2022年高二数学空间向量与立体几何测试题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载高二数学 空间向量与立体几何测试题第一卷（挑选题,共 50 分）一、挑选题： （本大题共 10 个小题,每道题 5 分,共 50 分在每道题给出的四个选项中,只有哪一项符合题目要求的）1在以下命题中：如 a、b 共线,就 a、b 所在的直线平行；如 a、b 所在的直线是异面直线,就 a、b肯定不共面；如 a、b、c 三向量两两共面,就 a、b、c 三向量肯定也共面；已知三向量 a、b、 c,就 空 间 任 意 一 个 向 量 p 总 可 以 唯 一 表 示 为 p xa yb zc 其 中 正 确 命 题 的 个 数 为（

2、）A0 B.1 C. 2 D. 3 名师归纳总结 2在平行六面体ABCDA1B1C1D1 中,向量D A 、D C 、A 1C 1是（） 等A有相同起点的向量B等长向量C共面对量D不共面对量3如向量m 垂直向量a 和 b , 向量nab ,R 且、0 就（）Am /nBmnCm 不平行于 ,m 也不垂直于nD以上三种情形都可能4已知 a（ 2, 1,3）,b（ 1,4, 2）, c（ 7,5, ）,如 a、b、c 三向量共面,就实数于（）A. 62 7 B. 63 C. 64 D. 65777第 1 页,共 11 页5直三棱柱ABCA1B1C1 中,如 CAa , CBb ,CC 1c , 就

3、A B（）A. abc B. abc C. abc D. abc6已知 a +b + c 0 ,| a | 2,| b | 3,| c | 19 ,就向量 a 与 b 之间的夹角a,b为（）A30B45C60D以上都不对7如 a、b 均为非零向量,就a b|a b 是 a 与 b 共线的（）A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件8已知ABC的三个顶点为A（3,3,2）,B（4, 3,7）,C（0,5,1）,就 BC边上的中线长为（）A2 B3 C4 D 5 9已知a3i2jk,bij2k,就5a与3b 的数量积等于（）A 15 B 5 C 3 D 1

4、 10已知OA1,2,3,OB2,1,2,OP1,1,2,点 Q在直线 OP上运动,就当QA QB取得最小值时,点Q的坐标为（）A1 3 1 , 2 4 3B1 2 3 , ,2 3 4C4 4 8 , , 3 3 3D4 4 7 , ,3 3 3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载B；21 , 就 n 的第二卷（非挑选题,共100 分）二、填空题（本大题共6 小题,每道题5 分,共 30 分）11如 A m1,n1,3 ,B2 m, n, m2n ,Cm3, n3,9 三点共线,就m+n= 1212、如向量a1,2 ,b2, 1,2

5、,a b 夹角的余弦值为8,D9就等于 _. E13在空间四边形ABCD中, AC和 BD为对角线,CG为 ABC的重心, E 是 BD上一点, BE3ED,GMA以 AB, AC , AD 为基底,就GE 14已知 a,b,c是空间两两垂直且长度相等的基底,m=a+b,n=b-c, 就 m,n 的夹角为15. 在三角形ABC中, A1,-2,-1,B0,-3,1,C2,-2,1,如向量 n 与平面 ABC垂直,且 | m|=坐标为；16. 已知向量 a=+1,0,2 ,b=6,2-1,2,如 a|b,就与的值分别是 . 三、解答题 （本大题共 5小题 , 满分 70分）1712 分 已知空间

6、四边形 ABCD的对边 AB与 CD,AD与 BC都相互垂直,用向量证明： AC与 BD也相互垂直A D 18（ 14 分）如图,在棱长为2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,B C E 是 DC的中点,取如下列图的空间直角坐标系（ 1）写出 A、 B1、E、D1的坐标；（ 2）求 AB1与 D1E所成的角的余弦值19（ 14 分）如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA平面 ABCD, E、F 分别是 AB、PC的中点（ 1）求证： EF 平面 PAD；（ 2）求证： EFCD；名师归纳总结 （ 3）如PDA45 ,求 EF与平面 ABCD所成的角的大小第 2 页,共 11 页-

7、- - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 20（ 15 分）在正方体ABCDA 1B 1C1优秀学习资料欢迎下载BB ,的中点,D 1中,如图、分别是（1）求证：D1F平面 ADE；z名师归纳总结 （2） cosEF,CB 1A1D1B1C1y第 3 页,共 11 页xADECFB21（ 15 分）如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面 ABCD,PDDC,E 是 PC的中点,作EFPB交 PB于点 F. （ 1）证明；PA平面 EDB ；（ 2）证明； PB平面 EFD；（ 3）求二面角C-PB-D的大小- - - - - - -精选学习

