2022年高中数学运算能力的培养.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆一、引言懂得“ 运算求解才能”促进高三数学复习高考制度不改革,不废止高考,数学就总是处在高考的风口浪尖上,高考数学试题几乎离不开运算,早在1998 年任子朝先生在高考数学才能考查与题型设计一书中就指出：“ 运算量的大小以 40的考生在 120 分钟内能完成全卷的解答为标准”,而近几年江苏卷就连10的考生都达不到,正确求解填空题与解答题的压轴题,就更是千里挑一、万里挑一,运算才能的培育成为高考成败的决 定性因素,由于运算失误导致高考失败,转变一生命运成为部分考生永久的痛,今日我就高考数学复习中的运算求解才能培育抛砖引玉,

2、谈一些熟悉和体会,敬 请各位批判指正,本讲座主要参考任子朝先生主编的高考数学才能考查与题型 设计一书及川大附中周祝先老师的讲座对中学数学运算的熟悉,同时得到 省扬高中陈惠荣、卞国文、陆昌荣等老师的指导帮忙,在此一并感谢；二、当前运算才能培育的现状 1.中学课程改革弱化了运算才能要求；（十字相乘法等乘法公式、因式分解、代数恒等变形、韦达定理、比例、平 面几何 删减）2.运算器的广泛使用减弱了运算意识和技能；3.高中数学教学突出了学问模块弱化了运算教学、淡化了运算训练意识,没 有补上中学去掉而高考又必考的一些运算内容,江苏省高中数学教学要求和教学 参考书也很少提及运算要求,如苏教版教学参考书（必修

3、 2）第 2 章平面解析几何初步提及本章训练目标8,在学问和概念的形成过程中,培育同学的合情推理才能,数学沟通才能,探究才能和规律思维才能,唯独不强调运算求解才能；而 在选修 1-1、2-1 圆锥曲线一章也同样只字不提运算求解才能,导致部分老师在 实际教学中重视学问教学和解题思想、方法,轻视运算过程,自己钻研解题不 够,对解题过程中的运算算理、算法不甚明白,无法有效、高效地指导同学；4. 同学不明算理、机械套用运算公式,不顾运算目标,进行盲目的推理演 算,运算过程中缺乏挑选合理、简捷的运算途径的意识,运算过程繁琐,错误率名师归纳总结 高,对运算求解才能的内涵缺乏科学熟悉,误以为是“ 马虎”、“

4、 马虎” 造成运算错第 1 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆误,平常复习解题认为“ 只要方法对,做错了不要紧” ；主要问题有：概念模糊不清（新增内容尤甚）同学简洁因概念模糊而运算失误；公式、性质记忆不精确.不会娴熟进行顺向等价变形,逆向回代、 ；数据处理才能差（运算、排序、挑选、分类等）. 数学语言不过关,导致阅读习惯差,阅读才能差代数恒等变形常规方法不娴熟 . 识别、驾驭图表的才能差 . ,运算无从下手 . 算法意识差,算理不清,对运算问题缺乏检验、反思、总结的意识 . 审题不认真、表达才能差、书写不规范；

5、运算习惯差,急于求成,粗枝大叶,说一套做一套 致. ,心里想的和手上写的不一心理素养差,演绎了从“ 不喜爱” 到“ 可怕” 到“ 惧怕” 的运算悲剧5.高考对运算才能的考查力度不降反升,尽管有人坚持“ 多考想、少考算”,但“ 如何想”,很难有操作性的考查方法,况且江苏卷近几年的运算要求始终很高,由于考查运算求解才能是提高区分度的重要手段,且考查运算比较简洁操作；三、懂得运算求解才能 数学才能是一种个性心理,它对数学活动的进程方式起着直接的、稳固的调 节作用,数学才能是数学素养在数学活动中的外化,高考考查的数学才能主要包 括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等才能,其中运算求解 才

