2022年高中数学必修第二章知识点+习题+答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章 直线与平面的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示1平面的画法： 水平放置的平面通常画成一个平行四边形,A D B C 锐角画成 450,且横边画成邻边的2 倍长如图2平面通常用希腊字母 、 、 等表示,如平面 、平面 等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC、平面 ABCD等；3 三个公理：1公理 1：假如一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内符号表示为AL A BL = L AB公理 1 作用：判

2、定直线是否在平面内2公理 2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面；A C B 符号表示为： A、B、C三点不共线 = 有且只有一个平面 ,使 A 、 B 、 C ；公理 2 作用：确定一个平面的依据；3公理 3：假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线； 符号表示为： P = =L,且 PL 公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据 P L 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：共面直线 异面直线：相交直线：同一平面内,有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内,没有公共点；不同在任何一个平面内,没有公共点；2 公理

3、4：平行于同一条直线的两条直线相互平行；符号表示为：设 a、b、c 是三条直线a b =a c c b 强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用；公理 4 作用：判定空间两条直线平行的依据；3 等角定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补4 留意点： a 与 b 所成的角的大小只由a、b 的相互位置来确定,与O 的挑选无关,为了简便,点O 一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角 0 , ；2第 1 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当两条

4、异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线相互垂直,记作 ab； 两条直线相互垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形； 运算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系：1直线在平面内 有很多个公共点 a 来表示2直线与平面相交 有且只有一个公共点3直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情形统称为直线在平面外,可用a a =A a2.2. 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平

5、行,就该直线与 此平面平行；简记为：线线平行,就线面平行；符号表示：a b = a a b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,就这两个平面 平行；符号表示：a b ab = P a b 2、判定两平面平行的方法有三种：1用定义；2判定定理；3垂直于同一条直线的两个平面平行；2.2.3 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理：一条直线与一个平面平行,就过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平 行；简记为：线面平行就线线平行；符号表示：第 2 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共

6、 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - a a a b = b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题；2、定理：假如两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行；符号表示： = a a b = b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定1、定义假如直线 L 与平面 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L 与平面 相互垂直,记作 L , 直线 L 叫做平面 的垂线,平面 叫做直线L 的垂面； 如图,直线与平面垂直时,它们唯独公共点P 叫做垂足； L p 2、判定定理： 一条直线与一个平面内的两条

7、相交直线都垂直,就该直线与此平面垂直；留意点： a 定理中的“ 两条相交直线” 这一条件不行无视；b 定理表达了“ 直线与平面垂直” 与“ 直线与直线垂直” 相互转化的数学思想；2.3.2 平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间始终线动身的两个半平面所组成的图形A 梭 l B 2、二面角的记法：二面角-l- 或-AB- 3、两个平面相互垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线,就这两个平面垂直；2.3.3 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行；2 性质定理：两个平面垂直,就一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直；第 3 页 共 1

8、2 页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章 点、直线、平面之间的位置关系A 组一、挑选题1设,为两个不同的平面,l ,m为两条不同的直线,且l,m.,有如下的两个命题：假设,就 l m；假设 l m,就那么 A是真命题,是假命题B是假命题,是真命题C都是真命题 D都是假命题2如图, ABCDA1B1C1D1 为正方体,下面结论错误的选项是 ABD 平面 CB1D1 BAC1BDCAC1平面 CB1D1 D异面直线AD与 CB1 角为 60 第 2 题 ,就 m3关于直线m,n 与平面,有以下四个命题：m,n且,

9、就 m n；m,n且n；m,n且,就 mn；m,n且,就 m n其中真命题的序号是 CDAB4给出以下四个命题：垂直于同始终线的两条直线相互平行垂直于同一平面的两个平面相互平行假设直线 l1,l2 与同一平面所成的角相等,就 l1,l2 相互平行假设直线 l 1,l 2 是异面直线,就与 l 1,l 2都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是 A1 B2 C3 D4 5以下命题中正确的个数是 假设直线 l 上有很多个点不在平面 内,就 l 假设直线 l 与平面 平行,就 l 与平面 内的任意一条直线都平行第 4 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12

10、页精选学习资料 - - - - - - - - - 假如两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条直线也与这个平面平行假设直线 l 与平面 平行,就 l 与平面 内的任意一条直线都没有公共点A0 个 B1 个 C2 个 D3 个6 两直线 l 1 与 l 2 异面,过 l 1 作平面与 l 2 平行,这样的平面 A不存在 B有唯独的一个 C有很多个 D只有两个7把正方形 ABCD沿对角线 AC折起,当以 A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线 BD和平面 ABC所成的角的大小为 C45D30A90B608以下说法中不正确的选项是 A空间中,一组对边平行且相等的四边形肯定是平行

