2022年高考平面解析几何专题突破.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第一部分考试要求学习必备欢迎下载直线和圆的方程1 懂得直线的倾斜角和斜率的概念,把握过两点的直线的斜率公式 依据条件娴熟地求出直线方程；.把握直线方程的点斜式、两点式、一般式,并能2 把握两条直线平行与垂直的条件 .两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够依据直线的方程判定两条直线的 位置关系；3 明白二元一次不等式表示平面区域；4 明白线性规划的意义 .并会简洁的应用；5 明白解析几何的基本思想,明白坐标法；.明白参数方程的概念；懂得圆的参数方程；6 把握圆的标准方程和一般方程圆锥曲线方程 1 把握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简洁几何性质,懂

2、得椭圆的参数方程；2 把握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简洁几何性质；3 把握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简洁几何性质；4 明白圆锥曲线的初步应用；（一）直线与圆学问要点直线的倾斜角与斜率k=tg （）,直线的倾斜角肯定存在,范畴是0, ）,但斜率不肯定存在；斜率的求法：依据直线方程 依据倾斜角 依据两点的坐标直线方程的几种形式,能依据条件,合理的写出直线的方程；能够依据方程,说出几何意义；两条直线的位置关系,能够说出平行和垂直的条件；会判定两条直线的位置关系；（斜率相等仍有可能重合）两条直线的交角：区分到角和夹角两个不同概念；点到直线的距离公式；会用一元不等式表示区域；能够解决简洁的线

3、性规划问题；曲线与方程的概念,会由几何条件列出曲线方程；2 2 2xa +y b =r2 2x +y +Dx+Ey+F=0留意表示圆的条件；圆的标准方程：圆的一般方程：圆的参数方程：把握圆的几何性质,会判定直线与圆、圆与圆的位置关系；会求圆的相交弦、切线问题；二圆锥曲线名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 1椭圆及其标准方程：双曲线及其标准方程：抛物线及其标准方程：4直线与圆锥曲线：留意点：（1）留意防止由于“零截距 ”和“ 无斜率 ” 造成丢解或,；（2）要学会变形使用两点间距离公式当已知直线的斜

4、率时,公式变形为当已知直线的倾斜角时,仍可以得到或（3）敏捷使用定比分点公式,可以简化运算；（4）会在任何条件下求出直线方程；（5）留意运用数形结合思想争论平面图形的性质解析几何中的一些常用结论：1.直线的倾斜角 的范畴是 , 2.直线的倾斜角与斜率的变化关系：当倾斜角是锐角是,斜率 k随着倾斜角 的增大而增大；当是钝角时, k与同增减；3.截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特别情形；4.两直线： L 1: A 1x+B 1y+C 1=0L 2: A 2x+B 2y+C 2=0L 1L2A 1A 2+B 1B2=0 5.两直线的到角公式：L 1到L 2的角为 ,tan =名师归纳总结 -

5、 - - - - - -第 2 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 夹角为 ,tan =|学习必备欢迎下载留意夹角和到角的区分6.点到直线的距离公式,两平行直线间距离的求法；7.有关对称的一些结论 点（,）关于轴、轴、原点、直线 y=x的对称点分别是（,）,（,） ,（,） ,（,）如何求点（,）关于直线 Ax+By+C=0 的对称点直线 Ax+By+C=0 关于轴、轴、原点、直线 又是什么？如何处理与光的入射与反射问题？y=x的对称的直线方程分别是什么,关于点（,）对称的直线方程曲线 fx,y=0 关于以下点和线对称的曲线方程为：（）点 a.b（）轴（）轴（）原

6、点（）直线 y=x（）直线 y=x（）直线 x点和圆的位置关系的判别转化为点到圆心的距离与半径的大小关系；2 2 2点Px0,y0,圆的方程： x a +y b =r . 2 2 2假如 x 0a +y0b r 点Px0,y0在圆外；2 2 2假如 x 0a +y0b r相离 d=r 相切 dr+R 两圆相离d r+R 两圆相外切|Rr|dr+R 两圆相交d |Rr| 两圆相内切d0,且m1即所求 m的取值范畴为 . （2）右准线 L 的方程为设点（）将 代入得又由题设知由得,无解 . （）将 代入得名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 36 页精选学习资料 - - - -