6、能的考查要求是：能够依据法就、公式进行运算及变形；能够依据问题的条件 与目标查找与设计合理简捷的运算途径；能够依据要求对数据进行估量和近似计 算；要正确懂得运算求解才能,必需弄清以下几个问题：1.高中阶段常见运算形式：数的四就运算（含复数运算）代数式的运算（法就、运算律）幂、指、对数运算 三角运算名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆向量运算 导数运算 极限运算（非高考内容）方程与不等式运算（强调算法）概率运算（10）矩阵运算（11）抽象运算2.运算的方法与技能要求：是否记住数学运算公式、法就

7、,并能精确地运用公式和法就进行运算 能否应用概念、性质、定理进行有关的运算 能否在进行各种运算时,结果精确、速度快速、过程合理 能否进行各种查表和使用运算器运算（高考不要求）3.运算的规律思维要求：是否合理使用公式、法就 运算方法和过程是否简捷 能否对自己的运算结果进行检查验算和判定 能否自我改正运算中的各类错误 能否简化运算过程,运用简缩思维进行“ 跳步” 运算（填空题）能否较娴熟地进行心算、速算、估算 是否会进行推理运算 4.运算求解才能的五个要素：.运算的精确 运算的精确是对运算才能的基本要求,在运算求解过程中使用的概念要精确 无误,使用的公式要精确无误,使用的法就要精确无误,运算的结果

8、精确无误；名师归纳总结 椭圆例 1. 20XX 年江苏高考试题第13 题；A 1yB 1MTx如图,在平面直角坐标系xOy 中,A A B B 为x2y21ab0的四个顶点,F 为其右焦a2b2B 2OFA 2第 3 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆点,直线A B 与直线B F 相交于点 T ,线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点,就该椭圆的离心率为 . 解：由已知条件可得：直线A B 的方程为xy1 21可ab直线B F 的方程为xy1 cb联立可得两直线交点中的坐标为:2ac,b ac a

9、cac就线段 OT 的中点 M 的坐标为 : acc,b ac,代入椭圆x2ya2aca2b2得:4 c 2ac 24ac 2,即得：e210e30,A B 和B F 的交解之得：e52 7,e0,1,e2 75. 在此题中,运算的目标是求离心率,运算程序是先求直线点,再由中点公式得到M 点的坐标,代入椭圆方程得到关于a b c 的方程化归为关于离心率 e的方程从而求解出e的值 .要求同学对运算过程中的每一步都必需准确无误才能得到正确的结果,难度大,属于难题；.运算的娴熟运算的娴熟是对考生思维灵敏性的考查,运算速度的快慢与定理、公式、结论把握的娴熟程度直接相关,娴熟把握各种公式、定理以及常用的

10、恒等变形,熟练把握一些常用的运算方法,记忆一些必要的补充公式和结论,对提高运算娴熟程度是有益的；例 2. 1996 年全国考试题：等差数列 a n 的前 m项和为 30,前 2m项的和为100,就它的前 3m项的和为 . 法一：由已知条件列出关于 1a 和 d 的方程组：m m 1 10 m 2ma 1 d 30 a 1 22,解之得：m,2 m 2 m 1 402 ma 1 d 100 d 22 m进而求得：S 3 m 3 ma 1 3 3 m 1d 3 m 10 m2 2 3 3 m 1 402 210 . 2 m 2 m假如同学对数式的恒等变形比较娴熟,就可用此法求出结果,但最一般的方法

11、不肯定是最优的方法；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆法二：易知等差数列连续相等项的和所组成的数列仍旧是等差数列,就运算量较小 .设前 m项的和为S ,中间 m 项的和为S ,后 m 项和为S . 就S 1S m30,S 2S 2mS m70,S 32 S 2S 1110,S 3 mS 1S 2S 3210. 本法娴熟运用等差数列的定义和性质,运算量变得很小；法三：从已知条件可知：结果与m的取值无关,70,令m1,得：S 1a 130,S 2a 1a 2100, 2 32 a 2a 170