8、资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载空间向量与立体几何 1 参考答案一、挑选题（本大题共10 小题,每道题5 分,共 50 分）0. 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案A C B D D C A B A C 二、填空题（本大题共4 小题,每道题6 分,共 24 分）110 12 2 131AB1AC3AD 14 60123415；（ 2,-4 , -1 ）,（-2 ,4,1） 16；1 1, . 5 2三、解答题（本大题共5 题,共 76 分）17证明：ABCD,ABCD0 . 又ABCBCA,CBCA CD0即CBCDCACD. ADBC ,ADB

9、CED1 0 2又ADCDCA, CDCA BC0即CDBCCABC. 由 +得：CACDCABC0即CABD0.ACBD. 18 解： 1 A2, 2, 0,B12, 0, 2,E0, 1, 0,D10, 2, 2 2 AB1 0, -2, 2 ,ED1 0, 1, 2 |AB1 | 22 ,|ED1 | 5 , AB1 42, 10 cos AB1 ,ED1 |AB1 ED1 22510P zAB1与 ED1所成的角的余弦值为AB1 | |ED1 |210FD y为 PC的中点1019证：如图,建立空间直角坐标系Axyz,设 AB 2a,BC2b,PA2c,就： A0, 0, 0 ,B2

10、a, 0, 0 ,C2 a, 2b, 0 ,D0, 2 b, 0,P0, 0, 2c E 为 AB的中点, F A E a, 0, 0,F a, b, c EC1 EF0, b, c ,AP 0, 0, 2c ,AD0, 2 b, 0 xB EF2 APAD EF与AP、 AD共面EF -2a, 0, 00, b, 又E平面 PAD EF 平面 PAD2 CD - 2a, 0, 0 CD c 0 CDEF名师归纳总结 3 如PDA45 ,就有 2b2c,即 b c, EF0, b, b ,90 AP 0, 0, 2b cosEF, AP 2b22b2EF,AP 452b2AP 平面 AC,AP

11、 是平面 AC的法向量 EF 与平面AC 所成的角为：EF,AP 45 第 4 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载20解：建立如下列图的直角坐标系,（1）不妨设正方体的棱长为 1,就 D（0,0, 0）,A（ 1,0,0）,D （0,0, 1）,zE（1,1,1 ）,F（0,1 ,0）,D1 C12 2就 D1 F（ 0,1 , 1）,D A（ 1,0,0）,A1 B12AE （ 0,1,1 ）,2 就 D1 F DA 0,DF EC yD1 F AE0,D1 F DA,D1 F AE . A BD1 F 平面 A

12、DE. x（）B （1,1,1）,C（0,1,0）,故 CB （ 1, 0,1）, EF （ 1,1 ,1 ）,2 2EF CB 1 101 3 ,EF 1 1 1 3,CB 1 2,2 2 4 4 23名师归纳总结 就 cosEF,CB1EFCB13223. EF,CB1150. y0.第 5 页,共 11 页2EFCB121解：如下列图建立空间直角坐标系,2DCa .zD为坐标原点 . 设1 证明：连结AC,AC交 BD于 G.连结 EG. P依题意得A a ,0,0,P0,0,a , E 0, a a , 2 2G是此正方形的中心,FE底面 ABCD是正方形,故点 G的坐标为 a a ,

13、2 2,0且PA ,0,a,EGa,0,a.D0Ca222Ga2PA 2 EG . 这说明 PAEG . A而 EG 平面 EDB且 PA 平面 EDB,PA 平面 EDB；x2 证明：依题意得 B a a , ,0, PB , , a ；又 DE 0, a a ,2 2PB DE , 由已知 EF PB ,且 EF DE E 所以 PBB,故PBDE22平面 EFD. 3 解：设点 F 的坐标为x 0,y 0,z 0,PFPB 就x 0,y 0,z 0a , ,a从而x0a y0a z01 . a 所以FEx 0,ay 0,az 0a,1 ,1 . 2222由条件 EFPB 知,PEPB0即

14、a21a21a20,.解得1；322点 F 的坐标为 aa a 2 a, ,3 3 32 22 a,且FEa a ,3 6,a,FDa,a,2 a6333PBD 的平面角 . PBFDa20, 即 PBFD ,故EFD 是二面角 C333PEFDa2a2a2a2且PEa2a2a26a,FDa2a24a26a9189693636699933a2cosEFD|FE FD|666a1.EFD3, 所以,二面角CPCD的大小为FE|FD2a.63- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载空间向量与立体几何 2 姓名 班级第一卷（挑选题,共 50

