2022年高中数学必修三角函数知识点与题型总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 三角函数典型考题归类高一数学学问总结必修一一、集合一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：1 元素的确定性如：世界上最高的山2 元素的互异性如：由 HAPPY 的字母组成的集合 H,A,P,Y 3 元素的无序性 : 如： a,b,c 和a,c,b 是表示同一个集合3.集合的表示： 如：我校的篮球队员 ,太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 1 用拉丁字母表示集合： A=我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5 2 集合的表示方法：列举法与描述法；留意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N 正整数集 N*或

2、N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1）列举法： a,b,c 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法； x R| x-32 ,x| x-32 3）语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 4）Venn 图: 4、集合的分类：1 有限集含有有限个元素的集合例： x|x2=52 无限集含有无限个元素的集合3 空集不含任何元素的集合二、集合间的基本关系1.“ 包含” 关系子集名师归纳总结 留意：AB有两种可能（ 1）A 是 B 的一部分,；（ 2）A 与 B 是同一集合；第 1 页,共 33 页反之 : 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A

3、,记作 AB 或 BA 2“ 相等” 关系：A=B 55,且 55,就 5=5 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 实例：设A=x|x2-1=0 B=-1,1 “ 元素相同就两集合相等”即： 任何一个集合是它本身的子集；A A AB或真子集 :假如 AB,且 AB 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作BA 假如 A B, BC ,那么 AC 假如 AB 同时 B A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为规定 : 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集；有 n 个元素的集合,含有 2n个子集, 2n-1个真子集二、函数 1、

4、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法 5、二次函数根的问题一题多解 &指数函数 y=ax aa*ab=aa+ba0,a 、b 属于 Q aab=aaba0,a 、b 属于 Q aba=aa*baa0,a 、b 属于 Q 指数函数对称规律：1、函数 y=ax 与 y=a-x 关于 y 轴对称 2、函数 y=ax 与 y=-ax 关于 x 轴对称 3、函数 y=ax 与 y=-a-x 关于坐标原点对称 &对数函数 y=logax 名师归纳总结 假如a0,且a1,M0,N0,那么：第 2 页,共 33 页- - - -

5、 - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1logaMNlogaMlogaN；2logMnlogaMlogaN；aN3logaMnlogaMnR 留意：换底公式logablogcb（a0,且a1；c0,且c1；b0）logca幂函数 y=xaa 属于 R 1、幂函数定义：一般地,形如yxaR的函数称为幂函数,其中为常数2、幂函数性质归纳（1）全部的幂函数在（ 0,+）都有定义并且图象都过点（ 1,1）；（2）0时,幂函数的图象通过原点, 并且在区间 0 , 上是增函数 特殊地,当 1时,幂函数的图象下凸；当 0 1 时,幂函数的图象上凸；（3）0 时,幂函数的图象在区间 0

6、 , 上是减函数在第一象限内,当 x从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地靠近 y 轴正半轴,当 x 趋于 时,图象在 x 轴上方无限地靠近 x轴正半轴方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数 y f x x D ,把使 f x 0 成立的实数 x 叫做函数 y f x x D 的零点；2、函数零点的意义：函数 y f x 的零点就是方程 f x 0 实数根,亦即函数y f x 的图象与 x轴交点的横坐标；即：方程 f x 0 有实数根 函数 y f x 的图象与 x 轴有交点 函数 y f x 有零点3、函数零点的求法：1 （代数法）求方程fx 0的实数根；yf x的图象联系2

7、（几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数起来,并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数y2 axbxc ac0 x 轴有两个（1） ,方程ax2bx0有两不等实根,二次函数的图象与交点,二次函数有两个零点（2） ,方程ax2bxc0有两相等实根,二次函数的图象与x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - （3） ,方程ax2bxc0无实根,二次函数的图象与x轴无交点,二次函数无零点三、平面对量 向量：既有大小,又有方向的量数量：只有大小,没有方向的量有向