7、- - - - - 学习必备 欢迎下载由题设得由此解得 m 2 从而有于是得到直线 的方程为点评：对于（ 1）,解题的关键是挖掘并利用题设条件中隐藏的不等式对于（ 2）,以求解点 P坐标为方向,对已知条件 进行 “数形转化 ”,乃是解决此类已知线段长度之比问题的避繁就简的基本策略 . 二、 “ 圆锥曲线的有关范畴” 之运用我们在学习中已经看到,椭圆、双曲线和抛物线的“ 范畴 ”,是它们的第一几何性质；事实上,我们争论“范畴 ” ,一在于认知：认知圆锥曲线特性；二在于应用：“应用 ” 它们来解决有关问题；例、 以 为焦点的椭圆 与x轴交于 A,B两点（1）过 作垂直于长轴的弦 MN ,求 AMB

8、 的取值范畴；（2）椭圆上是否存在点 P,使 APB 120 ？如存在,求出椭圆离心率 e的取值范畴 . 解：（1）基于椭圆的对称性,不妨设定为右焦点, M 在第一象限,就易得,设A a,0,Ba,0,就 AMB 为直线 AM 到 BM 的角,又利用公式得 此时留意到椭圆离心率的范畴：0e0 ,y0 依据公式得整理得 又这里 代入得 此时留意到点 P在椭圆上,故得 由得由得 于是可知,当时,点 P存在且此时椭圆离心率的取值范畴为；当 时,点 P不存在 . 三、 “ 一元二次方程有二不等实根的充要条件” 之运用在直线与曲线相交问题中,直线与某圆锥曲线相交的大前提,往往由 “相关一元二次方程有二不

9、等实根” 来表达； 因此,对于有关一元二次方程的判别式 0,求某量的值时,它是去伪存真的鉴别依据,求某量的取值范畴时,它是导出该量的不等式的原始不等关系；例1、已知椭圆的一个顶点A0, 1,焦点在 x轴上,且右焦点到直线l的斜率取值范畴；的距离为 3,如斜率不为 0的直线l与椭圆交于不同两点M 、 N,使 M 、N关于过 A点的直线对称,求直线第 9 页,共 36 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（既设又解）设右焦点Fc,0,就由学习必备欢迎下载又b1,椭圆方程为设直线 l的方程为 ykxm将代入得由题意且点 P坐标为又依据题意知

10、 M 、N关于直线 AP对称,故有于是将代入得因此可知,所求k的取值范畴为. 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例2、已知椭圆 C的中心在原点上,焦点在学习必备欢迎下载且方向向量为的直线 l交椭圆 Cx轴上,一条经过点于A、B两点,交 x轴于点 M ,又（1）求直线 l 的方程；（2）求椭圆 C的长轴长的取值范畴 . 解：（1）由题意设椭圆C的方程为. 直线 l的方向向量为亦为直线 l 的方向向量直线 l的斜率因此,直线 l的方程为即（2）设将直线 l的方程与椭圆方程联立,消去 x得由题设且 又这里 M1,0 名

11、师归纳总结 由得第 11 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载进而由得由得代入得留意到由得故由得因而得 1a0确定的不等式,另一方面又利用了颇为隐藏的新设方程中的大小关系： ab0,双方联合推出 2a的范畴 .这里的不等关系的充分挖掘与应用,乃是解题成功的关键 . 四、 “ 点在圆锥曲线内部的充要条件”之运用所给问题中的某些点,注定要在相关圆锥曲线的内部；比如圆锥曲线的弦的内分点,又如圆锥曲线任意两弦的交点等；因此,点在圆锥曲线内部的充要条件,便成为寻求某量的取值范畴的基本依据之一；其中,常用的充要条件为：1、2、3、4、