15、分）一、挑选题： （本大题共 10 个小题,每道题 5 分,共 50 分在每道题给出的四个选项中,只有哪一项符合题目要求的）名师归纳总结 - - - - - - -1已知 A、B、C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,以下条件中能确定点M与点 A、B、C肯定共面的是（）AOMOAOBOCBOM2OAOBOCCOMOA1OB1OCDOM1OA1OB1OC233332在空间直角坐标系中,已知点P x y z ,那么以下说法正确的是（）A 点 p 关于 x 轴对称的坐标是p 1x ,y zB 点 p 关于 yoz平面对称的坐标是p 2x ,y ,zC 点 p 关于 y 轴对称点的坐标是p 3x,y

16、 zD 点 p 关于原点对称点的坐标是p 4x ,y,z3已知向量a（ 1,1, 0）,b（ 1,0,2）,且 k a b 与 2 ab 相互垂直,就 k 的值是（）A.1 B.1 5 C.3 5 D.7 54已知空间四边形ABCD,M、G分别是 BC、CD的中点, 连结 AM、AG、MG,就 AB + 1 2BDBC 等于（）A. AG B. CG C. BC D.1 2BC5在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,M和 N分别为 A1B1 和 BB1的中点,那么直线AM与 CN所成角的余弦值是（）A2 B2 C 53 D 5105106已知向量a0,2,1,b 1,1, 2,就

17、 a 与 b 的夹角为（）A. 0 B. 45 C. 90 D. 1807已知点p1,3, 4,且该点在三个坐标平面yoz平面, zox 平面, xoy平面上的射影的坐标依次为x y z 1,x 2,y 2,z 2和x y 3,z 3,就（）A2 x 1y22 z 30 B.2 x 22 y 32 z 102第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - C. x22 y 1z20 D.优秀学习资料欢迎下载| A B, 就 点 的 坐 标 是以上结论都不对328 、 已 知 点A4,1,3,B2,-5,1,C为 线 段AB 上 一 点 , 且 3 | A C 名师归纳

18、总结 - - - - - - - A.7,1 5 ,2 2 B. , 3,2 38 C. 103, 1, 73 D.5,7 3 ,2 2229、设 A、 B、C、D是空间不共面的四点,且满意ABAC,0ABAD0 ,ACAD0就 BCD是（）A. 钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定10、已知正方形ABCD的边长为 4,E、F 分别是 AB、AD的中点, GC平面 ABCD,且 GC2,就点 B 到平面EFG的距离为（）A. 10 B. 10211C.3 D.1 511第二卷（非挑选题,共100 分）二、填空题（本大题共6 小题,每道题5 分,共 30 分）11、如a1,1,

19、0,b 1,0, 2,就ab同方向的单位向量是_. 12已知 S是 ABC所在平面外一点,D是 SC的中点,如 BD xABy ACzAS ,就 xyz13、已知a2,4,x,b2, ,2,如a6且ab,就 xy 的值为；14、已知向量a 和 c 不共线,向量b 0,且 a b cb c a ,dac,就d b 15已知三角形的顶点是A 1, 1,1,B 2,1, 1,C 1, 1, 2,这个三角形的面积是；16（如图）一个结晶体的外形为平行六面体,其中,以顶点A为端点的三条棱长都等于1,且它们彼此的夹角都是60 ,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为；三、解答题 （用向量方法求解以下各题

20、, 共 70 分）17、在棱长为a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中, E、 F 分别为 DD1 和 BB1 的中点（1）证明： AEC1F 是平行四边形；D1C 1（2）求 AE和 AF之间的夹角的余弦；（3）求四边形AEC1F 的面积A 1EB1DFCAB第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载2ay18如图,四边形ABCD是直角梯形,ABC BAD 90 ,zSA平面 ABCD, SAABBC1,AD1 2S（1）求 SC与平面 ASD所成的角余弦；BC（2）求平面 SAB和平面 SCD所成角的余弦ADx19、如图,在底面是菱形

21、的四棱锥P ABC中,ABC=60 0,PA=AC=a,PB=PD=, 点 E在 PD上,且 PE:ED=2:1. （I ）证明 PA平面 ABCD；P （II ）求以 AC为棱, EAC与 DAC为面的二面角的大小；（）在棱PC上是否存在一点F,使 BF/ 平面 AEC？证明你的结论. E 20如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是等腰直角三角形,A D B C ACB90 侧棱 AA1 2,D、E 分别是CC1与 A1B的中点,点E 在平面 ABD上的射影是ABD的重心 Gz（1）求 A1B与平面 ABD所成角的大小C1（2）求 A1到平面 ABD的距离A1DB1E C G名师归纳总

