2022年高三数学大一轮复习不等式选讲学案理新人教A版.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载学案 76 不等式选讲 一 肯定值不等式导学目标 ：1. 懂得肯定值的几何意义,并能利用含肯定值不等式的几何意义证明以下不 等式： 1| ab| | a| | b| ,2| ab| | ac| | cb|.2. 会利用肯定值的几何意义求解以下类型的不等式：| axb| c；| ax b| c； | xa| | xb| c. 自主梳理 1含 _的不等式叫做肯定值不等式2解含有肯定值的不等式的方法关键是去掉肯定值符号,基本方法有如下几种：1 分段争论：依据 | f x| fx,fxx,去掉肯定值符号fx,f,2 利用等价不等式

2、：| f x| g x . g x f x g x ；| f x| g x . f x g x 或 f x g x 3 两端同时平方：即运用移项法就,使不等式两边都变为非负数 ,再平方,从而去掉 肯定值符号3形如 | xa| | x b| c a b 与 | xa| | xb| c a b 的肯定值不等式的解 法主要有三种：1 运用肯定值的几何意义；2_ ；3 构造分段函数,结合函数图象求解41 定理：假如 a,b,c 是实数, 就| ac| | a b| | bc| ,当且仅当 _时,等号成立2 重要肯定值不等式| a| | b| | a b| | a| | b|. 使用时 特殊是求最值时

3、要留意等号成立的条件,即 | ab| | a| | b| . ab0；| ab| | a| | b| . ab0；| a| | b| | ab| . b ab 0；| a| | b| | ab| . b ab 0；注： | a| | b| | a b| . | a| | a b| | b| . | a b b| | a b| | b| . b ab 0.同理可得 | a| | b| | ab| . b ab 0.自我检测12022 江西 不等式x2x2 x的解集是 1 t6,ta 的取xA0,2 B , 0 C2 , D , 0 0 ,22022 天津 已知集合 A xR| x3| | x4|

4、 9 , B x R| x4t 0 , ,就集合AB _. 32022 潍坊模拟 已知不等式 | x 2| | x3| a 的解集不是空集,就实数值范畴是 Aa5 Da54如不等式 | x1| | x2| a 无实数解,就a 的取值范畴是 _名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载52022 福建 解不等式 |2 x1| x| 1. 探究点一 解肯定值不等式例 1 解以下不等式：117 x；3| x 1| |2 x1|2. 变式迁移 1 2022 江苏 解不等式 x|2 x1| m. 1 如不等式有

5、解；名师归纳总结 2 如不等式解集为R；第 2 页,共 11 页3 如不等式解集为. 分别求出实数m的取值范畴- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载变式迁移 2 设函数 f x| x1| | x2| ,如 f x a 对 x R恒成立, 求实数 a 的取值范畴探究点三 肯定值三角不等式定理的应用例 3“ | xA| 2,且 | yA| 2” 是“ | xy| ” x,y,A, R 的 A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件变式迁移 3 1 求函数 y| x2| | x2| 的最大值；2 求函数 y| x3

6、| | x 2| 的最小值转化与化归思想的应用例 10 分 设 aR,函数 f x ax 2 xa 1 x1 ,5 171 如| a| 1,求证： | f x| 4；2 求 a 的值,使函数 f x有最大值 8 . 5 5 5多角度审题 第1 问| f x| 4. 4f x 4,因此证明方法有两种,一是利用放5 5 5缩法直接证出 | f x| 4；二是证明4f x 4亦可第 2 问实质上是已知 f x 的最大17值为 8,求 a 的值由于 x 1,1 ,f x 是关于 x 的二次函数,那么就需判定对称轴对应的 x 值在不在区间 1,1 上【答题模板】名师归纳总结 - - - - - - -第

