2022年高中物理竞赛辅导__机械振动和机械波.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理 优秀资源机械振动和机械波 51 简谐振动511、简谐振动的动力学特点假如一个物体受到的回复力 F 与它偏离平稳位置的位移 x 大小成正比,方向相反；即满意：F回 K x 的关系,那么这个物体的运动就定义为简谐振动依据牛顿其次是律,物体的加速度aF 回K,因此作简谐振动的物体,其Pmm加速度也和它偏离平稳位置的位移大小成正比,方何相反；现有一劲度系数为 点,下端固定一个质量为k 的轻质弹簧,上端固定在 P m的物体,物体平稳时的位置记作 O 点；现把物体拉离 O 点后松手,使其上 x 下振动,如图 5-1-1 所示；当物体运动到离 O点

2、距离为 x 处时,有 图 5-1-1F 回 F mg k x 0 x mg式中 x 为物体处于平稳位置时,弹簧伸长的长度,且有kx0 mg,因此F回 kx说明物体所受回复力的大小与离开平稳位置的位移 x 成正比；因回复力指向平稳位置O,而位移 x 总是背离平稳位置, 所以回复力的方向与离开平稳位置的位移方向相反,竖直方向的弹簧振子也是简谐振动；留意：物体离开平稳位置的位移,并不就是弹簧伸长的长度；512、简谐振动的方程由于简谐振动是变加速运动,争论起来极A0x不便利,为此；可引入一个连续的匀速圆周运动,由于它在任始终径上的分运动为简谐振O动,以平稳位置 O为圆心, 以振幅 A 为半径作图 5-

3、1-2名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理 优秀资源圆,这圆就称为参考圆, 如图 5-1-2 ,设有一质点在参考圆上以角速度作匀速圆周运动,它在开头时与O 的连线跟x轴夹角为0,那么在时刻t,参考圆上的质点与O 的连线跟x的夹角就成为t0,它在x轴上的投影点的坐标（2）xAcost0t这就是简谐振动方程,式中 0 是 t=0 时的相位,称为初相：0 是 t 时刻的相位；参考圆上的质点的线速度为 A,其方向与参考圆相切,这个线速度在x轴上的投影是vAcos t0）（3）这也就是简谐振动的速度参考圆上的质点的加速

4、度为）A2,其方向指向圆心,它在x轴上的投影是aA2 cos t0（4）这也就是简谐振动的加速度 由公式（ 2）、（ 4）可得a2x所以由牛顿其次定律简谐振动的加速度为aFkxmm因此有2km（5）简谐振动的周期T 也就是参考圆上质点的运动周期,T22mwk513、简谐振动的判据物体的受力或运动,满意以下三条件之一者,其运动即为简谐运动：名师归纳总结 物体运动中所受回复力应满意Fkx；第 2 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理优秀资源aA2 ；0；物体的运动加速度满意物体的运动方程可以表示为xcost事实上,上述的三条并不是相互

5、独立的；其中条件是基本 的,由它可以导出另外两个条件和； 5.2 弹簧振子和单摆 简谐振动的教学中常常争论的是弹簧振子和单摆,下面分别 加以争论；521、弹簧振子弹簧在弹性范畴内胡克定律成立,弹簧的弹力km为一个线性回复力,因此弹簧振子的运动是简谐振动,振动周期kmT2m；图 5-2-1k（1）恒力对弹簧振子的作用比较一个在光滑水平面上振动和另一个竖直悬挂振动的弹簧振子,假如m和 k 都相同（如图5-2-1 ）,就它们的振动周期T是相同的,也就是说,一个振动方向上的恒力不会转变振动的周 期；假如在电梯中竖直悬挂一个弹簧振子,弹簧原长 0l,振子的质 量为 m=1.0kg,电梯静止时弹簧伸长 l