12、, 3a 1a 2a 3210. 法三就是娴熟运用简缩思维进行运算的结果；娴熟把握常用的恒等变形,不仅可以提高运算的速度,仍可以得到不同的结论,如两角和与差的正切公式的各种变形,半角的余弦公式,余弦定理的各种变形；2 2 2 2 2 2如椭圆方程的一种变形：x2 y2 1 a 0, b 0 变形得 y2 1 x2 a2 x,再变形为a b b a a2 2y bx 2a 2 a.这是一个好玩的结论：椭圆上异于长轴端点的任一点与长轴端点的2连 线 斜 率 之 积 为 定 值 b2； 在 推 导 椭 圆 标 准 方 程 的 过 程 中 , 也 可 由a2 2 x c 2y 2 x c 2y 22

13、a 变形得： x c 2 y c .这一过程揭示了第肯定义| x a | ac与其次定义的等价性 .仍可以把分子有理化从而运算出构造出二元方程组名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆然后两式相加得最终两边平方,化简得（a 2-c2）x2+a 2y2=a2 a 2-c2 .运算的合理 运算的合理性是运算才能的核心,一般一个较复杂的运算,往往是由多个较 简洁的运算组合而成的,如何合理确定运算目标？设计运算程序,挑选运算途 径,并将各部分有机地联系在一起？这是运算合理性的主要标志；运算的合理性表现在

14、运算要符合算理,算理即理由、道理、依据,运算过 程中的每一步变形都要有依据、或依据概念,或依据运算法就和运算律,或依据 公式,可以说运算的每一步变形都是演绎法的表达,都必需步步有理,高考对算 理的考查是通过变形过程中的正误来表达的；运算的合理性表现在运算目标的确定,难度较大的试题,其运算目标通常 比较复杂,需要经过多步运算才能达到最终结果,有时运算的目标模糊不能确 定；运算的合理性仍表现在运算途径的挑选,合理挑选运算途径不仅是运算迅 速的需要,也是运算精确性的保证,是提高运算才能的关健,运算步骤越多、越 繁琐、越简洁出错；必需敏捷运用公式、法就和有关的运算律,把握同一个问题 的多种运算方法和途

15、径,并善于通过观看、分析、比较,作出合理的挑选；运算求解的程序即算法、步骤,复杂的运算必需依据肯定的算法实施,如解方程、解不等式就有比较明确规范的步骤,利用解析法解决几何问题也有清楚的步骤如建系、设点,把几何问题转化为代数问题、求解代数问题、回到几何问题验证等步骤名师归纳总结 例 . 已 在 等 比 数 列an中 , 已 知S 是 其 前n 项 的 和 ,S 53,a31, 就16411111的值为：a1a2a3a4a5第 6 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆分析：此题显现了三个条件：等比数列,S 5,a 3

16、,结论是求前 5 项的倒数和我们知道等比数列的各项倒数也成等比数列,因而问题化为求等比数列前35 项的和,通法是运用求和公式,难点是不知首项和公比,关键是如何将1与q用S 5,a表示,指导思想是运用a1整体思想,把和看做一个整体；即：11111111a 1q511aa 1q5q1 a1122S 5S 53a1q5a1a2a 3a4a511q4q2q41 qa321q此法常规简明,对于一般等比数列求和题具有普适性,比较以下方法：法二：设等比数列an的公比为q,就a 1a2a3a4a53a 3a 1a 21a 4a 5a3a 3a 3a 3a3111qq23a 3a 111 q1qq23q2q16

17、q241a11111a 31a 3a 2a4a5a 1a2a 3a4a 5a31 q2q111433a3qq24此法表面上看构思新奇,构造了一个对称式,其实和法一都采纳了共同的思想方法整 体思想,这一特法并未简化运算,在技巧上没有明显优势,相反下面方法更具技巧性,且思 维方式有了新变化法三,由an是等比数列,可知a5,a4,a 3,a2,a 1也是等比数列,且公比是原数列的倒数,再利用等比数列性质：a 1a5a 32可得：1S 5a 511a3211a321 1q55 qa 1q5a 321111111a 111113a 1a2a3a 4a 5qqq11111S 5342a 1a2a 3a4a