8、线段的三要素：起点、方向、长度零向量：长度为 0 的向量单位向量：长度等于 1个单位的向量相等向量：长度相等且 方向相同 的向量 &向量的运算 加法运算 ABBCAC,这种运算法就叫做向量加法的三角形法就；已知两个从同一点O 动身的两个向量OA、OB,以 OA、OB 为邻边作平行四边形OACB ,就以 O 为起点的对角线 OC 就是向量 OA、OB 的和,这种运算法就叫做向量加法的平行四边形法就；对于零向量和任意向量 a,有： 0aa0a；|ab|a|b|；向量的加法满意全部的加法运算定律；减法运算与 a 长度相等,方向相反的向量,叫做a 的相反向量, aa,零向量的相反向量仍旧是零向量；（1

9、）aaaa0（2）abab；数乘运算实数 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作a,|a|a|,当 0 时, a 的名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 方向和 a 的方向相同,当0 注：方程有两个不等的实根 b2-4ac0 抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h 正棱台侧面积 S=1/2c+ch 圆

10、台侧面积 S=1/2c+cl=piR+rl 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a 是圆心角的弧度数 r 0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=SL 注：其中 ,S是直截面面积,L 是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h sin30: 二分之一 sin45: 二分之根二 sin60: 二分之根三cos30: 二分之根三 cos45: 二分之根二 cos60: 二分之一tan30: 三分之

11、根三 cos45: 一 tan60: 根三等比数列：如 q1 就 S=n*a1 如 q1 推倒过程：S=a1+a1*q+a1*q2+ +a1*qn-1 等式两边同时乘 q S*q=a1*q+a1*q2+a1*q3+ +a1*q 1式 2式 有S=a1*1-qn/1-q 等差数列推导过程：S=a1+a1+d+a1+2d+ a1+n-1*d 把这个公式倒着写一遍S=a1+n-1*d +a1+n-2*d+a1+n-3*d+ a1 上两式相加有S2a1+n-1d*n/2=n*a1+n*n-1*d/2 1依据解析式争论函数性质例 1（天津理）已知函数f x 2cos sinxcos 1,xR上的最小值和

12、最大值第 15 页,共 33 页（）求函数f 的最小正周期；（）求函数f x 在区间 3,8 4名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【相关高考1】（湖南文）已知函数f x 12sin2x2sinxcosx888求：（ I）函数f x的最小正周期；（II ）函数f x 的单调增区间f x g x 的单调递增区间【相关高考2】（湖南理）已知函数f x 2 cosx,g x 11sin 2x 122（ I）设xx是函数yf x 图象的一条对称轴,求g x 0的值（ II）求函数h x 2依据函数性质确定函数解析式例 2（江西）如图,函数y2cos

13、xxR,a0 0,的图象与 y 轴相交于点 0,3,且该函数的最小正周2期为y（ 1）求和的值；3P（ 2）已知点A 0 2,点 P 是该函数图象上一点,点Q x 0,y 0是 PA 的中点,当OAxy03,x0,时,求0x 的值2sinx2cos2x,xR（其中0 ）,（ I）求函数f 2【相关高考1】（辽宁） 已知函数f x sinx662的值域；（ II）（文）如函数yf x 的图象与直线y1的两个相邻交点间的距离为,求函数yf x 的单调增区间2（理）如对任意的aR ,函数yf x ,xa,的图象与直线y1有且仅有两个不同的交点,试确定的值（不必证明）,并求函数yf ,xR的单调增区间

14、y,边BC2 3设内角 Bx ,周长为 y 【相关高考2】（全国）在ABC中,已知内角 A（ 1）求函数yf x 的解析式和定义域；（2）求函数f x 的最大值3三角函数求值例 3（四川）已知cos=1 ,cos-713 ,且 0 14 , 求 tan2 的值；（）求 2. a3,求f（a）；【相关高考1】（重庆文） 已知函数 fx=2cos2x4.（）求 fx的定义域； （）如角 a 在第一象限, 且cos5sinx2323,【相关高考2】重庆理 设 f x = 62 cosx3sin2x（1）求 f x 的最大值及最小正周期； （ 2）如锐角满意f求 tan4的值 . 54三角形中的函数求

