北师大版九年级上册第一章《特殊平行四边形》典型例题.docx

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1、 第一章 特殊的平行四边形 1.菱形的性质和判断1.1第一课时知识点1：菱形的定义 例1 （2019年毕节）平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，现从以下四个关系 AB=BC；AC=BD；ACBD；ABBC中随机取出一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为 （）A BCD1分析：菱形的判定有如下方法：1.一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2.四边相等的四边形是菱形；3. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；4. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形.这里已知四边形的基础是平行四边形，因此解答时以1和3为判断主要依据.解：根据菱形的判定方法，知道，是成立的，所以推出平行四边形A

2、BCD是菱形的概率为：=，所以选B.点拨与提升： 遇到菱形的判定问题，要从两个大方面去分析求解，一是基础图形是平行四边形，二是基础图形是一般四边形，这是解题的基本思路；找到方法后，接下来判断条件的完备性便成为了解题的关键.针对性练习：1.（2019江西）如图1，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有 （）A3种B4种C5种D6种答案：.D解析：共有如下6种拼接方法：2. （2019浙江湖州）如图2，已知在ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；（2）若AFB=9

3、0，AB=6，求四边形BEFD的周长答案： 解：（1）证明：因为D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，所以DFBC，EFAB，所以DFBE，EFBD，所以四边形BEFD是平行四边形；（2）解：因为AFB=90，D是AB的中点，AB=6，所以DF=DB=DA=AB=3，所以四边形BEFD是菱形，所以四边形BEFD的周长为12其他教材试题：如图3，AEBF，AC平分BAD，交BF于C，BD平分ABC，交AE于D，连接CD.求证：四边形ABCD是菱形（人教版八年级数学下册P102页第6题） 答案：证明：因为AEBF，AC平分BAD，所以BAC=DAC=ACB,所以AB=BC，因为AEBF，BD平分

4、ABC，所以ABD=CBD=ADB,所以AB=AD，所以AD=BC，因为ADBC,所以四边形ABCD是平行四边形，因为AB=BC，所以四边形ABCD是菱形. 2.如图4，四边形ABCD是菱形，点M,N分别在AB,AD上，且BM=DN，MGAD,NFAB，点F,G分别在BC,CD上，MG与NF交于点E.求证：四边形AMEN，EFCG都是菱形.（人教版八年级数学下册P103页第10题）答案：因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AD,因为BM=DN，所以AM=AN，因为MEAN,NEAM，所以四边形AMEN是平行四边形，所以四边形AMEN是菱形.同理可证，四边形EFCG是菱形.知识点2：菱形的轴对称

5、性例2 （2019河北3分）如图5，菱形ABCD中，D=150，则1=（） A30 B25 C20 D15分析：菱形是以对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，利用轴对称的全等性解题是解题时常用数学思想解：根据菱形的对称性，知道B=D，DAC=1，所以1=15，所以选D.点拨与提升：菱形是一个轴对称图形，有两条对称轴，分别是对角线所在的直线.针对性练习：1. （2019天津改编）如图6，四边形ABCD为菱形，A、B两点的坐标分别是（2，0），（0，1），点C、D在坐标轴上，则C,D的坐标分别为 .答案：根据菱形的对称性，可得点C坐标为（-2,0），点D的坐标为（0，-1）.2. （2019年岳阳）

6、如图7，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE=DF，求证：1=2答案：证明：根据题意，得点A,C关于直线BD对称，点E,F关于直线BD对称，因此DAF和DEC关于直线BD对称，所以DAFDEC，所以1=2其他教材试题：如图8，将菱形ABCD沿AC方向平移到，交CD于E，交BC于F.判断四边形是不是菱形.请说明理由.（新浙教版八年级数学下册P124页课内练习1）解：四边形是菱形.理由如下：因为菱形是关于对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，且两个图形是平移得到，所以点E,F关于直线对称，所以,易证，所以，所以四边形是菱形.知识点3：菱形的特殊性质例3（2019贵阳）如图9，菱形