18、 5a 3216此法逆向转变数列次序,其公比与原数列各项的例数组成等比数列的公比一样,且求和形 式仅是首项不同,但由等比中项的结论马上转化,可为妙解,但同样运用转化与整体化思 想,困此,绝技仅是数学思想在解题过程中“ 灵光出现” 的定格,以上三法种把握法和另两名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆种方法中的一种即可；例 .盐城市 20XX 届高三其次次模拟试卷第20 题：nMN*）恒成设S 是各项均为非零实数的数列an的前 n 项和,给出如下两个命题上：命题 p ：an是等差数列；命题q ：等

19、式12a1an1n1knnb对任意 n （a 1a2a 3aa 1a1立,其中k,b是常数；,试求S n如 p 是 q 的充分条件,求k,b的值；对于中的k 与 b ,问 p 是否为 q 的必要条件,请说明理由；如 p 为真命题,对于给定的正整数n （n1）和正数M ,数列an满意条件2 a 1a21n的最大值；名师归纳总结 - - - - - - -解：（1 ）设a n的公差为 d ,就原等式可化为11111111knb,所以1nd1knb,da 1a 2a2a 3a na na a n1d a a na a n1即k1nb0对于 nN恒成立,所以k1,b0. 4 分（2 ）当k1, b0时

20、,假设p 是否为 q 的必要条件,即“ 如11311n1对于任a a 2a aa ana an意的 n nN恒成立,就a n为等差数列 ” .当n1时,1212明显成立 . 6 分a aa a当n2时,113an1nn1,由 - 得,a a 2a a1 aa a n1111n1n1,即na nn1a n1a . 1a a na 1a na n当n2时,a 1a 32 a ,即 21a 、a 、2a 成等差数列,3当n3时,n1a n1n2a na ,即2 a na n1a n1.所以a n为等差数列,即p 是否为 q 的必要条件 . 10 分3由2 a 12 a n1M ,可设a 1rcos

21、,a n1rsin,所以 rM . 设a n的公差为 d ,就a n1a 1ndrsinrcos,所以drsinnrcos,所以anrsinrsinnrcos,S na 1a nnn1 cos2n1 sinr2n122n12M2Mn21,2所以S 的最大值为2M2 n1 16 分23另解：设a n的公差为 d ,就dan1a 1nS nna 12a nna 1an1dna 12a n1an1a1n1a 12n1an1（ *）22第 8 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆设OAa 1,a n1OBn,1 n1由OAOBOA1OBcos2

22、nOAOB2n12n122Mn21得n1a 12nan11a2 1a2122n2所以S 的最大值为M12注：（*）式也可由柯西不等式得到最大值；.运算的简捷运算的简捷是指运算过程中所挑选的运算路径短,运算步骤少,运算时间省,运算的简捷是运算合理性的标志,是运算速度的要求、运算的简捷主要表达在概念的敏捷运用,公式的恰当挑选,数学思想方法的合理使用；名师归纳总结 例 .过双曲线x2y21a0 ,b0的左焦点F0,c作圆x2y2a2的切线,切点为E,a2b24延长FE交双曲线右支于点P ,如点,OE1OPOF,就双曲线的离心率为_ 2解：设Px 0, y 0,由OE1OPOF知 E 为 PF 中2E

23、x02c,y02E 在圆上,且OEPFy0c2y 021yx0aca2x 0x 0c2 c4ax 0cy 0a202第 9 页,共 17 页4c2224又点 P在双曲线上,就ca22a2ba4212 c4 c2a22得2 c2a22 c25 a20得e10或e2（舍）22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆另解：由OE1 2OPOF知 E 为 PF 中点,连接PF （F 为右焦点）就OE/ PF,又由OEPF可得PFPF由 OG=a 可得 2PF a,PF3 a3BCcosB . 由PF2PF2FF2即9a2a24c2,得e10

24、2例 6.20XX 年江苏高考试题第15 题；在ABC 中,已知AB AC3 BA BC. （1）求证： tanB3tanA ；（2）如cosC5,求 A的值 . 5解：（1）AB AC3BA BC,AB ACcosA3BA BCcosB ,即：ACcosA由正弦定理,得：ACBC sin A,sinBcosA3sinAcosB . sinB又0AB,cosA0, cosB0,sin cosB3sinA A,即： tanB3tanA . Bcos（2）cosC5, 0C,5sinC1522 5,tanC2. 55tanAB2,即： tanAB2tan A1 tantanB2AtanB由（1）得

