2022年高考数学一轮汇总训练《数列求和》理新人教A版.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第四节 数列求和 备考方向要明白 考 什 么 怎 么 考1. 以挑选题或填空题的形式考查可转化为等差或等比数列的数列 娴熟把握等差、 等比数 求和问题,如 20XX年新课标全国 T16 等列的前 n 项和公式 . 2. 以解答题的形式考查利用错位相减法、裂项相消法或分组求和 n 项和,如 20XX年江西 T16,湖北 T18 等. 法等求数列的前 归纳 学问整合 数列求和的常用方法 1公式法 直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和 1 等差数列的前 n 项和公式：Snn a1an 2 na1n n2 d；2 等比数列

2、的前 n 项和公式：na1,q 1,Sna1anq 1 qa1nq,q 1.1q2倒序相加法 假如一个数列 an的前 n 项中首末两端等“ 距离” 的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法, 如等差数列的前n 项和即是用此法推导的3错位相减法 假如一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求,如等比数列的前 4裂项相消法n 项和就是用此法推导的把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 18 页精选学习资料 - - -

3、 - - - - - - 学习必备 欢迎下载 探究 1. 应用裂项相消法求和的前提条件是什么？提示：应用裂项相消法求和的前提条件是数列中的每一项均可分裂成一正一负两项,且在求和过程中能够前后抵消2利用裂项相消法求和时应留意哪些问题？提示： 1 在把通项裂开后,是否恰好等于相应的两项之差；2 在正负项抵消后,是否只剩下了第一项和最终一项,或前面剩下两项,后面也剩下 两项5分组求和法 一个数列的通项公式是由如干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,就求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减6并项求和法一个数列的前n 项和,可两两结合求解, 就称之为并项求和形如 an 1nf n 类型,可采纳两项

4、合并求解例如, Sn1002992982972 2212100 99 98 97 2 1 5 050. 名师归纳总结 自测 牛刀小试 第 2 页,共 18 页1.1 1 41 4 7 1 7 10 n1n等于 A.nB.3n3n13n1C11D 31n13n 1321 64,就项数 n 等于 解析：选 A n1n11 3n21 3n1,31 1 41 4 7 1 7 10 n1n111 44 1 77 1 10 31 3n211 3 11 3n1n 3n1. 3n12已知数列 an 的通项公式是an2 n1n2,其前 n 项和 SnA13 B 10 C9 D 6 解 析：选 D an2n 1

5、2 n11 n,2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Sn 11 2 1 1 2 学习必备欢迎下载11 2 nn1 21 2 21n _. 2nn1 2 11 n 2n 11 2 n n11 2 n. 11 2n11 n2321 6451 64,解得 n6. 3 教材习题改编 2 3 51 4 3 52 2 n3 5解析： 2 3 51 4 3 52 2 n3 5n 2 4 2n 35152 5n n2n351 11 n 5211 5n n 1 3 4 11 5 n n2n3 4 5n3 4. 答案： n2n3 4 5n344如 Sn1 234 1n1n

6、,就 S100_. 解析： S1001234 56 99100 1 2 3 4 5 6 99 100 50. 答案： 50 5已知数列 an 的前 n 项和为 Sn且 ann 2解析： ann 2n,3 n 2n. Sn1 212 223 2n,就 Sn_. 名师归纳总结 2Sn1 222 23 n1 2nn 2n 1. 第 3 页,共 18 页得 Sn22223 2nn 2n12nn 2n 12 n12 n 2n1121 n2n12. Sn2 n1 n1 2. 答案： n1 2n 1 2 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载分组转化求