7、ABCD的周长是4cm，ABC60，那么这个菱形的对角线AC的长是（） A1cmB2 cmC3cmD4cm分析：根据菱形四边相等求得边长，连接BD，根据对角线互相垂直，确定ABO=30，从而确定AO，根据AC=2AO即可得解.解：因为菱形ABCD的周长是4cm，所以AB=BC=1cm连接BD，则ACBD，所以ABO=30，所以AB=2AO，因为AC=2AO，所以AC=AB=1，所以选A针对性练习：1. （2019铜仁）如图10，四边形ABCD为菱形，AB=2，DAB=60，点E、F分别在边DC、BC上，且CE=CD，CF=CB，则SCEF= （ ）ABCD答案：D解析：因为四边形ABCD为菱形

8、，所以AB=BC=CD=2，DCB=60，所以CE=CF=23，所以CEF为等边三角形，所以SCEF=34（23）2=39.2. （2019天津）如图11，四边形ABCD为菱形，A、B两点的坐标分别是（2，0），（0，1），点C、D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于 （ ）A. B. C. D. 20 答案：C解析:由勾股定理可得：AB=AO2+BO2=5,根据菱形四边相等，所以周长等于45，所以选C.其他教材试题：如图12，四边形ABCD是菱形，ACD=30，BD=6cm.求：（1）BAD,ABC的度数；（2）边AB及对角线AC的长（精确到0.01cm）.(人教版数学八年级下册P102页第

9、5题）解：（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AB=BC=CD=DA,ACD=ACB=30，所以DCB=60，所以BCD是等边三角形，根据菱形的性质，得BAD=60,ABC=120； （2）因为BCD是等边三角形，所以AB=BD=6cm，设对角线的交点为O，在直角三角形DOC中，OC=3,所以AC=2OC=610.39（cm）.课时练：一、选择题1. （2018十堰）菱形不具备的性质是 （）A四条边都相等 B对角线一定相等C是轴对称图形 D是中心对称图形答案：B解析：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，故选：B2. （2018淮安）如图13，菱形ABCD的对

10、角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长 （）A20B24C40D48 答案：A解析：由菱形对角线性质知，AO=12AC=3，BO=12BD=4，且AOBO，则AB=5，故这个菱形的周长L=4AB=20故选：A二、填空题3. （2018黑龙江）如图14，在平行四边形ABCD中，添加一个条件使平行四边形ABCD是菱形答案：AB=BC或ACBD解析：当AB=BC或ACBD时，四边形ABCD是菱形4. （2018广州）如图15，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是答案：（5，4）解析：根据题意，得AB=5，所以AD=5，由勾股定理知：OD

11、=4，所以点C的坐标是：（5，4）故答案为：（5，4）备选题：1. （2018贵阳）如图16，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EFCB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为 （）A24 B18 C12 D9答案：A解析：EF是ABC的中位线，所以BC=6，所以菱形ABCD的周长是46=24故选：A2. （2018随州）如图17，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，AOC=60，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75，得到四边形OABC，则点B的对应点B的坐标为 答案： （6，6）解析：作BHx轴于H点，连结OB，OB，如图，则A

12、OC=180C=60，OB平分AOC，所以AOB=30，BOB=75，OB=OB=23，OBH为等腰直角三角形，所以OH=BH=22OB=6，所以点B的坐标为（6，6）故答案为：（6，6）1.1第二课时知识点1：菱形的判定定理1例4已知：如图18所示，AD是三角形ABC的角平分线，DEAC，交AB于点E，DFAB，交AC于点F求证：四边形AEDF是菱形 分析： 根据平行条件，易证四边形AEDF是平行四边形后利用线段垂直平分线的性质的逆定理可证明EFAD，从而得证 证明：因为DEAC，DFAB，所以四边形AEDF是是平行四边形因为DEAC，所以EDA=DAC，因为AD是三角形ABC的角平分线，所