7、 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载2| x| 证明 1 方法一1 x1, | x| 1. 又 | a| 1,| f x| | a x 21 x| |a x 21| | x| | x 21| | x| 1 | x| | x| 125 45 4.3分 5 4；3 分 2如 | a| 1,就 | f x| 5 4.5分 方法二设 g a f x ax2xa x21 ax. 1 x1,当 x 1,即 x210 时, | f x| | g a| 15 4； 1 分 当 1x1 即 x 210 时, g a x 21 ax 是单调递减函数2 分 |

8、 a| 1, 1 a1, g amaxg 1 x2x1 x122g a ming1 x2x1 x125 4.4分 2| f x| | g a| 5 4.5 分 2 当 a0 时,f x x,当1 x1 时,f x 的最大值为a 0.6 分 又 f 1 a1a 1,f 1 a 1a 1. 故 f 1 和 f 1 均不是最大值,7 分 17f x 的最大值 8应在其对称轴上的顶点位置取得,a0命题等价于11 2a1,9 分 f 1 2a178解得a1 21a 2或a8f 1 1,不满意题设条件,17a 2. 即当 a 2 时,函数 f x 有最大值 8 .10 分 【突破思维障碍】由于 | a|

9、1,f x的表达式中有两项含有 a,要想利用条件 | a| 1,必需合并含 a 的项,从而找到解题思路；另外,由于 x 的最高次数为 2,而 a 的最高次数为 1,把 ax 2x a 看作关于 a 的函数更简洁,这两种方法中,对 a 的合并都是很关键的一步【易错点剖析】在第 1 问中的方法一中,假如不合并含 致出错或证不出；方法二也需要先合并含a 的项,就无法正确应用条件 | a| 1,从而导a 的项后,才简洁把 f x 看作 g a 名师归纳总结 解含有肯定值不等式时,去掉肯定值符号的方法主要有：公式法、 分段争论法、 平方法、第 4 页,共 11 页几何法等 这几种方法应用时各有利弊,在解

10、只含有一个肯定值的不等式时,用公式法较为简便； 但是如不等式含有多个肯定值时,就应采纳分段争论法；应用平方法时,要留意只有在不等式两边均为正的情形下才能运用因此, 在去肯定值符号时,用何种方- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载法需视详细情形而定 满分： 75 分 一、挑选题 每道题 5 分,共 25 分 1不等式 | x 2x|2 的解集为 A 1,2 B 1,1 C 2,1 D 2,2 22022 郑州期末 设| a|1 ,| b|2 B| ab| | ab|2 C| a b| | ab| 2 3不等式 | x 3| | x1|

11、aD不能比较大小 23a 对任意实数 x 恒成立,就实数 a 的取值范畴为 A , 1 4 , B , 2 5 ,C1,2 D , 1 2 , 4如不等式 |8 x9|2 的解集相等, 就实数 a、b 的值分别为 Aa 8,b 10 Ba 4,b 9 Ca 1,b9 Da 1,b2 5如关于 x 的不等式 | x1| | x3| a 22a1 在 R上的解集为 .,就实数 a 的取值 范畴是 Aa3 B 1a3 C 1a2 D1a3 二、填空题 每道题 4 分,共 12 分 6给出以下三个命题：如 | ab|1 ,就 | a| b| 1；如 a、bR,就| ab| 2| a| | ab| ；如

12、 | x|3 ,就 y 3. 其中全部正确命题的序号是 _72022 陕西 不等式 | x3| | x2| 3 的解集为 _82022 深圳模拟 如不等式 | x1| | x3| a4 a对任意的实数x 恒成立,就实数a 的取值范畴是 _ 三、解答题 共 38 分 912 分2022 福建 已知函数 f x | x a|. 1 如不等式 f x 3 的解集为 x| 1 x5 ,求实数 2 在1 的条件下, 如 f x f x5 m对一切实数a 的值；x 恒成立, 求实数 m的取值范畴名师归纳总结 1012 分2022 辽宁 设函数 f x | x1| | x a|. 第 5 页,共 11 页1

