2022年高考数学专题十：数列的极限与函数的导数.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 德明训练辅导中心专题十：数列的极限与函数的导数【考点注视】极限与导数作为初等数学与高等数学的连接点,新课程卷每年必考,主要考查极限与导 数的求法及简洁应用；纵观近年来的全国卷与各省市的试卷,试题呈“ 一小一大” 的布局,“ 小题” 在挑选、填空题中显现时,都属简洁题；“ 大题” 在解答题中显现时,极限通常与其 它数学内容联系而构成组合题,主要考查极限思想与方法的敏捷应用才能；导数的考查常给 出一个含参的函数或应用建模,通过求导、 分析函数的单调性与最值,考查“ 数形结合”、“ 分 类争论”等数学思想方法的综合运用才能；从 2004 年各地的高考

2、试卷看,考生在备考时, 应 从以下考点夯实基础,做到以不变应万变：1从数列或函数的变化趋势明白极限概念,懂得三个基本极限：1lim nccc是常数 ,2lim n10,3nlimqn0|q|1 . n2 明确极限四就运算法就的适用条件与范畴,会求某些数列和函数的极限；3明白函数连续的意义,懂得闭区间上连续函数有最大值和最小值；4明白导数的概念,把握函数在一点处的导数定义,懂得导函数的概念；5熟记八个基本导数公式,把握求导的四就运算法就,懂得复合函数的求导法就,会求简洁函数的导数；6把握导数的几何意义与物理意义,懂得可导函数的单调性、极值与导数的关系,强化用导数解决实际问题的才能；【疑难点拨】：

3、1,极限的四就运算法就,只有当两数列或两函数各自都有极限时才能适用；对 0 、0 . 型的函数或数列的极限,一般要先变形或化简再运用法就求极限；0例如 2004 年辽宁, 14lim x xx cos x= 【分析】这是 0 型,需因式分解将分母中的零因子消去,故0 lim x xx cos x= lim x cos x = 2；x2,极限的运算法就仅可以推广到有限个数列或函数,对于无穷项的和或积必需先求和或积再求极限；商的极限法就,必需分母的极限不为零时才适用；例如：名师归纳总结 2004 年广东 ,4 lim nn11n21n31 +2n12n1 的值为 1,原第 1 页,共 7 页n1n

4、 A -1 B 0 C 1 D 1 1212 n1=【分析】这是求无穷项的和,应先求前2 项的和再求极限2 nn1nn式=lim nnn1=-1 ,应选A ；德明专线：E-mail ：demingedu163 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 德明训练辅导中心 3 ,无穷等比数列的公比 q ,当| q | 1 时,各项的和 s a 1 及重要应用； 例如 20041 q年上海,4设等比数列 a nn N的公比 q 12,且 lim n a 1 a 3 a 5 a 2 n 1 = 8 ,3就 a 1【 分 析 】数 列 a 2n 1 是 首 项 为 a

5、1, 公 比 是 q 2 1的 等 比 数 列 ,4limn a 1 a 3 a 5 a 2 n 1 =1 a 1q 2 = 8 ,解得3 a =2； 4 ,当且仅当x limx 0 f xx limx o f x a 时,xlim ox f x a,x x 0 时 f x 可有定义也可无定义；例如以下命题正确的选项是 2 A假设 f x x 1 ,就 lim x 1 f x 0, B 假设 f x xx 22 x,就x lim 2 f x 2,C 假设 f x 1x ,就 lim x f x 0, D 假设 f x x x1 xx 00 ,就 lim x 0 f x 0；【分析】 A 中 x

6、 1 无定义, C 中 x 无定义,而 D lim f x 0,x 0lim f x 1,故 B 是正确的；x 05,函数 f x 在 x 0x 处连续是指 lim x x 0 f x f x 0,留意：有极限是连续的必要条件,连续是有极限的充分条件；6,导数的概念要能紧扣定义,用模型说明,记住典型反例；例如y| x|在 0 , 0 处的导数存在吗？为什么？【分析】lim x 0|0| xx|0|lim x 0|x|1,lim x 0|0x|0|yxxxlim x 0|x|1|在 0 , 0 处的导数不存在；x7,导数的求法要娴熟、精确,须明确3有时要回到定义中求导；1先化简,再求导, 2复合

7、函数敏捷处理,8,导数的几何意义是曲线切线的斜率,物理意义是因变量对自变量的变化率；导数的应用应尽可能全面、深化,留意把握以下几方面的问题：曲线切线方程的求法、函数单调性与函数作图、 函数极值与最值求法、有关方程与不等式问题、有关近似运算问题、实际应用题；【经典题例】【例】求以下数列的极限：名师归纳总结 德明专线：E-mail ：demingedu163 第 2 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 德明训练辅导中心lim nlgnlg10n3；lim ncosnsinn02；n cossinnlim n111a 12 a13a1nn1a；n

8、nnn已知a0,数列 a 满意a 1a,an1a1,假设 a 的极限存在且大于零,an求lim nan的值；【例】求以下函数的极限：1lim x 412x21322limcosxxx21x2cosx 2sinx223lim x 11x134lim xxx21x【例】求以下函数的导函数：fxexcosxsinx；fxcos2ln2x ；x|,求f0；fxlgxxx2；已知fx 3x3x2|1【例】设an1qq2qn1nN,q21,A nC n 1a 1+ C2 na2C3 na3Cn nan；用 q 和 n 表示A ；当3q1时,求lim nA n的值；在的条件下,求lim x 031qx1的取