13、以EAD=DAC；所以EAD=EDA,所以AE=ED，所以点E在线段AD的垂直平分线上，同理可证点F在线段AD的垂直平分线上，所以EFAD，所以四边形AEDF是菱形点拨与提升：用这个定理时，一定清楚两个核心条件，一是基础条件：四边形是平行四边形；二是升级条件：对角线互相垂直.证明时，平行四边形是基础，要灵活运用平行四边形的判定，证垂直是关键，证明的方法很多，常见的有如下几种：1.等腰三角形三线合一性质法；2.两角互余法；3.垂直平行垂直法.4.线段垂直平分线性质定理的逆定理.针对性练习：（2018扬州）如图19，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长

14、线于点E，连接AE求证：四边形AEBD是菱形；证明：易证四边形AEBD是平行四边形，因为DB=DA，点F是AB的中点，所以ABDE，所以四边形AEBD是菱形其他教材试题：已知：如图20所示，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与AD，BC分别交于点E,F.求证：四边形AFCE是菱形(浙教版数学八年级下册P159页例2）证明：易证AOECOF，所以AE=CF因为FCAE，所以四边形AFCE是平行四边形，因为ACEF，所以四边形AFCE是菱形知识点2：菱形的判定定理2例5 （2018乌鲁木齐）如图21，在四边形ABCD中，BAC=90，E是BC的中点，ADBC，AEDC，EFCD于点F（1）求

15、证：四边形AECD是菱形；（2）若AB=6，BC=10，求EF的长分析：（1）利用已知条件设法证明四边形AECD的四边相等即可.（2）根据菱形的面积公式和三角形的面积公式解答即可证明：（1）因为ADBC，AEDC，所以四边形AECD是平行四边形，所以AD=EC，AE=CD.因为BAC=90，E是BC的中点，所以AE=CE=12BC，所以AE=EC=CD=DA，所以四边形AECD是菱形；（2）如图21，过A作AHBC于点H，因为BAC=90，AB=6，BC=10，所以AC=8，因为SABC=12BCAH=12ABAC，所以AH=245，因为点E是BC的中点，BC=10，四边形AECD是菱形，所以

16、CD=CE=5，因为菱形的面积相等，所以CEAH=CDEF，所以EF=AH=245点拨与提升：证明四边形相等是解题的关键，这种方法的最大特点是不以四边形的形状为主线，二是以证明四边相等为主线解决.其次，要把握好同一个图形面积的不同的表示方式，为解题提供新的有效解题方法.针对性练习：将三角形纸片ABC(ABAC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图22-1；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE、DF，如图22-2，证明：四边形AEDF是菱形证明：由第一次折叠可知：AD为CAB的平分线，所以1=2，由第二次折叠可知：CAB=EDF

17、，从而，3=4，因为AD是AED和AFD的公共边，所以AEDAFD(ASA)，所以AE=AF，DE=DF，又由第二次折叠可知：AEED，AFDF，所以AE=ED=DF=AF，所以四边形AEDF是菱形其他教材的试题：如图23，在四边形ABCD中，AC=BD，E,F,G,H依次是AB,BC,CD,DA的中点.求证：四边形EFGH是菱形.（浙教版数学八年级下册P160页A组第3题）证明：因为E,F,G,H依次是AB,BC,CD,DA的中点，所以EF,FG,GH,HE分别是ABC，BCD，CDA，DAB的中位线，所以EF=GH=AC,FG=EH=BD，因为AC=BD，所以EF=FG=GH=HE，所以四

18、边形EFGH是菱形.课时练：1.（2018内江）如图24，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE=CF，并且AED=CFD求证：（1）AEDCFD；（2）四边形ABCD是菱形答案：（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以A=C所以AEDCFD（ASA）；（2）由（1）知，AEDCFD，则AD=CD因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC,AB=CD，所以AD=BC=AB=CD，所以四边形ABCD是菱形2. （2018遂宁）如图25，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，ACEF求证：四边形AECF是菱形 证明：因为四边形