7、和 例 1 2022 山东高考 在等差数列 an 中, a3a4a584,a9 73. 1 求数列 an 的通项公式；2 对任意 mN * ,将数列 an 中落入区间 9m,9 2m 内的项的个数记为bm,求数列 bm 的前m项和 Sm. 自主解答 1 由于 an 是一个等差数列,所以 a3a4a53a484,a428. 设数列 an 的公差为 d,就 5da9a4732845,故 d9. 由 a4a13d,得 28a13 9,即 a11. 所以 ana1 n 1 d19 n1 9n 8 nN * 2 对 mN *,如 9 man9 2m,就 9 m89n0,a10. 1 1a1a1q2 a1

8、a1q,由已知有a1q 2a1q 3a1q 464 a1q 1 21a1q 31a1q 4 ,2a 1q2,化简得 2 又 a10,故 q 2,a11. a 1q 664.所以 an2 n 1. 1 2 1 12 由1 知, bnanan 2a na n2 4 n14 n 12. 因此 Tn1 4 4 n1 11 4 4 1n1 2n14 n1 14 n14 1112n34 n4 1n 2n1. 4裂项相消法求和 例 2 设数列 an 的前 n 项和为 Sn,已知 a11,Snnan n n1 n1,2,3 , 1 求证：数列 an 为等差数列,并写出 an 关于 n 的表达式；2 如数列 a

9、nan1的前 n 项和为 Tn,问满意 Tn100 209的最小正整数 n 是多少？ 自主解答 1 当 n2 时,anSnSn1nan n1 an12 n1 ,得 anan12 n2,3,4 , 所以数列 an 是以 1 为首项, 2 为公差的等差数列所以 an2n 1. 名师归纳总结 2 Tn1 a1a21 a2a3 1 an 1an1第 5 页,共 18 页anan11 1 31 3 5 n1n11 11 31 31 5 1 2n112n121 2 11 2n1n 2n1,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由 Tn学习必备欢迎下载n 为 12. 2

10、n1100 209,得 n100 9,所以满意Tn100 209的最小正整数用裂项相消法求和应留意的问题利用裂项相消法求和时,应留意抵消后并不肯定只剩下第一项和最终一项,也有可能前面剩两项, 后面也剩两项,再就是将通项公式裂项后,有时候需要调整前面的系数,使裂开 的两项之差与系数相乘后与原项相等2等比数列 an 的各项均为正数,且2a13a21,a2 39a2a6. 1 求数列 an 的通项公式；2 设 bnlog 3a1log 3a2 log 3an,求数列 bn的前 n 项和1解： 1 设数列 an 的公比为 q. 由 a2 39a2a6 得 a2 239a 4,所以 q21 9. n.

11、由条件可知q0,故 q1 3. 由 2a13a21 得 2a13a1q1,所以 a11 3. 故数列 an 的通项公式为an1 3 n. 2 bnlog3a1log3a2 log3an 1 2 n n2故1 bnn2 21 n1 n1 . n1 b11 b2 1bn 211 21 21 3 1 n1n12n n 1. 所以数列1 bn的前 n 项和为2n n1. 错位相减法求和名师归纳总结 例 3 2022 天津高考 已知 an是等差数列,其前n 项和为 Sn, bn 是等比数列,第 6 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎

12、下载且 a1b12, a4 b4 27,S4b410. 1 求数列 an 与bn 的通项公式；2 记 Tna1b1a2b2 anbn,nN *,证明 Tn8an1bn1 nN * ,n2 自主解答 1 设等差数列 an 的公差为 d,等比数列 bn的公比为 q. 由 a1b12,得 a423d,b42q 3,S486d. 23d2q 327,d3,由条件,得方程组 解得86d2q 310,q2.所以 an3n 1,bn2 n,nN *. 2 证明：由 1 得Tn2 25 2 28 2 3 3 n1 2 n,2Tn2 2 25 2 3 3 n4 2 n3 n1 2 n1. 由,得Tn2 23 2

