大边为 c=1, 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - tanC1,C135 ,sinC

24、学习必备, 欢迎下载22由正弦定理 :bBcC得bcsinB1105；10sinsinsinC252点评： 此题考查同角三角函数公式,两角和的正切,正弦定理等内容,综合考查了三角函数的学问；在做练习,训练时要留意加强学问间的联系；例 14 、2022 海南、宁夏文如图,ACD是等边三角形,ABC是等腰直角三角形,ACB=90 , BD 交 AC于 E,AB=2；（1）求 cosCBE的值；（2）求 AE；解：（）由于BCD9060150, CBACCD ,ECB所以CBE1530 62D所以cosCBEcos454（）在ABE中,AB2,由正弦定理AE2Asin90sin4515 15 故AE

25、2sin 30212262cos1564 点评 ：留意用三角恒等变换公式,由特别角45 度, 30 度,60 度,推导 15 度, 75 度的三角函数值,在用正弦定理时,留意角与它所对边的关系；例 15、2022 湖南理 在一个特定时段内,以点E为中心的 7 海里以内海疆被设为戒备水名师归纳总结 域.点 E正北 55 海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏第 10 页,共 12 页东 45 且与点 A 相距 402 海里的位置B,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45 +其中 sin=26, 090 且与点 A 相距 1013 海里的位置C. 26

26、（I）求该船的行驶速度（单位：海里/ 小时） ; （II）如该船不转变航行方向连续行驶.判定它是否会进入戒备水域,并说明理由. 解: （I）如图, AB=402 ,AC=10 13 ,BAC,sin26.26由于 090 ,所以 cos=12625 26.2626由余弦定理得BC=AB2AC22ABACcos10 5.所以船的行驶速度为10 5155（海里 /小时） . 23（II） 如下列图,以A 为原点建立平面直角坐标系,设点 B、C的坐标分别是B（x1,y2）, C（x1,y2）, BC与 x 轴的交点为D.由题设有, x1=y1=2AB=40, 2- - - - - - -精选学习资料

27、 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载x2=ACcosCAD10 13cos4530, y2=ACsinCAD10 13 sin4520.所以过点 B、C的直线 l 的斜率 k=20 10又点 E（0,-55）到直线 l 的距离 d=|02,直线 l 的方程为 y=2x-40. 5540 |3 57.14所以船会进入戒备水域. 点评 ：三角函数在实际问题中有许多的应用,随着课改的深化,联系实际,留意数学在 实际问题的应用将分是一个热点；四、方法总结与 20XX 年高考猜测 1.三角函数恒等变形的基本策略；（1）留意隐含条件的应用：1cos2xsin2x；2等；（2）角的配凑；

28、（ ） ,2（3）升幂与降幂；主要用2 倍角的余弦；（4）化弦（切）法,用正弦定理或余弦定理；（5）引入帮助角； asin bcos 2 ab2sin,这里帮助角所在象限由a、b 的符号确定,角的值由tanb 确定；a2.证明三角等式的思路和方法；（1）思路：利用三角公式进行化名,化角,转变运算结构,使等式两边化为同一形式；（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法；3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等；4.解答三角高考题的策略；（1）发觉差异：观看角、函数运算间的差异,即进

29、行所谓的“ 差异分析”；（2）查找联系：运用相关公式,找出差异之间的内在联系；（3）合理转化：挑选恰当的公式,促使差异的转化；5高考考点分析 近几年高考中,三角函数主要以挑选题和解答题的形式显现；主要考察内容按综合难度 分,我认为有以下几个层次：第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简洁运用,解决有关三角函数基本性质的问题；如判定符号、求值、求周期、判定奇偶性等；其次层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用；如帮助角公式、平方公式逆用、切弦互化等；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第三层次：充分利用三角函数作为一种特别函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有 界性等特别性质,解决较复杂的函数问题；如分段函数值,求复合函数值域等；五、复习建议 1、本节公式较多,但都是有规律的,仔细总结规律,记住公式是解答三角函数的关键；2、留意学问之间的横向联系,三角函数学问之间的联系,三角函数与其它学问的联系,如三角函数与向量等；3、留意解三角形中的应用题,应用题是数学的一个难点,平常应加强训练；名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页