11、四边形B同一平面的两条垂线肯定共面C过直线上一点可以作很多条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9给出以下四个命题：假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面假如两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线相互平行假如一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面相互垂直其中真命题的个数是 A4 B3 C2 D1 10异面直线 a,b 所成的角 60 ,直线 ac,就直线 b 与 c 所成的角的范畴为 A30 ,90 B60 ,

12、90 C30 ,60 D30 ,120 二、填空题11已知三棱锥 PABC的三条侧棱 PA,PB,PC两两相互垂直,且三个侧面的面积分别为 S1,S2,S3,就这个三棱锥的体积为12P是 ABC所在平面 外一点,过 P 作 PO平面,垂足是 O,连 PA,PB,PC第 5 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 假设 PAPBPC,就 O为 ABC的 心；2 PA PB,PAPC, PCPB,就 O是 ABC的 心；3 假设点 P 到三边 AB,BC,CA的距离相等,就 O是 ABC的 心；4 假设

13、PAPBPC, C 90o,就 O是 AB边的 点；5 假设 PAPBPC,ABAC,就点 O在 ABC的 线上13如图,在正三角形ABC中, D,E,F 分别为各边的中点, G,H,I ,J 分别为 AF,AD,BE,DE的中点,将ABCJ 沿 DE,EF, DF 折成三棱锥以后,GH与 IJ所成角的度数为 第 13 题14直线 l 与平面所成角为 30 , l A,直线 m,就 m与 l 所成角的取值范畴是15棱长为 1 的正四周体内有一点 P,由点 P 向各面引垂线,垂线段长度分别为 d1,d2,d3,d4,就 d1d2d3d4 的值为16直二面角l 的棱上有一点 A,在平面,内各有一条

14、射线 AB,AC与 l 成 45 , AB, AC,就 BAC三、解答题17在四周体ABCD中, ABC与 DBC都是边长为4 的正三角形1 求证： BCAD；2 假设点 D到平面 ABC的距离等于3,求二面角ABCD的正弦值；3 设二面角 ABCD的大小为,猜想 为何值时,四周体 ABCD的体积最大 不要求证明 第 17 题 第 6 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 18 如图,在长方体 ED, EC,EB和 DBABCDA1B1C1D1中, AB2,BB1BC1,E 为 D1C1的中点,连结1

15、求证：平面 EDB平面 EBC；2 求二面角 EDBC的正切值 . 第 18 题第 7 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 19* 如图,在底面是直角梯形的四棱锥ABCD中, AD BC, ABC90 ,SA面 ABCD,SAABBC, AD1 21 求四棱锥 SABCD的体积；2 求面 SCD与面 SBA所成的二面角的正切值 提示：延长BA, CD相交于点E,就直线SE 是所求二面角的棱. 第 19 题 20* 斜三棱柱的一个侧面的面积为10,这个侧面与它所对棱的距离等于6,求这个棱柱的体积 提示：

16、在AA1 上取一点P,过P 作棱柱的截面,使AA1 垂直于这个截面. 第 20 题 第 8 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章 点、直线、平面之间的位置关系参考答案一、挑选题1D 解析：命题有反例,如图中平面平面直线,n,l .,m.,且 l n,mn,就 ml ,明显平面不垂直平面 第 1 题 故是假命题；命题明显也是假命题,2D解析：异面直线 AD与 CB1角为 45 3D解析：在、的条件下,m, n 的位置关系不确定4D解析：利用特别图形正方体我们不难发觉均不正确,故挑选答案 D5B 解

17、析：学会用长方体模型分析问题,A1A 有很多点 在平面 ABCD外,但 AA1 与平面 ABCD相交, 不正确； A1B1平面 ABCD,明显 A1B1不平行于 BD,不正确；A1B1 AB,A1B1平面 ABCD,但 AB. 平面 ABCD内,不正确； l 与平面 平 行,就 l 与 无公共点, l 与平面 内的全部直线 都没有公共点,正确,应选 B 第 5 题 6B 解析：设平面 过 l 1,且 l 2,就 l 1上肯定点 P 与 l 2 确定一平面,与 的交线 l 3 l 2,且 l 3 过点 P. 又过点 P 与 l 2 平行的直线只有一条,即 l 3 有 唯独性,所以经过 l1 和