6、 =0.10m,从 t=0 时,开头电 梯以 g/2 的加速度加速下降 t s ,然后又以 g/2 加速减速下降直至 停止试画出弹簧的伸长 l 随时间 t 变化的图线；由于弹簧振子是相对电梯做简谐运动,而电梯是一个有加速 度的非惯性系, 因此要考虑弹簧振子所受到的惯性力 f；在匀速运 动中,惯性力是一个恒力,不会转变振子的振动周期,振动周期T2/2/km由于kmg/l,所以T2lg0 . 2s 因此在电梯向下加速或减速运动的过程中,振动的次数都为名师归纳总结 nt/T/.0 25 次第 3 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理 优

7、秀资源当电梯向下加速运动时,振子受到向上的惯性力 mg/2,在此力和重力 mg 的共同作用下,振子的平稳位置在1l 1 mg / k l / 22的地方,同样,当电梯向下减速运动时,振子的平稳位置在3l 2 mg / k 3 l / 22的地方；在电梯向下加速运动期间,振子正好完成 5 次全振动,因此两个阶段内振子的振幅都是 l / 2；弹簧的伸长随时间变化的规律如图 5-2-2 所示,读者可以摸索一下, 假如电梯其次阶段的匀减速运动不是从 5T 时刻而是 l从 4.5T 时刻开头的,那么 l 图 2 l线将是怎样的？（2）弹簧的组合 设有几 l个劲度系数分别为 1k 、k k 的轻弹簧串联起

8、来,组成一个新弹 OT 2 t簧组,当这个新弹簧组在 F 力作 图 5-2-2用下伸长时,各弹簧的伸长为 1x ,那么总伸长nx 各弹簧受的拉力也是 x iixi1F,所以有F/k i故xFin11ik依据劲度系数的定义,弹簧组的劲度系数名师归纳总结 kF/xm第 4 页,共 27 页即得1 /kin11ik假如上述几个弹簧并联在一起构成一个新的弹簧组,那么各弹簧的伸长是相同的；要使各弹簧都图 5-2-3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理 优秀资源伸长 x,需要的外力n nF k i x x k ii 1 i 1依据劲度系数的定义,弹簧组的劲度

9、系数nFk ikx i 1导出了弹簧串、并联的等效劲度系数后,在解题中要敏捷地应用, 如图 5-2-3 所示的一个振动装置,两根弹簧究竟是并联仍是串联？这里我们必需抓住弹簧串并联的本质特点：串联的本质特点是每根弹簧受力相同；并联的本质特点是每根弹簧形变相同；由此可见图 5-2-3 中两根弹簧是串联；力为当 m 向下偏离平稳位置kx 时,弹簧组伸长了2 x ,增加的弹F2xk2x1 k2k 1k 2m 受到的合外力（弹簧和动滑轮质量都忽视）F22xk1 k24 k 1k2x1 由平稳状态伸长1lk 1k 2k 1k2所以 m 的振动周期T2m k 11 kk24 k2m k 1k2=k 1k2再

10、看如图 5-2-4 所示的装置,当弹簧时,弹簧 2 由平稳位置伸长了（忽视杆的质量）2l,那么,由杆的平稳条件肯定有k 1l1ak2l2bb 2k2l2k1al211 悬点下降kb由于弹簧 2 的伸长,使弹簧a 1 1km名师归纳总结 图 5-2-4第 5 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理 优秀资源2x l 2 a k 1 a2 l 1b k 2 b因此物体 m 总的由平稳位置下降了x 1 l 1 x k 1 a 22 1 l 2k 2 b此时 m 所受的合外力Fk 1l1k 1k 1k 2b22x 122k2b2m 和m 的

11、两木2 ak2 b所以系统的振动周期T2mk 1ak 1kb2质量分别为（3）没有固定悬点的弹簧振子块 A 和 B,用一根劲度系数为k 的轻弹簧联接起来,放在光滑的水平桌面上 （图 5-2-5）；现在让两木块将弹簧压缩后由静止释放,求系统振动的周期；想象两端各用一个大小为 F、方向相反的力将弹簧压缩,假设某时刻 A、B 各偏离了原先的平稳位置 x 和 x ,由于系统受的合力始终是零,所以应当有m Ax Am Bx BA 、B 两物体受的力的大小FAF Bx Ax Bk由、两式可解得FAkmAm Bx AABm BFBkm Am Bx B图 5-2-5mB由此可见 A 、B 两物体都做简谐运动,