13、 如 a 1,解不等式f x 3；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载2 假如 . x R,f x 2,求 a 的取值范畴1114 分对于任意实数a a 0 和 b,不等式 | ab| | a b| |a|x1| | x2|恒成立,试求实数x 的取值范畴学案 76 不等式选讲 一 肯定值不等式自主梳理名师归纳总结 1肯定值符号3.2零点分区间争论法第 6 页,共 11 页41 ab bc 0自我检测1A x2x2 x,x2 x0, 0x2. x2 x| 2 x5解析| x3| | x4| 9,当 x3 时, x3 x4 9,即 4

14、x4 时, x3x49,即 4x5.综上所述, A x| 4 x5 又 x 4t 1 t6,t 0 , ,x24t 1 t6 2,当 t 1 2时取等号B x| x 2 , AB x| 2 x5 3D 由肯定值的几何意义知| x2| | x3| 5 , ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载因此要使 | x 2| | x3| a 有解集,需 a5.4a3解析 由肯定值的几何意义知 | x1| | x2| 的最小值为 3,而| x1| | x2| a 无解,知 a3.5解 当 x0 时,原不等式可化为2x 10,又 x0,x 不存在；

15、1当 0x 2时,原不等式可化为2x10,1 1又0 x 2, 0x 2；1当 x2时,原不等式可化为 2x1x1,解得 x2,1 1又 x2,2x2. 综上,原不等式的解集为 x|0 x1解 1 原不等式等价于不等式组,| x2| 3x3即,1 x5解得 1 x1 或 3x5,所以原不等式的解集为 x| 1 x1,或 37 x,可得 2x57x 或 2x52,或 x4. 原不等式的解集是 x| x2 3 由题意 x1 时, | x1| 0,x1 2时, 2x10 以下分类争论 名师归纳总结 所以当 x1 2时,原不等式等价于x1 2,得2 3x1 2. 解得1第 7 页,共 11 页x12x

16、12,当1 2x1 时,原不等式等价于1 2x1,得1 2 x0. x12x11 时,原不等式等价于x1,得 x 无解x12x12,由得原不等式的解集为 x| 2 3x0 变式迁移1 解原不等式可化为2x10,或2x10,xxxx2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x4 3或 2x1 2. 优秀学习资料欢迎下载所以原不等式的解集是 x| 2x4 3 例 2 解题导引 恒成立问题的解决方法1 f x m恒成立,须有 f x max m恒成立,须有 f x minm；3 不等式的解集为 R,即不等式恒成立；4 不等式的解集为 .,即不等式无解解 由于 |

17、x 2| | x3| 的几何意义为数轴上任意一点 P x 与两定点 A 2 、B 3距离的差即| x2| | x3| | PA| | PB|. 易知 | PA| | PB| max1,| PA| | PB| min 1. 即| x2| | x3| 1,1 1 如不等式有解,m只要比 | x2| | x 3| 的最大值小即可,即 m1. 2 如不等式的解集为 R,即不等式恒成立,m小于 | x2| | x3| 的最小值即可, 所以m a 恒成立,只须 1a. 即实数 a 的取值范畴为 , 1 例 3 解题导引 对肯定值三角不等式| a| | b| | a b| | a| | b|. 1 当 ab

18、0 时, | a b| | a| | b| ；当 ab0 时, | ab| | a| | b|. 2 该 定 理 可 以 推 广 为 | a b c| | a| | b| | c| , 也 可 强 化 为 | a| | b| | a b| | a| | b| ,它们常常用于含肯定值的不等式的推证3 利用“ ” 成立的条件可求函数的最值A | xy| | xAyA| ,由三角不等式定理| a| | b| | ab| | a| | b| 得： | xy| | xA| | yA| 2 2 . 反过来由 | x y| ,得不出 | xA| 2且| y A|2 时,“ ” 成立故函数 y| x2| |