12、例 、 已 知 椭 圆 的 焦 点 为, 过 点且 垂 直 于 x 轴 的 直 线 与 椭 圆 的 一 个 交 点 为 B ,又椭圆上不同两点A、 C满意条件：成等差数列 . （1）求椭圆的方程；（2）设弦 AC 的垂直平分线方程为 ykxm,求 m的取值范畴 . 解：（1）由题设得 2a 10,c 4 a 5,b3,c4 椭圆方程为（2）（设而不解）设就由题意得名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载故有点A 、C在椭圆 上两式相减得由及所设得 弦 AC 的垂直平分线方程为由题意得 留意到当 x4时

13、椭圆上点的纵坐标为,又点在椭圆内部故得 于是由、得所求的取值范畴为点评：此题解法充分表达了“以我为主 ”的思想；以我为主：以我所引入的参数诠释已知条件,以我所引入的参数构造弦的斜率,以我对这一解的认知打算解题策略 ,本解法以运用自设参数为主而将所给的 ykxm放在特别次要的位置,名师归纳总结 第 14 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载从而使我们始终沉迷在所熟识的探究中,待抬头看题设时,解题已经成功在望；想一想：这里为什么可以不用直线方程 ykxm与椭圆方程联立；五、 “ 圆锥曲线的定义或几何性质中隐藏的不等关系” 之

14、运用“相等 ”与“ 不等 ” 是辩证的统一,依据“相等 ”与“不等 ” 之间相互依存的辩证关系,椭圆与双曲线定义中显示了明朗的“相等”关系,那么必定包蕴这隐藏的“ 不等 ”关系；因此, 对于椭圆或双曲线的探求范畴问题,适时认知并挖掘出此题的不等关系,往往成为解题成败的关键环节；圆锥曲线的定义中隐含的不等关系主要有：1、2、例、 已知双曲线的左、右焦点分别为、,如在其左支上存在点P且点 P到左准线的距离与成等比数列,求离心率e的取值范畴 . 分析：寻求 e的范畴的一般途径为（1）认知或挖掘出此题的不等关系；（2）将（ 1）中的不等关系转化为关于a,b,c的不等式；. 是认（3）将（ 2）中的不等

15、式演化为关于e的不等式,进而通过解这一不等式导出所求范畴其中,有关双曲线上点P处的两条焦点半径的问题,定义中明朗的等量关系：知或求值的理论基础；而定义中隐藏的不等关系：解：（1）确立不等关系就是寻求参量范畴的重要依据；留意到这里 （2）不等关系演化之一设左支上的点 P到左准线的距离为 d,就由题意得（变形目的：利用其次定义,查找两焦半径与 e的联系）名师归纳总结 第 15 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载又点 P在双曲线左支上（点 P在左支这一条件的应用）由解得将代入得 （3）不等关系演化之二：由得故解得于是可知,所

16、求离心率 e的范畴为第三部分 直线与圆锥曲线问题的解题策略（争论性学习 之一）众所周知,直线与圆锥曲线的问题,是解析几何解答题的主要题型,是历年来高考备考的重点和高考命题的热点；多年备考的实践体会告知我们,欲更快地提高解决这类问题的实践才能,需要切实解决好以下两个问题：（1）条件或目标的等价转化；（2）对于交点坐标的适当处理；本文试从上述两个问题的争论切入,对直线与圆锥曲线问题的解题策略作初步探究,期望对高考备考有所帮忙；一、条件或目标的认知与转化解题的过程是一系列转化的过程；从某种意义上说,解题,就是要将所解的题转化为已经解过的题；然而,转化的基础是认知 认知已知、目标的本质和联系；有了足够

17、的认知基础,我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化；1、化生为熟化生为熟是解题的基本策略；在直线与圆锥曲线相交问题中,弦长问题及弦中点问题是两类基本问题；因此,由直线与圆锥曲线相交引出的线段间的关系问题,要留意适时向弦长或弦中点问题转化；一但转化成功,解题便得以驾轻就熟,胜券在握；（ 1）向弦中点问题转化例 1.已知双曲线=1（a0,b0）的离心率,过点 A（0,-b）和 B（a,0）的直线与原点间的距离为（1）求双曲线方程；名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）如直线学习必备欢迎下载m的取（km 0）与双