9、值范畴；2nxlnx；【例】过点2,0,求与曲线y2xx3相切的直线方程；【例】2004 全国卷二, 22已知函数fxln1xx,gxx求函数fx 的最大值；设0ab,证明0gagb2ga2bba ln2；德明专线：E-mail ：demingedu163 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 德明训练辅导中心【例】2004 广东卷, 21设函数 f x = x ln x m ,其中常数 m 为整数；当 m 为何值时,f x 0 ；定理：假设函数 g x 在 a, b 上连续,且 g a 与 g b 异号,就至少存在一点

10、x 0 a , b 使 g 0x 0； 试 用 上 述 定 理 证 明 ： 当 整 数 m 1 时 , 方 程 f x =0 , 在 e m m , e 2 m m 内有两个实根；【例】溶液自深 18cm ,顶直径 12cm 的圆锥形漏斗中漏入始终径为 10cm 的圆柱形容器中,开头时漏斗中盛满水,已知当溶液在漏斗中之深为12cm 时,其水平下落的速度为1 cm min ,问此时圆柱形容器中水面上升的速度是多少？【热身冲刺】一、挑选题：1 、 以 下 数 列 极 限 为1的 是 Am limm1n；Blim nm1 n；mmDlim n11en；Clim n1n 0 . 9999 n；nn22

11、、已知lim x 1x22x255 6,就常数 a 的值为 ax2 A5 B 6C26D26；65551名师归纳总结 3、lim x 131xlne1x 的值是 第 4 页,共 7 页 A0B1 CeD 不存在；4、假设fx 31x1x1 且x0 在点x0处连续,就 a1x a1x0 A3B2C0D 1235、假设f x1 为偶函数,且f1 存在,就f1 A 0 BxC 1 D -1 ；德明专线：E-mail ：demingedu163 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 德明训练辅导中心6、设f x 是函数fx的导函数,yfx的图象如下图,就yf x

12、的图象最有可能的是 y y y y y 1 2 0 0 1 2 x 0 1 2 x 1 2 x 0 1 2 x A B C D A B C D 7、函数 f x ax 3x 1 有极值的充要条件是 A .a 0 B a 0 C a 0 D a 08、 2004 江苏卷,10 函数 f x x 3 3 x 1 在区间 -3 , 0 上的最大值、最小值分别是 A1,-1 B1,-17 C3,-17 D9,-19 9 、f x 、g x 分 别 是 定 义 R 上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 ； 当 x 0 时 ,f x g x f x g x 0,且 f 3 0,就不等式 f x g x 0

13、的解集是 A -3 , 03,B ,3 0 0 , 3 C , 3 3 , D , 3 0 3, 10、三次函数 f x = x 3 3 bx 3 b 在1 ,2 内恒为正值的充要条件为 A 1 b 2 B b 0 C 1 b 2 D b 9；4二、填空题：名师归纳总结 11、曲线y21x2与y1x32在交点处的切线夹角是以弧度数作答 ；第 5 页,共 7 页2412、fxa,就lim x0fx2xfx；x13、已知fx是 x 的一个三次多项式,假设f lim x 2 xx=f lim x 4 xx=1,24就f limx 3 xx= 314、如图,P 是一块半径为1 的半圆形纸板,在P 的左

14、下端剪去一个半径为1 的半圆后得 2图形P ,然后剪去更小的半圆其直径为前一被剪掉半圆的半径得图形P ,P , ,德明专线：E-mail ：demingedu163 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 德明训练辅导中心P , ,记纸板P 的面积为S ,就lim nS n= 3PP 4P 1P 2三、解答题：15、已知函数fx在定义域 R上可导, 设点 P 是函数 yfx 的图象上距离原点0 最近的点；假设点P 的坐标为a,fa,求证：afafa=0；fx的图象的图象不经过坐标原点0,证明直线 OP 与函数 y假设函数yfx 上过 P 点的切线相互垂直；1

15、6、证明：1当x1时,2x31；1ex；x2当a2ax0,x0时,x217、已知函数fxax3bx2x3x在1处取得极值；争论f 1 和f1 是函数ffx的极大值仍是微小值；的全部正数 x 从小到大排成数列过点A0 , 16作曲线yx的切线,求此切线方程；18、已知函数fx excosxsinx ,将满意fx0名师归纳总结 德明专线：E-mail ：demingedu163 第 6 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 德明训练辅导中心nx lim ns 1s 2s n1,11i,12 ,上,证明：数列fxn 为等比数列；记ns 是数列 xn

16、fxn 的前 n 项和,求n19、fx是定义在 0 ,1 上的增函数,fx2fx且在每个区间22i2iy f x 的图象都是斜率为同一常数 k 的直线的一部分；求 f 0 及 f 1 f 1 的值,并归纳出 f 1i i ,1 2 的表达式；2 4 2设直线 x 1i、x 1i 1、x轴及 y f x 的图象围成的梯形的面积为2 220、已知函数 f x ln e x a a 0 求函数yf x 的反函数fa1 x及fx的导数fx；fx0成立, 求实数 m 假设对任意xln3a,lnmfx|+ln4,不等式 |的取值范畴；德明专线：E-mail ：demingedu163 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页