19、x2| 的最大值为4. 2| x 3| | x2| | x3 x2| 5. 当2 x3 时,取“ ” 故 y| x3| | x 2| 的最小值为5. 课后练习区1A | x2x|2 , 2x2x0,xR. 1x2. x2x201x0 b0 时同理 1 当 1a b 时, | ab| | ab| ab ab 2a2,2 当 ba b时, | ab| | ab| a bab2b2,3 当 ba1 时,| ab| | a b| a bab2a2. 综上可知 | a b| | ab|b 2,2a 22b 22| a 2b 2| 4b 2,a 2b 2,| ab| | ab|2. 3A 由| x3| |

20、 x1| 的几何意义知,2| x3| | x 1| 4,4 ,即| x3| | x1| 的最大值是 4,要使 | x3| | x1| a3a 对任意实数 x 恒成立,只需 a 23a4 恒成立刻可 所以 a ,1 4 , 4B 由|8 x9|7 ,得 78x97,1即 168x 2, 2x4. 1由题意知 2,4为方程 ax 2bx20 的两根,b a 214,a 4. 2 1 b 9a4 .5B 由 | x1| | x3| 的几何意义知 | x1| | x3| 2,即| x 1| | x3| 的最小值为 2. 当 a 22a12 时满意题意,a 22a30,即 a1 a30 , 1a3. 6

21、解析 | a| | b| |ab|1 , | a|3 ,| y| 3,| y| 3,即 | x y| 3. 1 | x| 2 1故、都正确7 x| x1解析原不等式可化为： x| x1 x 3,或3x2,x3x23x3x23或x2,x3x23,x.或 1 x0 时, a4 a4,当且仅当a2 时,取等号,当 a0,明显符合题意9解方法一1 由 f x 3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料得| xa| 3,解得 a3 xa 3.3 分 欢迎下载又已知不等式f x 3 的解集为 x| 1 x5 ,所以a3 1,解得 a 2.6分 a35,2 当

22、 a2 时, f x | x2| ,设 g x f x f x5 ,于是 g x | x2| | x3| 2x1, x2.所以当 x5；当3 x2 时, g x 5；当 x2 时, g x5. x 恒成立,就m的取值范畴为 综上可得, g x 的最小值为5.10分 从而如 f x f x5 m,即 g x minm对一切实数, 5 12 分 方法二 1 同方法一 6 分 2 当 a2 时, f x | x2|. 设 g x f x f x5 | x2| | x3|. 由| x2| | x3| | x2 x3| 5 当且仅当 3 x2 时等号成立 得,g x 的最小值为 5.10 分 从而,如

23、f x f x5 m,即 g xminm对一切实数 x 恒成立,就 m的取值范畴为 , 5 12 分 10解 1 当 a 1 时, f x | x1| | x1|. 由 f x 3 得 | x1| | x1| 3.1x 1x3,即 2x3. 当 x 1 时,不等式化为x 1,3 不等式组 f x 的解集为,2 .2 分 当 1x1 时 , 不 等 式 化 为 1 x x 13 , 此 不 等 式 不 成 立 , 不 等 式 组11 时,不等式化为x1x13,即 2x3.不等式组x1,的解集为3 2,. .6 分 fx综上得, f x 3 的解集为,3 23 2,2 如 a1,f x 2| x1

24、| ,不满意题设条件2xa1,x a,如 a1,f x 1a,ax1,f x a1,1xa,11 分 第 10 页,共 11 页2xa,xa.f x 的最小值为a 1. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载所以 . xR. f x 2 的充要条件是 12 分 | a1| 2,从而 a 的取值范畴为 , 1 3 ,11解由题知, | x1| | x2| | ab| | ab|恒成立| a|故| x1| | x2| 不大于| a b| | ab| | a|的最小值2 分 | ab| | ab| | abab| 2| a| ,当且仅当 ab ab 0 时取等号,| ab| | ab| 的最小值等于 2.6 分 | a|x 的取值范畴即为不等式| x1| | x2| 2 的解名师归纳总结 解不等式得1 2x5 2.14分 第 11 页,共 11 页- - - - - - -