19、ABCD是平行四边形，所以AD=BC，ADBC，因为DE=BF，所以AE=CF，因为AECF，所以四边形AECF是平行四边形，因为ACEF，所以四边形AECF是菱形3. （2018郴州）如图26，在平行四边形ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF求证：四边形BFDE是菱形证明：因为在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，所以BO=DO，EDB=FBO，在EOD和FOB中，EDO=FBOOD=OBEOD=FOB，所以DOEBOF（ASA）；所以OE=OF，因为OB=OD，所以四边形EBFD是平行四边形，因为EFBD，所以四边形BFDE为

20、菱形备选题：（2018泰安）如图27，ABC中，D是AB上一点，DEAC于点E，F是AD的中点，FGBC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分CAB，连接GE，CD（1）求证：ECGGHD；（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC请你帮助小亮同学证明这一结论（3）若B=30，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由解：（1）因为AF=FG，所以FAG=FGA，因为AG平分CAB，所以CAG=FGA，所以CAG=FGA，所以ACFG，因为DEAC，所以FGDE，因为FGBC，所以DEBC，所以ACBC，所以C=DHG=90，CGE=GED，因为F是AD的中点，FGAE，所以H是ED的

21、中点，所以FG是线段ED的垂直平分线，所以GE=GD，GDE=GED，所以CGE=GDE，所以ECGGHD；（2）证明：过点G作GPAB于P，所以GC=GP，所以CAGPAG，所以AC=AP，由（1）可得EG=DG，所以RtECGRtGPD，所以EC=PD，所以AD=AP+PD=AC+EC；（3）四边形AEGF是菱形，证明：因为B=30，所以ADE=30，所以AE=12AD，所以AE=AF=FG，由（1）得AEFG，所以四边形AECF是平行四边形，所以AE=AF=FG=EG，所以四边形AEGF是菱形1.1第三课时知识点1：菱形的对角线计算例6 （2018柳州）如图28，四边形ABCD是菱形，对

22、角线AC，BD相交于点O，且AB=2（1）求菱形ABCD的周长；（2）若AC=2，求BD的长分析：（1）由菱形的四边相等即可求出其周长；（2）利用勾股定理可求出BO的长，进而解答即可解：（1）因为四边形ABCD是菱形，AB=2，所以菱形ABCD的周长=24=8；（2）因为四边形ABCD是菱形，AC=2，AB=2，所以ACBD，AO=1，所以BO=AB2-AO2=22-12=3,所以BD=23.点拨与提升：菱形的计算有三大特点：一是计算周长，边长的4倍；二是对角线互相垂直且平分，为计算提供基础条件；三是充分利用勾股定理，确定计算结果.针对性练习：（2018呼和浩特）如图29，已知A、F、C、D四

23、点在同一条直线上，AF=CD，ABDE，且AB=DE（1）求证：ABCDEF；（2）若EF=3，DE=4，DEF=90，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度 解：（1）证明：因为ABDE，所以A=D，因为AF=CD，所以AF+FC=CD+FC，即AC=DF，因为AB=DE，所以ABCDEF（2）如图，连接AB交AD于O在RtEFD中，因为DEF=90，EF=3，DE=4，所以DF=32+42=5，因为四边形EFBC是菱形，所以BECF，所以EO=DEEFDF=125,所以OF=OC=EF2-EO2=95,所以CF=185,所以AF=CD=DFFC=5185=75其他教材试题：如图30，