13、23 23 3 2n3 n1 2n12n3 n1 2n12 1 2 3 n4 2n18,即 Tn83 n4 2n1. 而当 n2 时, an1bn13 n4 2n1,所以 Tn8an1bn1,nN *,n2.如本例 2 中 Tnanb1an 1b2 a1bn,nN *,求证： Tn12 2an10bn nN * 证明：由 1 得Tn 2an2 2an12 3an2 2 na1,2Tn2 2an2 3an1 2 na22 n1a1. ,得Tn 23 n 1 3 22 3 23 3 2n 2n 2n 12 2n 2 6n 2 1210 2n 6n10. n6n10,故Tn 12 2an而 2an

14、10bn12 23 n1 10 2n1210 210bn,nN *. 用错位相减法求和应留意的问题1 要善于识别题目类型,特殊是等比数列公比为负数的情形；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 在写出“Sn” 与“学习必备欢迎下载qSn” 的表达式时应特殊留意将两式“ 错项对齐” 以便下一步精确写出“SnqSn” 的表达式；1 和不等于13 在应用错位相减法求和时,如等比数列的公比为参数,应分公比等于两种情形求解3已知等差数列 an 的前 3 项和为 6,前 8 项和为 4. 1 求数列 an 的通项公式；2 设 b

15、n4 an q n1 q 0, nN * ,求数列 bn 的前 n 项和 Sn. 解： 1 设 an 的公差为 d. 由已知得3a13d 6,8a128d 4,解得 a13,d 1. 故 an3 n1 1 4n. 2 由1 得, bnnqn1,于是2 n1 qn1n q n. Sn1q 02q13q 2 nq n1. 如 q 1,将上式两边同乘以q 有 qSn1q 12q两式相减得到 q1 Snnq n 1q1q 2 q n1nq nq q1 n1nq n1nq n1. q 1于是, Snnq n1n2qn1. q如 q1,就 Sn1 23 nnn. 2所以 Snnnnqq,q2nq n 12

16、n1q1 种思想转化与化归思想数列求和把数列通过分组、变换通项、变换次序、乘以常数等方法,把数列的求和转化为能使用公式求解或者能通过基本运算求解的形式,达到求和的目的2 个留意“ 裂项相消法求和” 与“ 错位相减法求和” 应留意的问题名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1 使用裂项相消法求和时,要留意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项,切 不行漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点2 在应用错位相减法求和时,如等比数列的公比为参数,应分公比等于1 和不等于1两种情形求解4 个公式常见的

17、拆项公式1n111 n1 nk；1 2n1；1n；nkk211 21 2n1nn3n11n1nnn2n4n1n k1 knkn. 答题模板利用错位相减法解决数列求和名师归纳总结 典例 2022 江西高考 本小题满分12 分 已知数列 an 的前 n 项和 Sn1 2n 2第 9 页,共 18 页kn 其中 kN,且 Sn 的最大值为8. 1 确定常数 k,求 an；2 求数列92an n 2的前 n 项和 Tn. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 快速规范审题 第1 问1审条件,挖解题信息观看条件： Sn1 2n 2kn 及 Sn

18、的最大值为Sn是关于 n的二次函数 8 当 nk 时,Sn取得最大值2审结论,明确解题方向观看所求结论：求k 的值及 an应建立关于 k的方程Sn 的最大值为8,即 Sk8,k 4. 可求 Sn的表达式Sn1 2n24n. 3建联系,找解题突破口依据已知条件,可利用an与 Sn 的关系求通项公式：9 2 n n2 , a1 S1 7留意公式的使用条件 求 通 项 公 式 an Sn Sn 1 2验证 n1时, an是否成立 an9 2n. 第2 问1审条件,挖解题信息观看条件： an9 2n 及数列9 2an n 2可化简数列9 2an92an n2n 2 n 1. 2n2审结论,明确解题方向