12、周期都是T2kmAm BBmAm此问题也可用另一种观点来说明：由于两物体质心处的弹簧名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理 优秀资源是不动的,所以可以将弹簧看成两段；假如弹簧总长为 0l,左边一m B m A m B m A0l k 0l段原长为 m A m B,劲度系数为 m B；右边一段原长为 m A m B,m A m B k劲度系数为 m B,这样处理所得结果与上述结果是相同的,有爱好的同学可以争论,假如将弹簧压缩之后,不是同时释放两个物体,而是先释放一个,再释放另一个,这样两个物体将做什么运动？系统的

13、质心做什么运动？522、单摆FO一个质量为m 的小球用一轻质细绳悬挂在天花板上的 O 点,小球摇摆至与竖直方向夹角,其受力情形如图 5-2-6 所示；其中回复力,即合力的切向分力为Bx mgAF回mgsin当 时,振体由于惯性, 来不及转变运动, 处于静止状态；名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理 优秀资源 5.4 振动的合成 如一个物体同时受到两个或几个周期性策动力的作用,在一 般情形下其中一个力的存在不会对另外一个力产生影响,这时物 体的振动就是它在各个策动力单独作用下产生的振动相互叠加后 的振动,由各

14、策动力单独产生的振动来求它们叠加后的振动,叫 振动的合成；同方向、同频率两简谐运动的合成 5. 4 1、当一个物体同时参加同方向的两个振动时,它在某一时刻的 位移应为同一时刻两个振动的位移的代数和；当两振动的频率相 同时,设此两振动的位移分别为x 1A 1cost1x 2A 2cost2就合振动的位移应为xx 1x 22A 2sintsin2A 1cost1A 2cost2A 1costcos1A 1sintsin1A 2costcosA 1cos1A 2cos2costA 1sin1A 2sin2sintAcoscostAsinsint2Acos t上式中AA 1cos1A 2cos22A

15、1sin1A 2sin22 A 12A 1A 2c o s 212 A 2tgA 1sin1A 2sin2A 1cos1A 2cos2依据以上结论,进一步可以看到如210 或2 k（k 为整数）,就cos211A2 A 12A 1A 22 A 2A 1A 2即合振动的振幅达到最大值,此时合振动的初位相与分振动名师归纳总结 的初位相同（或相差2k）第 15 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 和 A 2名师整理优秀资源如21或 k1 就cos211A2 A 12A 1A 22 A 2A 1A 2即合振动的振幅达到最小值；此时合振动的初位相取

16、决于1AA 的大小；即当A 1A 2时,合振动的初位相等于112 k；当A 1时,合振动的初位相等于2 或22 k；当A 2A 1时,就 A=0,物体不会发生振动；一般情形下,21可以任意值, 合振动的振幅A 的取值范围为A 1 A 2 A A 1 A 25. 4 2、同方向、频率相近的两振动的合成设物体同时参加两个不同频率的简谐运动,例如名师归纳总结 x 1A 1cos1 t第 16 页,共 27 页x 2A 2cos2t为简洁起见,我们已设210,这只要适当地选取时间零点,是可以做到的；假如再设A 1A 2A,就合振动xx 1x 2A cos1tcos2t2Acos122tcos122t由

17、于1和2 相差不多,就有（12）比（12）大许多,由此,上一合振动可以看成是振幅为xT 2Acos122t（随时间变化）；角频率ot为122的振动； 这种振动称为 “ 拍” ；拍的位移时间图像大致如图5-4-1 所图 5-4-1示；由图可见,振幅的变化周期T 为2Acos122t变化周期的一半,即- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - T1122212名师整理v2优秀资源221或拍频为v122v 1T12543、同频率相互垂直的两个简谐振动的合成当一物体同时参加相互垂直的振动时x A 1 cos t 1 y A 2 cos t 2 合振动的轨迹在直角坐标系中