24、菱形花坛ABCD的边长为20m,ABC=60,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.求：两条小路的长（结果保留小数点后2位）和花坛的面积（结果保留小数点后1位）.解：因为ABCD是菱形，ABC=60，所以ACBD，ABD=30,ABC是等边三角形，所以AC=AB=20m，在直角三角形AOB中，BO=，所以BD=2BO=234.64m,菱形ABCD的面积为：346.4.知识点2：菱形的面积计算例7 如图31，已知四边形ABCD是菱形，且菱形的周长为32，AEBC，垂足为E，若ABC是等边三角形，求菱形的面积.分析：根据菱形的周长，确定菱形的边长；根据ABC是等边三角形，确定BE的长，从而利用

25、勾股定理，确定高AE，利用菱形的面积等于底乘高计算即可.解：因为菱形的周长为32，所以AB=BC=8,因为ABC是等边三角形，AEBC，所以BE=BC=4，所以AE=4，所求菱形的面积为：BCAE=32.点拨与提升：菱形的面积计算方法有两种，一是底边乘以其上的高；二是菱形对角线积的一半，这是最常用的方法，计算时灵活运用勾股定理是解题的关键.要特别重视一般式的计算法即底乘高法，这是继承平行四边形的性质得来的，是最基本计算方法，也是通用的计算方法，必须熟练掌握.针对性练习：（2018哈尔滨）如图32，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，3OB=4AO，则线段AB的长为 （）A

26、B2 C5 D10 答案：解：因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD，AO=CO，OB=OD，所以AOB=90，因为BD=8，所以OB=4，因为3OB=4AO，所以O=3，在RtAOB中，由勾股定理得：AB=5，所以选C.其他教材试题：如图33所示，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm,DHAB于H，求DH的长. 解：根据题意，易得菱形的边长为5，菱形的面积为=24，因为菱形的面积等于底乘高，所以DH=.知识点3：菱形的性质与判定综合应用例8 （2018广西）如图34，在平行四边形ABCD中，AEBC，AFCD，垂足分别为E，F，且BE=DF（1）求证：平行四边形ABCD是菱

27、形；（2）若AB=5，AC=6，求菱形ABCD的面积分析：（1）利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题；（2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题；解：（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以B=D，AB=CD,BC=AD，因为AEBC，AFCD，所以AEB=AFD=90，因为BE=DF，所以AEBAFD所以AB=AD，所以AB=BC=CD=DA，所以四边形ABCD是菱形（2）连接BD交AC于O，因为四边形ABCD是菱形，AC=6，所以ACBD，AO=OC=12AC=126=3，因为AB=5，AO=3，所以BO=AB2-AO2=4,所以BD=2BO=8，所

28、以S菱形ABCD=12ACBD=24点拨与提升：先利用菱形的判定定理判定菱形，后运用菱形的性质进行相关计算.针对性练习：（2018扬州）如图35，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE（1）求证：四边形AEBD是菱形；（2）若DC=10，EF=3BF，求菱形AEBD的面积答案：解：（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以ADCE，所以DAF=EBF，所以AFDBFE，所以AD=EB，所以四边形AEBD是平行四边形，所以AD=EB,DB=AE，因为BD=AD，所以AE=EB=BD=DA，所以四边形AEBD是菱形（2）解：因为四

29、边形ABCD是平行四边形，所以CD=AB=10，因为四边形AEBD是菱形，所以ABDE，BF=102，所以EF=3102，所以DE=310，所以S菱形AEBD=12ABDE=1210310=15其他教材试题：如图36，在平行四边形ABCD中，E,F分别是AB,CD的中点，AF与DE相交于点H，CE与BF相交于点G.求证：(1)四边形EHFG是平行四边形；(2)在什么条件下，四边形EHFG是是菱形？请说出条件和理由（浙教版数学八年级下册P161页D组第6题）答案：解：（1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CE,ABCD，因为E,F分别是AB,CD的中点，所以BE=DF,BEDF，所以四

