2022年高中数学必修知识点总结及经典例题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 必修 5 学问点总结1、正弦定理：在 C 中, a 、 b 、 c 分别为角、 C 的对边, R 为 C 的外接圆的半径,就有 a b c 2 Rsin sin sin C2、正弦定理的变形公式： a 2 R sin,b 2 R sin,c 2 R sin C ； sin a, sin b, sin C c； a b c sin :sin :sin C ；2 R 2 R 2 Ra b c a b csin sin sin C sin sin sin C（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量； 2、已知两角和一

2、边,求其余的量； ）对于已知两边和其中一边所对的角的题型要留意解的情形；（一解、两解、无解三中情形）a 如：在三角形ABC中,已知 a、b、A（A为锐角）求B；详细的做法是：数形结合思想画出图：法一：把a 扰着 C点旋转,看所得轨迹以AD有无交点：C 当无交点就B 无解、当有一个交点就B 有一解、b 当有两个交点就B 有两个解；bsinA 法二：是算出CD=bsinA, 看 a 的情形：A D 当 absinA ,就 B 无解当 bsinAb 时, B 有一解注：当 A 为钝角或是直角时以此类推既可；名师归纳总结 3、三角形面积公式：SC1bcsin1absinC1acsinc2C90；222

3、4、余弦定理：在C 中,有a2b22 c2bccos,b2a2c22 accos,c2a22 b2abcosC 5、余弦定理的推论：cosb2c2a2,cosa2c2b2,cosCa2b22bc2 ac2 ab 余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角,求其余的量；2、已知三边求角 2 c ,就6、如何判定三角形的外形：设 a 、b 、c是C 的角、C 的对边,就：如a2b2如a2b22 c ,就C90；如a2b22 c ,就C90A B 正余弦定理的综合应用：如下列图：隔河看两目标A、B, 第 1 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

4、但不能到达,在岸边选取相距 3 千米的 C、D两点,并测得 ACB=75 O, BCD=45 O, ADC=30 O, ADB=45 OA、B、 C、D在同一平面内 ,求两目标 A、B 之间的距离；此题解答过程略附：三角形的五个“ 心”；重心：三角形三条中线交点. . . 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点7、数列：依据肯定次序排列着的一列数8、数列的项：数列中的每一个数9、有穷数列：项数有限的数列10、无穷数列：项数无限的数列名师归纳总结 11、递增数列：从第2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+1an）

5、第 2 页,共 14 页12、递减数列：从第2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列（即：an+10,d0 时,满意 的项数 m使得 s m 取最a m 1 0大值 . 2 当 a 1 0 时,满意的项数 m使得 s m 取最小值；在解含肯定值的数列最值问题时 , 留意转化思想的应用；附： 数列求和的常用方法1. 公式法 : 适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列；2. 裂项相消法 : 适用于ac1其中 an 是各项不为0 的等差数列, c 为常数；部分无理数列、含阶乘na n的数列等；例题：已知数列a n 的通项为 an=11, 求这个数列的前n 项和 Sn. n n解：观看后发

6、觉：an=1 nn11n1 1s na 1a2an11111223n1n11 是等差数列,b n是各项不为0 的等比数列；3. 错位相减法 : 适用于anb n其中 a n例题：已知数列a n 的通项公式为a nnn 2,求这个数列的前n 项之和ns ；解：由题设得：s na 1a 2a 33 23a nn2n =1 1 22 22即名师归纳总结 ns =1 1 22 223 23n2n第 6 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 把式两边同乘 2 后得2 ns =2 1 22 233 24n2n1用 - ,即：ns =1 1 22 223

7、3 234n2nn12 ns =2 1 22 23 2n2得s n1 22 23 22nn2n1. n 21 2 n2n1n 项和公式的推导方法122 n12n2n11n2n12ns n12n124. 倒序相加法 : 类似于等差数列前5. 常用结论1）: 1+2+3+.+n = nn1 n2 2） 1+3+5+.+2n-1 =n2 3）3 123）nn311n n1 2224）2 122321nn1 2 n1 ab 511116nnnn1211n12n2npq6）1q1p11pqpqab0ab ；ab031、ab0ab ；d32、不等式的性质：abba ；ab bcac ； abacbc ；第

8、 7 页,共 14 页d ；ab c0acbc ,a bc0ac bc；ab cdacb0； acab bdn abnn,n1；名师归纳总结 ab0nanb n,n133、一元二次不等式：只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的不等式- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 34、含肯定值不等式、一元二次不等式的解法及延长 1. 整式不等式（高次不等式）的解法 穿根法 （零点分段法）求解不等式：a0xna 1xn1a2xn2an0 0 a00 x 的系数化“+” ； 为了统一解法：将不等式化为a0x-x1x-x2 x-xm00” , 就找“ 线” 在x