18、曲线交于不同两点C、D,且 C、D两点都在以 A为圆心的同一个圆上,求值范畴；略解：（1）所求双曲线方程为消去 y得：（过程略）（2）由由题意知,当时,设 中点就C、D均在以 A 为圆为的同一圆上又于是由得 由代入得,解得 m4于是综合、得所求m的范畴为（ 2）向弦长问题转化例 2设F是椭圆（1）求点 P的轨迹 C2的方程；的左焦点, M 是C1上任一点, P是线段 FM 上的点,且满意（2）过 F作直线 l与C1交于 A 、D两点,与 C2交点 B、 C两点,四点依 A、B、C、D次序排列,求使 成立的直线 l 的方程；名师归纳总结 分析：为防止由代换引发的复杂运算,查找替代的等价条件：设弦

19、AD 、BC的中点分别为第 17 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - O1、O2,就,故,据此得学习必备欢迎下载于是,所给问题便转化为弦长与弦中点问题；略解：椭圆 C1的中心 点P分 所成的比 =2；（1）点 P的轨迹 C2的方程为（过程略）（2）设直线 l 的方程为 代入椭圆 C1的方程得,故有故弦 AD 中点 O1坐标为代入椭圆 C2的方程得,又有故弦 BC中点 O2坐标为由、得 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 留意到学习必备欢迎下载于是将、代入并化简

20、得：由此解得；因此,所求直线 l的方程为2化繁为简解析几何是用代数运算的方法解决几何问题,因此,解答解析几何问题,人们都有这样的共同感受：解题方向或途径明朗,但目标难以靠近或达到；解题时,理论上合理的思路设计能否在实践中得以实现？既能想到,又能做到的关键,往往在于能否化繁为简；化繁为简的策略,除去“ 化生为熟 ”之外,重要的当数“ 借重投影 ” 或“ 避重就轻 ” ；（ 1）借助投影对于线段的定比分点以及其它复杂的线段间关系的问题,当题设条件的直接转化颇为纷杂时,不妨运用起初推导定比分点坐标公式的基本方法；将线段上有关各点向x轴（或 y轴或其它水平直线）作以投影,进而利用平行线分线段成比例定理

21、推理或转化,这一手法往往能够有效地化解难点,将人们引入熟识的解题情境；例 3如图,自点 M （1,-1）引直线 l交抛物线于P1 、P2两点,在线段 P1 、P2上取一点 Q,使、的倒数依次成等差数列,求点 Q的轨迹方程；解：设又设直线 l的方程为 代入 得由题意得名师归纳总结 或第 19 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 且学习必备欢迎下载又由题意得作P1、Q、P2在直线 y=-1上的投影 P1、Q 、P2（如图）又令直线 l的倾斜角为就由得同理,将上述三式代入得将代入得将代入得于是由、消去参数k得再留意到式,由得或因此,由、得所求点

22、Q的轨迹方程为（ 2）避重就轻事物都是一分为二的,复杂问题中有关事物之间你中有我、我中有你的局面,在给我们解题制造麻烦的同时,也会为我们侧面迂回、避重就轻带来机会；名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例 4已知 点P、 Q在椭圆 上,椭圆中心为 O,且, 求椭圆中心 O到弦 PQ的距离；分析：这里需要 P、Q点坐标,对此,假如直面直线 PQ方程和椭圆方程联立方程组,就不论是求解 P、Q坐标,仍是利用所设 P、Q坐标,都不免招致复杂局面；于是转而考虑侧面迂回,避重就轻,同时,留意到 P、Q两点的双重