19、观看所求结论：求数列92an n 2的前 n 项和 Tn分析通项n1的特点可利用错位相减法求2n和3建联系,找解题突破口条件具备,代入求和：Tn1222 3 2 n 1 2 n2 n 2 n 1 等式两边同乘以 2 2Tn2232 n1 2 n3 n 2 n2错位相减 ： 2Tn Tn2112 2 n2n 2 n142 n 2n 2 n14n2 2 n1 . 精确规范答题 名师归纳总结 1 当 nkN时, Sn1 2n2kn 取得最大值,即8Sk1 2k 2k 21 2k2,.2 分 第 10 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备

20、欢迎下载利用 anSnSn1故 k216,因此 k 4,.3 分 从而 anSnSn19 2n n2 .4 分 时,易忽视条件n2.又 a1S17 2,.5 分 9所以 an2n. .6 分 2 由于 92annn n 1,2 2所以 Tn1222 3 2 n12 n 2 n2 n1, .7 分 错位相减3 n1 n 时,易漏项 . 所以 2Tn2 22 2 n 3 2 n2, .8 分 ： 2TnTn2 11 2 2 n2n2 n141 2 n2n2 n1 4n2 2 n1 . .11 分 所以 Tn4n2 2 n 1 . .12 分 答题模板速成 用错位相减法解决数列求和的步骤：第一步判定

21、结构其次步乘公第三步错位.第四步求比相减和如数列 anbn 是乘以公比 q 后,将作差后的由等差数列 an 与.设 anbn 的前.向后错开一位,使含有 qk k等比数列 公比 qn 项和为 Tn,然结果求和, 从的对应项之积构成N * 的项对应,后两边同乘以q而表示出 Tn的,就可 用此法求然后两边同时和作差一、挑选题 本大题共 6 小题,每道题5 分,共 30 分 名师归纳总结 1已知 an 是首项为 1 的等比数列, Sn是 an 的前 n 项和,且 9S3S6,就数列1 an的前第 11 页,共 18 页5 项和为 A.15 8或 5 B.31 16或 5 - - - - - - -精

22、选学习资料 - - - - - - - - - C.31 16学习必备欢迎下载D.15 83 6 q 1q解析：选 C 设数列 an 的公比为 q. 由题意可知 q 1,且 1q1 q,解得 q1 1 312,所以数列 an 是以 1 为首项,2为公比的等比数列,由求和公式可得 S516. 1 1 1 1 12数列 1 2,3 4,5 8,7 16, , 2 n1 2 n, 的前 n 项和 Sn的值等于 1 1An 212 n B 2n 2n12 n1 1Cn 212 n 1 D n 2n12 n解析：选 A 该数列的通项公式为 an2 n1 1 n,就 Sn1 35 2 n121 1 1 1

23、22 2 2 n n 2 12 n. 3设 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和,如 S830,S47,就 a4的值等于 1 9A. 4 B. 413 17C. D.4 4d8a12 30,解析：选 C 由题意可得d4a12 7,1解得 a14,故 a4a13134 . d1.4. 12128 n n等于 2 nn1 2 n1n2A. 2 n B. 2 nC.2 nn12 n D.2 n1n22 n解析：选 B 令 Sn122 222 3 3 n2 n,就 12Sn2 122 2 3 n12 n n2 n1,得：名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 18 页精选学习资料

24、- - - - - - - - - 2Sn1 2 1 212 3 12 nn2n1学习必备欢迎下载1 1 n2 12n n1,1 2122 n1n2故 Sn2 n . S2 0125已知数列 an 的通项公式为 ann 2cos n nN * ,Sn为它的前 n 项和,就 2 013等于 A1 005 B 1 006 C2 011 D 2 012 解析：选 B 留意到 cos n 1 n n N * ,故 an 1 nn 2. 因此有 S2 012 1 22 2 3 2 4 2 2022 22022 2 123 2 011 S2 0122 012 21 006 2 013 ,所以 2 0131