18、的方程为2 2xA 1 2 A y2 2 2A xy12 cos 2 1 sin 2 2 1 （6-17）当 2 1 2 K 时,K 0 , ,1 2 2 2x2 y2 2 xy 0A 1 A 2 A 12y A 2x得 A 1A 2合成结果仍为简谐振动（沿斜率为 A 1 的直线作简谐振动）；当 2 1 = K 1 时,K 0 , 1 , 2 2 2x2 y2 1A 1 A 22 1 或 3可见,当 2 2 时,合振动均为椭圆振动,但两者旋转方向不同； 5.5 机械波551、机械波机械振动在介质中的传播形成机械波,波传递的是振动和能名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 27

19、 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理 优秀资源量,而介质本身并不迁移；自然界存在两种简洁的波：质点振动方向与波的传播方向垂 直时,称为横波；与传播方向一样时,叫纵波,具有切变弹性的 介质能传播横波；具有体变弹性的介质可传播纵波,固体液体中 可以同时有横波和纵波,而在气体中一般就只有纵波存在了；在波动中,波上相邻两个同相位质点间的距离,叫做一个波 长,也就是质点作一个全振动时,振动传播的距离；由于波上任 一个质点都在做受迫振动,因此它们的振动频率都与振源的振动频率相等,也就是波的频率,在波动中,波长 度 v之间满意、频率f与传播速v f T（1）留意：波速不同于振动质点

20、的运动速度,波速与传播介质的 密度及弹性性质有关；名师归纳总结 552、波动方程Oy图 5-5-1Pvx第 18 页,共 27 页如图 5-5-1 所示,一列横波以速度v沿x轴正方向传播,设波源O 点的振动方程为：yAcost0在 x轴上任意点 P 的振动比 O 点滞后时间t px,即当 O 点相位为t0时,Pv点的相位为tx0,由2f,vf,vfl,P 点振动方程为TyAcostx0vAcos 2ft02xAcos2t02xT- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理 优秀资源这就是波动方程,它可以描述平面简谐波的传播方向上任意点的振动规律；当波向x

21、轴负方向传播时, （2）式只需转变 v的正负号；由波动方程,可以（1）求某定点 x 处的运动规律将 x 1x 代入式（ 6-14）,得y 1 A cos 2 t 0 2 x 1 TA c o s 1 2 x 1其中 1 0为 1x 质点作简谐振动的初相位；（2）求两点 1x与 x 的相位差将 x 2x 代入（ 2）式,得两点 1x、x 的相位差1 2 2 x 2 x 1如 x 2 x 12 2 k k为整数）,就 2 k,就该两点同相,它x 2 x 1 2 k 1 k们的位移和速度都相同；如 2 为整数）,就 k 1 ,就该两点相位相反,它们的位移和速度大小相同,速度方向刚好相反；球面波的波动

22、方程与平面波相比,略有不同,对于球面波,其振幅随传播距离的增加而衰减,设离波源距离为1r 处的振幅为A ,离波源距离为2r 处的振幅为A ；就有A 1r 1A 2r2即振幅与传播的距离成反比球面简谐波的方程为A 2y r , t cos t r r式中 A 是与波源的距离为一个单位长度S 1 dS 2r1r2rP处的振幅；3、波的叠加和干涉图 5-5-2名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理 优秀资源当空间存在两个（或两个以上）振源发出的波时,空间任一 点的扰动是各个波在该点产生的扰动的矢量和,这叫做波的叠加 原理；当有频率相同、振动方向相同的两列波在空间叠加时,会出 现某些地方振动增强,某些地方振动减弱的现象,叫做波的干涉,这样的两列波叫相干波；设有两列相干波自振源 S 、S 发出,两振源的位相相同, 空间任一点 P 至 1S的距离为 1r,至 S 的距离