18、l3 的平面是唯独的,即过 l1 且平行于 l2 的平面是唯独的 . 7C 解析：当三棱锥 DABC体积最大时,平面 DACABC,取 AC的中点 O,就 DBO DBO45 是等腰直角三角形,即8D 解析： A一组对边平行就打算了共面；共面； C这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；了9B解析：由于正确,应选 BB同一平面的两条垂线相互平行,因而 D把书本的书脊垂直放在桌上就明确a10A 解析：异面直线a , b 所成的角为60 ,直线ca,过空间任一点P,作直线, c共面就b与 c成 30 角,否就 a, b b, c c. 假设 a, b第 9 页 共 12 页名师归纳总结 - - -

19、- - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - b 与 c 所成的角的范畴为 30 ,90 ,所以直线b 与 c 所成角的范畴为30 ,90 二、填空题111 2 S 1 S 2 S 3解析：设三条侧棱长为 a,b, c3就 1 abS1,1 bcS2,1 caS3 三式相乘：2 2 2 1 a 2 b 2 c 2S1S2S3,8 abc2 2 S 1 S 2 S 3三侧棱两两垂直, V1 abc1 1 2 S 1 S 2 S 33 2 312外,垂,内,中,BC边的垂直平分解析： 1 由三角形全等可证得 O 为 ABC 的外心；2 由直线和平面垂直的判

20、定定理可证得,O 为 ABC 的垂心；3 由直线和平面垂直的判定定理可证得,O 为 ABC 的内心；4 由三角形全等可证得,O 为 AB 边的中点；5 由1 知, O 在 BC 边的垂直平分线上,或说O 在 BAC 的平分线上1360 解析：将ABC沿 DE,EF,DF折成三棱锥以后,GH与 IJ 所成角的度数为60 1430 ,90 解析：直线 l 与平面 所成的 30 的角为 m与 l 所成角的最小值,当 m在 内适当旋转就可以得到 l m,即 m与 l 所成角的的最大值为 90 156 解析：作等积变换：1 3 d1d2d3d4 1 3h,而 h6 3 3 4 3 4 31660 或 1

21、20 解析：不妨固定 三、解答题AB,就 AC有两种可能17证明： 1 取 BC中点 O,连结 AO,DO ABC, BCD都是边长为 4 的正三角形,AOBC,DOBC,且 AO DOO,BC平面 AOD又 AD 平面 AOD,BCAD 第 17 题 第 10 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：2 由1 知 AOD为二面角 ABCD的平面角, 设 AOD,就过点 D作 DEAD,垂足为 EBC平面 ADO,且 BC 平面 ABC,平面 ADO平面 ABC又平面 ADO平面 ABCAO,DE平

22、面 ABC线段 DE的长为点 D到平面 ABC的距离,即 DE 3又 DO3 BD2 3 ,2在 Rt DEO中, sinDE 3 ,DO 2故二面角 ABCD的正弦值为 3 23 当90 时,四周体 ABCD的体积最大18证明： 1 在长方体 ABCDA1B1C1D1 中, AB2,BB1BC1,E为 D1C1 的中点DD1E 为等腰直角三角形,D1ED45 同理 C1EC45 DEC 90,即 DEEC在长方体 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 中, BC平面 D 1DCC 1,又 DE 平面 D 1DCC 1,BCDE又 EC BC C,DE平面 EBC平面 DEB过 DE,平面

23、DEB平面 EBC 2 解：如图,过 E在平面 D 1DCC 1 中作 EODC于O在长方体 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 中,面 ABCD面 D 1DCC 1,EO面 ABCD过 O在平面 DBC中作 OFDB于 F,连结EF, EFBDEFO为二面角EDBC的平面角利3,用平面几何学问可得OF1 , 5第 18 题 又 OE1,所以, tanEFO5 19* 解： 1 直角梯形 ABCD的面积是 M底面 1 2BCADAB111224四棱锥 SABCD的体积是 V1 3SAM底面1 133 41 42 如图,延长BA, CD相交于点 E,连结 SE,就 SE是所求二面角的棱AD

24、BC,BC2AD,EAABSA, SESB第 11 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - SA面 ABCD,得面 SEB面 EBC, EB是交线又 BCEB, BC面 SEB,故 SB是 SC在面 SEB 上的射影,CSSE, BSC是所求二面角的平面角SBSA 2AB22 ,BC1,BCSB, 第 19 题 tan BSCBC2,SB2即所求二面角的正切值为2 220* 解：如图, 设斜三棱柱ABC A1B1C1的侧面 BB1C1C的面积为 10,A1A 和面 BB1C1C的距离为 6,在 AA1上取一点 P 作截面 PQR,使 AA1截面 PQR,AA1 CC1,截面 PQR侧面 BB1C1C,过 P 作 POQR于 O,就 PO侧面 BB1C1C,且 PO6V 斜S PQRAA11 2QRPO AA1 第 20 题1 2POQRBB1 1 10 6 230第 12 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页