25、：4 tanAA21 3tan2解之得：tanA1或tanA1. 3cosA0,tanA1A4. 留意：平常教学往往强调切化弦较多,但在什么条件下化弦为切强调不够,同学只会顺向思维,不会逆向为之,而善于逆向思维往往名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆是高考命题的基本做法；.运算的规范在运算求解过程中,通过认真审题,确定解题目标,查找解题方向,挑选运算途径,最终解决问题,但如何正确出现运算求解过程,就需要规范的表述；目前指导同学读评分标准是一条捷径；例 7.2022 江苏高考试题第 18 题

26、；求函数极值是：f x x 33 x,g x f x 2 x 33 x 2 x 1 2x 2,令 g x 0,解得：x 1,2 （ 2 ）.判定-2 是极值点得 4 . 当 x , 2 时,g x 0,g x 单调递减；当 x 2,1 时,g x 0,g x 单调递增；当 x 1, 时,g 0,g x 单调递增,所以 x 2 是 g x 的微小值点,x 1 不是极值点（ 6 ）. 很多同学被扣掉 4 .另外在三角运算中 sin sin cos cos sin4 5 3 12 165 13 5 13 65,要写 3步. 四、培育运算求解才能遵循运算求解才能进展的基本规律进展运算才能的大致过程是：

27、学问技能才能：相应要求分别是：懂知识、会技能、能变通；1.建构完善系统的学问体系精确懂得数学定义、概念、公式、定理,对于考试说明中的 A 级学问点要能直接使用,对于 B 级、C 级学问点要弄清概念的发生、概括、形成过程,主要公式、定理要把握其发觉、推导过程,仍要把握它们的各种等价变形,如余弦定理的推导过程与常见的恒等变形；名师归纳总结 a2b2c22 bccosA20sinCcosA . 第 11 页,共 17 页cosAb2c2a2a22 bc2b c2AB AC2b22 cos A b c2asin2Asin2Bsin2C2sinB- - - - - - -精选学习资料 - - - - -

28、 - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆2.娴熟把握有关运算的方法、步骤；仿照、操作阶段,运算步骤不宜跳动,每一步运算的算理必需明确、清楚,算法和运算过程的表述必需规范、条理,经 过肯定量的、有层次的、按部就班的训练后,逐步简化运算步骤,敏捷运用运算 法就、公式,在运算求解过程中,同学能够自觉地熟悉运算的目的性,精确判定 运算方向,合理挑选运算途径,规范表述运算过程和结果,从而由懂到会,由会 到对,由对到熟,由熟到变,由变到通,防止“ 会而不对,对而不全” 的运算错 误；3.在娴熟把握运算求解的算理、算法及运算技能基础上弄清其隐含的数学思 想方法,并以数学思想方法促进运算技能向才能过渡,一

29、方面,合理使用数学思 想方法可以简化运算,提高速度,其中数形结合可以借助图形直观简化运算量,等价转化可以将复杂的运算转化为简洁的运算,分类、整合可以化整为零,分解 难点或整体思维、优化策略；另一方面,数学思想方法是使基本运算技能内化为 思维才能的纽带,在具体运算求解过程中仍要留意充分运用通性通法,通性通法 是指解决具有相同性质数学问题所用的通用方法,是数学思想和数学方法在解决 数学问题中的集中表达,做数学就是要通过解决数学问题找到同类问题的一般方 法；抓实运算求解才能培育的各个环节 1.在定理、公式、法就及重要结论的发觉形成推导和应用过程中,老师要重 点示范、讲法算理算法,开头接触各种运算与定