22、结 xABy第 8 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载空间向量与立体几何 2 参考答案一、挑选题（本大题共10 小题,每道题5 分,共 50 分）8 9 10 题号1 2 3 4 5 6 7 答案D D D A B C A C C B 二、填空题（本大题共4 小题,每道题6 分,共 24 分）11（ 0,1 5,2 5） 12 0 13 1,-3 149015；SABC1|AB| |AC| sinA101 16 ；AC 1622三、解答题（本大题共6 题,共 76 分）17（ 1）略（2）1 5（3）s6a2218

23、（ 1）6（2）63319（）证明由于底面ABCD是菱形, ABC=60 ,所以 AB=AD=AC= a,由 PA 2+AB 2=2a 2=PB 2在 PAB中,知 PAAB. 同理, PAAD,所以 PA平面 ABCD. （）解 作 EG/PA 交 AD于 G,由 PA平面 ABCD. 知 EG平面 ABCD.作 GHAC于 H,连结 EH,名师归纳总结 就 EH AC, EHG即为二面角的平面角 . PAD的直线为 x 轴,又 PE : ED=2 : 1,所以EG1a,AG2a,GHAGsin603a .333从而tanEG 3 , 30 .GH 3以 A 为坐标原点, 直线 AD、AP分

24、别为 y 轴、z 轴,过 A 点垂直平面（） 解法一建立空间直角坐标系如图. 由题设条件,相关各点的坐标分别为A00,0,B3a,1a0,C3a,1a,0.2222第 9 页,共 11 页D0 ,a ,0 ,P0 ,0 ,a,E0 ,2a,1a.33所以AE,02a ,1a,AC3a,1a,0.3322AP0 ,0 ,a ,PC3a,1a,a.22BP3a,1a,a.22设点 F是棱 PC上的点,PFPC3a,1a,a,其中0,1就22BFBPPF3a ,1a,a3a,1a,a2222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载AE得3a1

25、,1a 1,a 1.令BF1AC2223a13a1,11,221a11a12a2,即1142,22333AE.a 11a2.112.33解得1,11,23.即1时,BF1AC222222亦即, F 是 PC的中点时, BF 、 AC 、 AE 共面 . 又 BF平面 AEC,所以当 F 是棱 PC的中点时, BF/ 平面 AEC. 2014 分 解：（1）连结 BG,就 BG是 BE在面 ABD的射影,即 A1BG是 A1B与平面 ABD所成的角 . 如图所示建立坐标系,坐标原点为 O,设 CA=2a,就 A（2a,0,0）,B（0, 2a,0）,D（0, 0,1） A1（ 2a,0, 2）E

26、（a,a,1） G （2 a, 2 a, 1）. 3 3 3GE a , a , 2 , BD 0 , 2 a 1,3 3 32 2 2GE BD a 0,解得 a=1. 3 32 4 1BA 1 2 , 2 , 2 , BG , , ,3 3 3cos A 1 BG BA 1 BG 14 / 3 7 . | BA 1 | BG | 2 3 1 21 33A1B与平面 ABD所成角是 arccos 7. 3（2）由（ 1）有 A（2,0,0）,A1（2,0,2）,E（1, 1,1）, D（0,0,1）AE ED 1,1,1 ,1 1,）0,AA 1ED 0 0, , 2 ,1 ,1 0 0ED

27、 平面 AA1E,又 ED 平面 AED. 平面 AED平面 AA1E,又面 AED 面 AA1E=AE,点 A 在平面 AED的射影 K在 AE上. 名师归纳总结 设AKAE,就A 1KA 1AAK2,2 2. 第 10 页,共 11 页由A 1KAE0,即20,解得3A 1K2,2,4, 即A 1 K4416633399943440即点 A1 到平面 AED的距离为26. 3 2221. 解：（1）AP AB2,1, 4 1,2,1APAB 即APAB00AP AD 1,2,1 4, 2,0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载AB,AD,APAPAD 即PAADAD面ABCD（2）ABADAP48,又 cosAB AD3105V1 3ABADsinAB ADAP16推测：ABADAP 在几何上可表示以AB,AD,AP 为棱的公平六面体的体积（或以为棱的四棱柱的体积）名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页