23、属性,想到躲开正面求解,而由直线 OP（或 OQ）方程和椭圆方程联立方程组解出点 P（或点 Q）坐标；解（避重就轻,解而不设）：设就由得OP的方程（1）当点 P、Q不在坐标轴上时,设直线就直线 OQ的方程为将代入椭圆方程 易得将代入椭圆方程 易得由、得 名师归纳总结 又在中作于 H,于是由及式得第 21 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载=（2）当点 P、Q在坐标轴上时,同样可得,从而有；于是由（ 1）（2）知所求椭圆中心O到弦 PQ的距离为；直线与圆锥曲线相交的问题,适当处置交点坐标是解题繁简乃至解题成败的关键环节；

24、循着教材中关于曲线交点的定位,直线与圆锥曲线的交点坐标,第一是立足于“解” ,其次是帮助于“ 设”；于是,在宏观上环围着“解”与“ 设”的挑选,产生出两对解题思路：解而不设与设而不解；既设又解与不解； 在这里, “设”是举手之劳, 问题在于, 在一个详细问题中,“ 解”的火候如何把握？“不解 ”的时机如何捕获？以下连续作以探究；二、求解交点坐标的“ 度”的把握个体与整体是辩证的统一,循着“个体 ”与“整体 ” 的辩证关系,立足于“ 解”交点坐标,主要是以下两种挑选：1、半心半意,解至中途从熟识目标切入, 假如目标不是交点的横坐标或纵坐标的个体,而是关于交点横坐标（或纵坐标） 的和与积的对称式,

25、就一般挑选从直线方程与曲线方程的联立方程组入手,解至中途运用韦达定理,进而对目标进行转化、靠拢,直至利用上述结果解决问题；例 1.设斜率为 2的直线与抛物线相交于 A、B两点,以线段 AB 为边作矩形 ABCD ,使,求矩形 ABCD 的对角线交点 M 的轨迹方程；解：设直线 AB 的方程为；由由题意 由韦达定理得 名师归纳总结 第 22 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 再设 AB 中点为,就有学习必备欢迎下载,且,留意到四边形 ABCD 为矩形,故有由此得由（ 4）得 代入（ 5）得化简得 再留意到中,由（ 5）得因此由、得所求动点

26、 M 的轨迹方程为；点评：本例是 “立足于一条直线与曲线相交” 的问题；这里所说的“立足于一条直线与曲线相交” 的问题,是指这样两种题型：（1）问题由始终线与曲线相交引出；（2）问题中虽然显现多条直线与同一曲线相交,但这些直线的引出存在着明显的次序（或依靠关系）,整个问题构建在某一条直线与曲线相交的基础之上,对此,我们的求解仍倚仗于对交点坐标“既设又解 ”的策略；这里的“ 解” ,是解直线方程与曲线方程所联立的方程组,是“半心半意 ” 地求解,解至中途运用韦达定理,因此,此类问题的解题三部曲为（1）全心全意地设出交点坐标；（2）“半心半意 ”地求解上述方程组,解至中途运用韦达定理；（3）对题设

27、条件主体进行分析、转化,使之靠拢并应用（2、真心实意,求解究竟2）的结果导出既定目标；名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载当目标的转化结果不是交点横标（或纵标）的对称式,而是交点坐标的个体时,就需要真心实意地将求解交点坐标进行究竟；例 2.正方形 ABCD 的中心为 M （3,0）,一条顶点在原点,焦点在X 轴正半轴上的抛物线E,一条斜率为的直线 l,如A、B两点在抛物线 E上,而 C、D两点在直线 l上,求抛物线 E和直线 l的方程；解：由题意设抛物线E的方程为,直线 l 的方程为；又设正方形 ABCD 的（一条）对角线的斜率为 k,就由直线 AM 、BM 的方程分别为再设就由得又点 A 、B在抛物线 E上,故有于是由、解得；故得 A （4,2）、B（1,1）、名师归纳总结 因此可知,所求抛物线E的方程为；”,即问题中多条直线的显现没有确定的次序或依靠关系,所求直线 l方程为；点评：上述问题中显现“ 相对独立的多条直线与同一曲线相交第 24 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载“解 ”不是解直线方程与各条直线之间具有相对独立性；对此,我们仍旧运用对交点坐标“既设又解 ”的策略,不过,这里的曲线方程所联立的