30、理公式推导应用和典型例题时要 尽量具体规范板演,直接应用公式、定懂得题时,要多让不同层次同学在黑板上 板演或展现各种解法、暴露运算中存在的各种错误和问题,通过比较算理的合理 性,算法的简捷性,过程的规范性,促进同学快速形成各种运算技能；2.加强审题训练,发觉运算目标,启示、帮忙同学细致分析问题的条件、结 论以及条件与结论间的联系,特别是如何发觉问题中的隐含条件,及早确定运算 目标,并在运算求解过程准时调整运算方向；弄清条件是解题的前提,可分为一级条件（原始条件）、二级条件（变形条 件）、三级条件（隐含条件）例 8.2022 江苏试题第 10 题名师归纳总结 设f x 是 定 义 在R 上 且

31、周 期 为2 的 函 数 , 在 区 间 1,1 上 ,第 12 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆f x ax11x0其中a bR ,如f 12f 32,就a3 b 的值为 . bx20 1x1分析：此题的运算目标是求出 a 3 b 的值,只须求出 a , b 的值即可,题中有一显性条件 f 1f 3 可得关于 a, b 的一个方程,除非此方程中显现 a 3 b这一2 2整体,否就仍需再找条件,周期为2 ,区间 1,1如何结合,由周期性定义可得f 1f1,这样此题的求解过程化为解方程组f1f3. a1a22；

32、22解：由于函数f x 是周期为 2的函数,所以f 1f1f 1f1又f1f3f1,得1b21a1,2222322 1210. 2联立方程组解得：a2,b4.所以a3 b3.强化限时训练,提高运算速度；限时训练第一在选题,要依据不同层次的同学特点,挑选运算量适度的习 题,且兼顾几种解法,这样便于不同层次的同学在现有水平上有所提高,在评讲 时也可供应多种运算途径供同学挑选,要尽量削减利用填空题训练运算才能,因 为求解填空题无规范的运算过程,一些难题可以凭推测得到结论,不利于训练运 算求解才能,影响思维才能的提升；4.重视解题反思,提升运算才能；在解题教学中,要指导同学学会验算、削减失误,可采纳以

33、下方法：复查验算 草稿纸每算一题画上边框,便于检验；代值检验 选取边界值和特别值验算；多解对比 通法求解巧法对比；逆向运算 顺向解答逆向回代；观测估算 离心率的范畴、三角函数有界性；量纲检查 长度是一次函数、面积是二次函数、体积是三次函数；特值检验 例如直线斜率不存在时,等比数列公比为 1 时；条件检验 条件是否用足,特别是隐含条件是否发觉运用；名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆规律检验 运算复杂的问题通过规律推理可能轻松解决；图形检验 代数方法几何检验；解题后检验发觉问题必需不断纠错、

34、订正到位,订正可分为老师评讲前自 我订正、老师评讲中对比订正、老师评讲后二次订正,解题后更要总结反思此 题运用了哪些学问和方法,题中有哪些条件,特别是否存在隐含条件,此题的算 理是否清楚,算法是否简捷,运算过程是否跳步,仍有更好的解法吗？5.重视简化运算,提高求解才能；运算求解才能是其它数学才能的基础,简化运算是提高求解才能的重要环 节；熟记一些常见的运算结论和推理结果有利于查找解题思路,简化运算过 程,提高运算结果的精确性,如四周体的体积公式、勾股数、20 以上的自然数 的平方,圆的其次定义,圆锥曲线的半径公式,圆锥曲线的其次、第三定义,和 差化积与积化和差公式等；例如四市一模试题第题利用结

35、论 在解析几何解题运算中,教给同学简化运算的基本方法,如：恰当建 系、奇妙设元、回来定义、设而不求、数形结合、整体代换、数式化简、特别引 路、特点分析（定量、定性） 、直觉判定、合情推理 例 9.如图在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2 xy21 ab0的左焦点为 F ,a2b2右顶点为 A ,动点 M 为右准线上一点（异于右准线与x 轴的交点）,设线段 FM 交椭圆 C 于点 P ,已知椭圆 C 的离心率为2 3,点 M 的FyPAMx横坐标为9 2. O求椭圆 C 的标准方程；设直线PA 的斜率为k ,求k 1k 的取值范畴；分析：此题中求解斜率种方法：设M9, t ；21k,直线 MA的斜率为k k 的表达式是关键,用参数表示斜率通常有以下几或设 PF 的斜率为；名师归纳总结 - -