25、 006. 62022 锦州模拟 设函数 f x x max 的导函数 f x 2x1,就数列 f 1n nN * 的前 n 项和是 n n2A. n 1 B. n1C. n D.n1n1 n解析：选 A f x mx m 1a, m2,a1. f x x2x,f n n2n. 1 n1n n 1. f1n1 2nn11 n1 n1,nn令 Snf1f1f1 f1f1nn 11 21 21 31 31 4 1 n11 n1 n1 n 11二、填空题 本大题共 3 小 题,每道题5 分,共 15 分 72022 江西高考 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn,公比不为 1. 如 a11,且对任

26、意的nN *都有 an2an12an0,就 S5_. 名师归纳总结 解析：由an2an12an0,得 anq2anq 2an0,明显 an 0,所以 q 2q20. 又第 13 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载511. q 1,解得 q 2. 又 a11,所以 S51 1 1答案： 11 8对于数列 an ,定义数列 an1an 为数列 an 的“ 差数列” ,如 a12, an的“ 差数列” 的通项公式为 2 n,就数列 an 的前 n 项和 Sn_. 解析： an1an2 n,an anan 1 an1an 2 a

27、2a1 a1n2 n1 2 n2 2 22 222 1222 n2 22n. n 项和为Sn,就S2 013 Snn 1 22 122n12. 答案： 2n 12. 9数列 an 的通项an n cos2n 2sin2n n N * ,其前2_. 解析： an n cos2n 2sin2nncos n ,2a1 1, a22,a3 3,a44, ,S2 013 1 2 3 4 5 6 2 009 2 010 2 011 2 012 2 013 1 2 3 4 5 6 2 009 2 010 2 011 2 012 2022 11 112 013 1 006 2 013 1 007. 答案： 1

28、 007 三、解答题 本大题共 3 小题,每道题12 分,共 36 分 3,前三项的积为8. 102022 湖北高考 已知等差数列 an 前三项的和为1 求等差数列 an 的通项公式；2 如 a2,a3,a1 成等比数列,求数列 | an| 的前 n 项和解： 1 设等差数列 an 的公差为 d,就 a2a1d,a3a12d,由题意得3a13d 3,8.a1a1da12d解得a12,或a1 4,d 3,d3.所以由等差数列通项公式可得an 23 n1 3n5 或 an 43 n1 3n 7. 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - -

29、 - - - 学习必备 欢迎下载故 an 3n 5 或 an3n7. 2 当 an 3n5 时, a2,a3,a1分别为 1, 4,2 ,不成等比数列；当 an3n7 时, a2, a3, a1 分别为 1,2 , 4,成等比数列,满意条件故| an| |3 n7| 3n7,n1,2,3n7, n3.记数列 | an| 的前 n 项和为 Sn. 当 n1 时, S1| a1| 4；当 n2 时, S2| a1| | a2| 5；当 n3 时, SnS2| a3| | a4| | an| 53 3 7 3 4 7 3 n 75nn3 2n 211 2n10. 当 n2 时,满意此式24,n1,综

30、上可知, Sn3 2n 211 2n10,n1.Sn,a1t ,点 Sn,an 1 在直线 y 3x112022 合肥模拟 数列 an 的前 n 项和记为1 上, nN *. 1 当实数 t 为何值时,数列 an 是等比数列2 在1 的结论下,设bnlog4an1,cnanbn,Tn是数列 cn 的前 n 项和,求 Tn. 解： 1 点 Sn,an1 在直线 y3x 1 上,an1 3Sn1,an3Sn11 n1,且 nN * an1 an3 SnSn1 3an,即 an14an, n1. 又 a23S1 13a113t 1,当 t 1 时, a24a1,数列 an 是等比数列2 在1 的结论下, an14an,an14 n,bn log4an1 n. cn an bn4 n1 n,Tn c1 c2 cn401 412 4n 1 n 1 44 2 4n 1 1 2 3 n n4131nn. 212已知数列 an的前 n 项和为 Sn,且满意 Snn2an nN *