30、边形BEFD是平行四边形，所以EHFG；同理可证，FHEG；所以四边形EHFG是平行四边形；(2) 当四边形ABCD是矩形时，四边形EHFG是菱形 理由如下： 因为BE=AB，CF=CD，所以BE=CF因为BECF，所以四边形BEFC是平行四边形因为四边形ABCD是矩形，所以ABC=90，所以四边形BEFC是矩形所以EH=CE，FH=BF，且CE=BF，所以EH=FH，所以四边形EHFG是菱形 课时练：1.图37，在菱形ABCD中，对角线AC=4，BAD=120，则菱形ABCD的周长为 （ ）A20 B18 C16 D15 答案：C解析：根据菱形的性质，得三角形ABC是等边三角形，所以AB=4

31、，所以菱形的周长为16.2.已知菱形的边长和一条对角线的长均为cm，则菱形的面积为 （ ） 答案：D.解析：设对角线的交点为O，所以=，=,所以=，所以菱形的面积等于:=（）3.（2018香坊区）已知边长为5的菱形ABCD中，对角线AC长为6，点E在对角线BD上，设对角线的交点为点O，且OA=3OE，则BE的长为 答案：3或5.解析：因为菱形ABCD中，边长为5，对角线AC长为6，所以ACBD，BO=4，因为OA=3OE,解得：OE=1，所以BE=BOOE=41=3，当点E在对角线交点左侧时，如图2所示：所以BE=BO+OE=4+1=5，所以答案为：3或5.4.一种千斤顶利用了四边形的不稳定性

32、. 如图39，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）.若AB=40cm，当ADC从60变为120时，千斤顶升高了多少？（=1.414，=1.732，结果保留整数） .解：当ADC=60时，根据菱形的性质，得三角形ADC是等边三角形，所以AC=40cm；当ADC=120时，过点A作AFCD于点F，如图所示，则AF=20,根据菱形的性质，得ACF=30，所以AC=2AF=40，所以千斤顶升高的高度为：40-40=40（1.732-1）29.28cm29cm.5. 如图39，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，

33、ADBC，垂足为D，点E,F分别是AB,AC的中点，连接DE,DF.(1) 求证：四边形AEDF是菱形；（2）若AB=10,BC=12,求菱形AEDF的面积.（1）证明：因为AB=AC，ADBC，所以点D是BC的中，因为点E,F分别是AB,AC的中点，根据三角形中位线定理，得DE=AF=AC，DF=AE=AB，因为AB=AC，所以AE=ED=DF=AF，所以四边形AEDF是菱形；（2）连接EF，则EF是三角形ABC的中位线，所以EF=BC=6，因为AB=10,BC=12,所以AD=8，所以菱形AEDF的面积为：=24.备选题：1.将等边三角形ABC沿着边AB对折，点C的重合点为点D，则四边形A

34、BCDD的形状是 .答案：菱形.解析：利用四边相等的四边形是菱形判断.2.如图40，在菱形ABCD中，AB=2，B是锐角，AEBC于点E，若DE=3，求菱形ABCD的面积解：根据勾股定理，得AE=，所以菱形的面积为2. 2.矩形的性质和判断1.2第一课时知识点1：矩形的定义 例1 （2018沈阳）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，四边形ABCD的面积是 分析：（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）

35、由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答解：（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD，所以COD=90因为CEOD，DEOC，所以四边形OCED是平行四边形，因为COD=90，所以平行四边形OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2因为四边形ABCD是菱形，所以AC=2OC=4，BD=2OD=2，所以菱形ABCD的面积为： ACBD=42=4所以填4点拨与提升：运用矩形的定义解题时，要抓牢两个核心要素：一是基础四边形是平行四边形，二是其中的一个角是直角.其次要熟练掌握直角的得出方式：垂直二线的交角是直角；互补且相等的两个角是直角

36、；三角形中，两个角互余，则第三个角一定是直角等.针对性练习：（2018上海改编）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是 （ ） AA=B A=C C四个内角相等DABBC答案：B解析：由A=B，A+B=180，所以A=B=90，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；由A=C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；由A=B=C=D，A+B+C+D=360，所以A=B=C=D=90，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；由ABBC，所以B=90，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；所以选：B其他教材试题：如图2，平行四边ABCD的对角线AC,BD相交于点O，OAB是等边三角形

