2022年高等代数试卷及答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 一、填空题（共 10 题,每题 2 分,共 20 分）1只于自身合同的矩阵是3矩阵；2二次型fx x 1 2x x 1 27x 1的矩阵为 _；116x 23设 A 是实对称矩阵,就当实数t _, tEA 是正定矩阵；4正交变换在标准正交基下的矩阵为_ ；5标准正交基下的度量矩阵为 _ ；6线性变换可对角化的充要条件为_ ；7在P2 2中定义线性变换为：XabX,写出在基E 11,E 12,E21,E22下的cd矩阵 _ ；8 设V 、V2都 是 线 性 空 间 V 的 子 空 间 , 且V 1V , 如dimV 1dimV 2, 就_；9叙述

2、维数公式_ ；10向量在基1,2,n（1）与基1,2,n（2）下的坐标分别为x 、 y ,且从基（1）到基（ 2）的过渡矩阵为A,就 x 与 y 的关系为 _ ；二、判定题（共 10 题,每题 1 分,共 10 分）1 0V ；（）1线性变换在不同基下的矩阵是合同的；（）2设为 n 维线性空间 V 上的线性变换,就V3平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法,构成实名师归纳总结 数域上的线性空间； （）第 1 页,共 5 页4设V 与V 分别是齐次线性方程组x 1x2x n0与x 1x 2x 的解空间,就V 1V2Pn（）5nn2 x inx i2为正定二次型； （

3、）i1i16数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵；（）7把复数域 C 看作复数域上的线性空间,C ,令,就是线性变换； （8如是正交变换,那么的不变子空间的真正交补也是的不变子空间； （）9欧氏空间中不同基的度量矩阵是相像的；（）10如为P xnn1中的微分变换,就不行对角化； （）三、运算题（共 3 题,每题 10 分,共 30 分）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1221设线性变换在基1,2,3下的矩阵为A212,求的特点值与特点向量,并判定是否可对角化？2212 t 取什么值时,以下二次型是正定的？fx x 1 2,x 3x 1 2x 2 25

4、x 3 22 tx x 1 22x x 1 34x x 2 3Aa 11a 12a 13,求3设三维线性空间V 上的线性变换在基1,2,3下的矩阵为：a21a22a 23在基1,k2kP,且k0,3下的矩阵 B ；a 31a32a 33四、证明题（共 4 题,每题 10 分,共 40 分）1证明：A12On与Bi1i2Oin相像,其中i1,i2, n i 是 1,2,n 的一个排列；si12,3,s；2证明：和V是直和的充要条件为：V iIVj0ii1j1T ,使得：3设 A 是 n 级实对称矩阵,且2 AA ,证明：存在正交矩阵11OT1AT10O0名师归纳总结 4证明：12O与Bi 1i2

5、Oin合同,第 2 页,共 5 页A其中i i2, n i 是1,2,n, n 的一个排列；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案一 1零 23 99 3.充分大 4.正交矩阵 5. E 6.有 n 个线性无关的6特点向量a 0 b 00 a 0 b7. 8. V 1 V 2 9. c 0 d 00 c 0 ddim V 1 V 2 dim V 1 dim V 2 dim V 1 I V 210. X AY二 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 1 2 22三 1. 解：Af E A 2 1 2 5 1（3 分）2 2 1所

6、以 ,的 特 征 值 为 1 1 （ 二 重 ） 和 2 5 ； 把 1 1 代 入 方 程 组E A X 0 得：2 x 1 2 x 2 2 x 2 0 1 02 x 1 2 x 2 2 x 2 0 基础解系为 n 1 0 n 2 12 x 1 2 x 2 2 x 2 0 1 1因此,属于 1得两个线性无关得特点向量为：1 1 2 , 2 2 3因而属于 1的全部特点向量就是 k 1 1 k 2 2,1k 、k 取遍 P 中不全为零的全部数对（61分）,再用25 代入EA X0得：基础解系n 31,因此,属于5 的全部特点向1名师归纳总结 量是k3, k 是 P 中任意不等于零的数；（9 分

7、）4（10 分）第 3 页,共 5 页由于有三个线性无关的特点向量,所以可能对角化；1t15 t24 t0；得：t02. 解： f 的矩阵为：At12125Q10,1t1t20,At15- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当4 5t10时, f 是正定的；a 313（ 2.5 分）a 11 11a 21k23解：Qkk2ka 121a 22k2ka 323（2.5 分）唯 一L V使3a 1311a 23k2a 333（2.5 分）ka 11ka 12a 13在基下的矩阵为B1a21a221a23（2.5 分）kka 31ka 32a 33四 1. 证

8、： 任 意 n 维 向 量 空 间 V ,V 的 基1,2,n, 就112n12n2O（3 分）n即iiii1i1,2,ni1i1i2i2i2ininin在基i1,i2,in下的矩阵为 B （6 分）A 与 B 相像（ 1 分）名师归纳总结 2证：isV iIIj1iV ij00（3 分）第 4 页,共 5 页QVj是直和i1QV iI1VjV ii1（2 分）VjV iIVj1j ij1s1令s011s1sss1（ 3 分）0V sIVjj10,同理s1s2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - sV是直和；（2 分）20i13证：设是 A 的任一特点值0,使 A2 AA2Q2 AA,220Q01或0QA实对称矩阵1O正交矩阵 T ,使T1AT10O04证： A 、 B 对应的二次型分别为fx 1,x n,2 1 1 x22 x 2,y nn2 x nin2 x infx 1,x ng y 1,y ni12 y 1i22 y 2in2 y iny 1x i1g y 1,i12 x i 1令y 2x i2y nxin所以, A 与 B 合同；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页