9、轴上方的区间；如不等式是“b 解的争论；00一元二次不等式ax2+bx+c0a0 解的争论 . 0二次函数y2 axbxc有两相异实根有两相等实根无实根（a0）的图象一元二次方程ax2bxc0x 1,x2x 1x 2x 1x2ba0的根2aax2bxc0xxx 1或xx 2xxb R a0 的解集2 axx 1xx2ax2bxc0a0 的解集对于 a0 或fx 0 ；fx 0 或fx0 的形式,0第 9 页,共 14 页gxgxgxgx （2）转化为整式不等式（组）fx 0fx gx;0fx0f g x x gx 0gxgx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -

10、 - 例题：求解不等式：11x解：略例题：求不等式xx11的解集；3. 含肯定值不等式的解法：基本形式：型如： |x| a a0 的不等式的解集为：x|axaa型如： |x| a a0 的不等式的解集为：x xa,或x变型：| ax b | c c 0 型的不等式的解集可以由 x | c ax b c 解得；其中 -cax+bc 等价于不等ax b c式组 在解 -cax+b0 的实根的分布常借助二次函数图像来分析：设 ax2+bx+c=0 的两根为、,fx=ax2+bx+c, 那么：0如两根都大于0,即0,0 ,就有0o x 0b对称轴 x=2a0如两根都小于0,即0,0 ,就有fb0y x

11、 2 a00o b对称轴 x=2ay 名师归纳总结 o 第 11 页,共 14 页 x - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如两根有一根小于0 一根大于 0,即0,就有f00y 如两根在两实数m,n 之间,即 mn ,0就有mbnmtn ,o m X=bn x 2af m 0f n 0如两个根在三个实数之间,即2 ay 就有f m 0o m t n x f t 0f n 0bX=2 am31m1常由根的分布情形来求解显现在a、b、c 位置上的参数例如：如方程2 x2m1 x2 m2 m30有两个正实数根,求m的取值范畴；04m124m22m30m1解：由

12、型得02m10m102 m2 m30m1, 或m35所以方程有两个正实数根时,m3；又如：方程x2xm210的一根大于1,另一根小于1,求 m的范畴；解：由于有两个不同的根, 所以由f002 14m21015m2212 11m2101m35、二元一次不等式：含有两个未知数,并且未知数的次数是1的不等式36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组名师归纳总结 37、二元一次不等式（组）的解集：满意二元一次不等式组的x和 y 的取值构成有序数对,x y ,全部这第 12 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 样的有序数对 ,x y

13、 构成的集合38、在平面直角坐标系中,已知直线xyC0,坐标平面内的点x 0,y 0yC0表 示直线如0 ,x 0y 0C0,就点x 0,y 0在直线xyC0的上方如0 ,x 0y 0C0,就点x 0,y 0在直线xyC0的下方39、在平面直角坐标系中,已知直线xyC0（一）由B确定：xyC0上 方的 区域 ；x 如0 , 就xyC0表 示直线xyC0下方的区域xyC0下 方的 区域 ；xyC0表 示直线 如0 , 就xyC0表 示直线xyC0上方的区域（二）由A的符号来确定：先把 x 的系数 A 化为正后,看不等号方向：如是“” 号,就xyC0所表示的区域为直线l: xyC0的右边部分；如是

14、“” 号,就所表示的区域为直线l: 的左边部分；xyC0xyC0（三）确定不等式组所表示区域的步骤：画线：画出不等式所对应的方程所表示的直线 定测：由上面（一） （二）来确定 求交：取出满意各个不等式所表示的区域的公共部分；例题：画出不等式组2x3y50所表示的平面区域；yyx502x5解：略 40、线性约束条件：由 x , y 的不等式（或方程）组成的不等式组,是 x, y 的线性约束条件目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x ,y的解析式线性目标函数：目标函数为 x, y 的一次解析式线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题名师归纳总结 可行解：满意线性约束

15、条件的解,x y 第 13 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 可行域：全部可行解组成的集合最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解41、设 a、 b 是两个正数,就 a b 称为正数 a 、 b 的算术平均数,ab 称为正数 a 、b的几何平均数242、均值不等式定理：如 a 0,b 0,就 a b 2 ab,即 a bab 22 243 、 常 用 的 基 本 不 等 式 ： a 2b 22 ab a b R； ab a ba b R； 22ab a b a 0, b 0；22 2 2 a b a b a b R2 244、极值定理：设 x、 y 都为正数,就有：2如 x y s （和为定值） ,就当 x y 时,积 xy 取得最大值 s 如 xy p（积为定值） ,就当 x y4时,和 x y 取得最小值 2 p 5 1例题：已知 x,求函数 f x 4 x 2 的最大值；4 4 x 5解：x 5, 4 x 5 04由原式可以化为：f x 4 x5521554 51x354 51354 51x31 34 x44 x4名师归纳总结 当54x51x,即52 4 21x1,或x3舍去）时取到“=” 号第 14 页,共 14 页42也就是说当x1时有f x max- - - - - - -