37、,AB=4cm,求：四边形ABCD的面积（精确到0.01）(人教版八年级数学P96页第2题)答案：解：因为OAB是等边三角形,所以AO=BO=AB,因为四边形ABCD是平行四边形，所以OB=OD，所以OA=OD，因为OAB是等边三角形,所以BAO=AOB=60，所以AOD=120，因为OA=OD，所以OAD=ODA=30，所以BAD=90，因为四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是矩形，在直角三角形ABD中，AD=4,所以四边形ABCD的面积为：44=1627.71（）知识点2：矩形的性质定理1例2 （2019广东省广州市）如图3，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC

38、，AD于点E，F，若BE3，AF5，则AC的长为 （）A4B4C10D8分析：连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OA=OC，AE=CE，证明AOFCOE得出AF=CE=5，得出AE=CE=5，BC=BE+CE=8，由勾股定理求出AB=4，再由勾股定理求出AC即可解：连接AE，如图43，因为EF是AC的垂直平分线，所以OA=OC，AE=CE，因为四边形ABCD是矩形，所以B=90，ADBC，所以OAF=OCE，所以AOFCOE，所以AF=CE=5，所以AE=CE=5，BC=BE+CE=8，所以AB4，所以AC4；所以选：A点拨与提升：利用矩形的四个角都是直角生成直角三角形，为勾股定理的不断运用

39、创造条件，也诶问题的破解提供基础针对性练习：如图4，已知：四边形ABCD是矩形, AC与BD是对角线 .求证：AC=BD .答案：证明： 因为四边形ABCD是矩形 ，所以AB=DC,ABC=DCB=90，因为BC=CB ，所以ABCDCB ，所以AC=BD.其他教材试题： 已知：如图5，在矩形ABCD中，M是BC的中点.求证：AM=DM.(浙教版数学八年级下册P149页A组第3题） 答案：证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AB=CD,B=C=90，因为BM=CM，所以ABMDCM，所以AM=DM.知识点3：矩形的性质定理2例3（2019江苏无锡）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（

40、）A内角和为360B对角线互相平分C对角线相等D对角线互相垂直分析：根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案解：矩形和菱形的内角和都为360，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线垂直且平分，所以矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等，所以选：C点拨与提升：矩形的性质识记，要从两个方面落实，一是平行四边形具有的性质，菱形具有点的性质，二是矩形特有的性质，只有分类识记才有效果，因此熟记两图形的性质是解题的关键针对性练习：（2018株洲）如图6，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为 答案：2.5解析：因为四边形ABCD是

41、矩形，所以AC=BD=10，BO=DO=BD，所以OD=BD=5，因为点P、Q是AO，AD的中点，所以PQ是AOD的中位线，所以PQ=DO=2.5其他教材试题：1.如图7，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,则图中有 个直角三角形，有 个等腰三角形，有 对全等三角形.（浙教版数学八年级下册P148页课内练习第2题）答案：4,4,4；解析：直角三角形ABD，直角三角形ABC，直角三角形ADC，直角三角形BCD；等腰三角形AOD，等腰三角形AOB，等腰三角形BOC，等腰三角形COD；AOBCOD，AODCOB，ABDCBD，ABCADC.2. 如图7，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.（1）若AOD=120，则AOB是 三角形；COD是 三角形.（2） 若AOD=120，CD=4，则对角线AC的长 ，矩形ABCD的周长 ，面积为 .答案：（1）AOB是等边三角形；COD是等边三角形.（2）AC=8，矩形ABCD的周长8+8，面积为16.解析：利用勾股定理计算即可.知识点4：直角三角形斜边上的中线的性质例4如图8，已知：在ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，M是BC的中点。如果连接DE,取DE的中点O,则MO与DE的关系如何？给出证明.分析：三角形的高提供直角，从而创造