15、值例 4（全国）设锐角三角形ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,a2 sinA 第 16 页,共 33 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （）求 B 的大小；（文）（）如a3 3,c5,求 b（理）（）求cosAsinC 的取值范畴【相关高考1】（天津文）在ABC中,已知AC2,BC3,cosA4AB 边的长为17 ,求BC5（）求 sin B 的值；（）求 sin 2B6的值【相关高考2】（福建）在ABC中,tanA1,tanB3（）求角 C 的大小；文（）如45边的长理（）如ABC最大边的边长为17,求最小边的边长5

16、三角与平面对量例 5（湖北理）已知ABC 的面积为 3 ,且满意 0AB AC 6 ,设 AB 和 AC 的夹角为（ I）求 的取值范畴；（ II ）求函数 f 2sin 2 3 cos2 的最大值与最小值4【相关高考 1】（陕西）设函数 f x a b,其中向量 a m , cos 2 x , b 1 sin 2 x 1, , x R,且函数 y=f x的图象经过点 , 2,4（）求实数 m 的值；（）求函数 fx的最小值及此时 x 的值的集合 . 【相关高考 2】（广东）已知 ABC三个顶点的直角坐标分别为 A3 ,4 、B0,0 、C c ,0 （文） 1 如 AB AC 0,求 c 的

17、值；（理）如A 为钝角,求 c 的取值范畴； 2 如 c 5,求 sin A 的值6 三角函数中的实际应用例 6（山东理）如图,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 1A 处时,乙船位于甲船的北偏西 105 方向的 1B 处,此时两船相距 20 海里, 当甲船航行 20 分钟到达 A 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120 方向的 B 2处,此时两船相距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里？【 相 关 高 考 】 （ 宁 夏 ） 如 图 , 测 量 河 对 岸 的 塔 高 AB 时 , 可以 选 与 塔 底 B 在 同 一 水 平 面 内的

18、两 个 侧 点 C 与 D 现 测 得BCD,BDC,CD,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为,求塔高 AB 北120A 2B 21051AB 1乙甲7三角函数与不等式例 7（湖北文）已知函数f x 2sin2x3cos2x,x ,4 2（ I）求f x 的最大值和最小值；第 17 页,共 33 页4名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ II ）如不等式f x m2在x ,4 2上恒成立,求实数 m的取值范畴8三角函数与极值例 8（安徽文）设函数fxcos2x4tsinxcosx4 t3t23 t4 ,xR22其中 t 1,将fx的最小值

19、记为g t . . 求 g t 的表达式； 争论 g t 在区间（ -1,1 ）内的单调性并求极值三角函数易错题解析例题 1已知角的终边上一点的坐标为（sin2,cos2）,就角的最小值为（）；,ABC 是（）233A、5 B 、2 C、5 D、116336例题 2A, B,C 是ABC 的三个内角,且tanA tanB是方程3x25x10的两个实数根,就A、钝角三角形 B 、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形例题 3已知方程x24ax3 a10（ a为大于 1 的常数）的两根为tan, tan,且、2,2,就tan2的值是 _. 例题 4函数 f xasinxb的最大值为3,最小值为

20、2,就 a_, b_；例题 5函数 fx=1sinxcosxx的值域为 _；sinxcos0对称,且在区间 0 ,例题 6如 2sin2sin23sin,就sin2sin2的取值范畴是例题 7已知,求 ycos6sin的最小值及最大值；例题 8求函数f x 12 tanxx的最小正周期；tan2例题 9求函数fxsin2x22cos4x3的值域例题 10已知函数fx sinx00, 是 R 上的偶函数,其图像关于点M34上是单调函数,求和的值；2022 三角函数集及三角形高考题1.（ 2022 年北京高考9）在ABC 中,如b5,B4,sinA1,就 aAbsin. sinAcosA2 cosB第 18 页,共 33 页32.（ 2022 年浙江高考5）.在ABC 中,角A B C 所对的边分a b c .如acosB ,就11C -1 D 1 A- 2B 2名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3.（ 2022 年全国卷 1 高考 7）设函数f x cosx0,将yf x 的图像向右平移3 个单位长度后,所得的图像与原图像重合,就 的最小值等于1（ A）3（ B）3（ C）6（D）9p4,y是角终边上一点,且sin2 5,5.（ 2022 年江西高考14）已知角的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴,如5就 y=_.