2022年高考立体几何知识点详细总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载经典空间立体几何学问点考试内容 平面及其基本性质,平面图形直观图画法 直线和平面平行的判定与性质 直线和平面垂直的判定与性质,三垂线定理及其逆定理 两个平面的位置关系 空间向量及其加法、减法、数乘；空间向量的坐标表示,空间向量的数量积；直线的方向向量,异面直线所成的角,异面直线的公垂线,异面直线的距离 平面的法向量,点到平面的距离,直线和平面所成的角,向量在平面内的射影；平行平面的判定和性质,平行平面间的距离,二面角及其平面角,两个平面垂直的判定和性质,多面体,正多面体,棱锥棱柱,球；一、空间几何体 1柱、锥、台、球的结构特点

2、（1）柱棱柱： 一般的, 有两个面相互平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行, 由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个相互平行的面叫做棱柱的底面, 简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点；圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱； 旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线；棱柱与圆柱统称为柱体；（2）锥棱锥： 一般的有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何

3、体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；名师归纳总结 正四周体：对于棱长为a 正四周体的问题可将它补成一个边长为2a的正方体问题；）第 1 页,共 7 页2对棱间的距离为2a（正方体的边长）2正四周体的高6a（2l正方体体对角线）33正四周体的体积为2 a （12V 正方体4 V 小三棱锥1V 正方体）3正四周体的中心究竟面与顶点的距离之比为1:3（1l正方体体对角线： l 12正方体体对角线6外接球的半径为6a（是正方体的外接球,就半径1l正方体体对角线）42）内切球的半径为6a（是正

4、四周体中心到四个面的距离,就半径1l正方体体对角线126- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面；棱锥与圆锥统称为锥体；（3）台棱台： 用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点；圆台： 用一个平行于底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面

5、分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴；圆台和棱台统称为台体；（4）球定义：球面：半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面；球体：球面所围成的几何体；性质： 任意截面是圆面（经过球心的平面,截得的圆叫大圆,不经过球心的平面截得的圆叫小圆） 两点的球面距离, 是指经过球面上这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长；球心和截面圆心的连线垂直于截面,并且r2 Rd2,其中 R 为球半径,r 为截面半径, d 为球心的到截面的距离；（5）组合体由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体；正多面体：定义： 每个面都是有相同边数的正多边形,的多面体叫做正多面体；且以每个顶点为其一端都有相同

6、数目的棱欧拉公式：VFE2（ V 为简洁多面体的顶点数,F 为面数, E 为棱数）En 1n22nFm 1m 22m V（in 表示各个面上的棱数,m 表示过各个顶点的棱数）2多面体的面积和体积公式棱名称侧面积 S侧 l 全面积 S全 体 积V 棱柱直截面周长S 侧+2S 底S 底h=S 直截面 h 柱直棱柱ch S 底h 棱棱锥各侧面积之和S侧+S底1 S 底3h 1 ch2锥正棱锥棱棱台各侧面面积之S侧+S上底+S下底1 hS 上底 +S 下底 3和台正棱台1 c+c 2h +S 下底S 下底 表中 S 表示面积, c 、 c 分别表示上、下底面周长,侧棱长；h 表斜高, h 表示斜高,

7、l 表示名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台22 球S 侧2 rl rl r1+r 2l 2 4 RS 全2 rl+r rl+r r 1+r 2l+ r2 1+rV r2h 即 r2l 1 r 32h 1 hr 32 1+r 1r 2+r2 2 4 R 33表中 l 、h 分别表示母线、高,r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r 1、r 2 分别表示圆台上、下底面半径,R表示半径；4空间几何体的三视图 三视图是观测者从不同位置观看同一个几何体,画出的空间几何体的图

8、形；详细包括：（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的宽度和长度；空间几何体的直观图 斜二测画法 建立直角坐标系,在已知水平放置的平面图形中取相互垂直的 OX,OY,建立直角坐 标系；画出斜坐标系,在画直观图的纸上（平面上） 画出对应的 O X ,O Y , 使 X OY =45 0（或 135 0）,它们确定的平面表示水平平面；画对应图形,在已知图形平行于 X 轴的线段,在直观图中画成平行于 X 轴,且长度 保持不变；在已知图形平

9、行于 Y 轴的线段,在直观图中画成平行于 Y 轴,且长度变 为原先的一半；擦去帮助线,图画好后,要擦去X轴、 Y 轴及为画图添加的帮助线（虚线）；（2）平行投影与中心投影 平行投影的投影线是相互平行的,中心投影的投影线相交于一点；二、立体几何网络图：名师归纳总结 公理 4 线线平行线面平行面面平行第 3 页,共 7 页三垂线定理线线垂直线面垂直面面垂直三垂线逆定理- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（1）线线平行的判定：平行于同始终线的两直线平行；假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直 线和交线平行；假

10、如两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行；垂直于同一平面的两直线平行；（2）线线垂直的判定：在平面内的一条直线,假如和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜 线垂直；在平面内的一条直线,假如和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线的射影 垂直；如始终线垂直于一平面,这条直线垂直于平面内全部直线；补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平行线中的另一条；（3）线面平行的判定：假如平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行；两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面；（4）线面垂直的判定：假如始终线和平面内的两相交直线垂直,这条直

11、线就垂直于这个平面；假如两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面；始终线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面；假如两个平面垂直,那么在个平面内垂直于交线的直线必垂直于另个平面；（5）面面平行的判定：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,这两个平面平行；垂直于同一条直线的两个平面平行；（6）面面垂直的判定：一个平面经过另一个平面的垂线,这两个平面相互垂直；其他定理：（1）确定平面的条件：不公线的三点；直线和直线外一点；相交直线；（2）直线与直线的位置关系：相交 ； 平行 ； 异面 ；名师归纳总结 直线与平面的位置关系：在平面内； 平行 ； 相交（垂直是

12、它的特别情形）；第 4 页,共 7 页平面与平面的位置关系：相交； 平行 ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（3）等角定理：假如两个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等；假如两条相交直线和另外两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的 锐角 或直角 相等；（4）射影定理 （斜线长、 射影长定理） ：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中,射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之, 斜线段相 垂线段比任何一条斜线段都短；等的射影相等； 斜线段较长的射影也较长；（ 5）最小角定理： 斜线与平面内全部直线所成的

13、角中最小的是与它在平面内射影所成的角；（6）异面直线的判定：反证法；过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不过该点的直线是异面直线；（7）过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内；（8）假如直线平行于两个相交平面,那么这条直线平行于两个平面的交线；（9）假如两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线也垂直于第三个平面；唯独性定理：（1）过已知点,有且只能作始终线和已知平面垂直；（2）过已知平面外一点,有且只能作一平面和已知平面平行；（3）过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行；空间角的求法： （全部角的问题最终都要转化为解三角形的问题,特别是直角三角形）（1

14、）异面直线所成的角：通过直线的平移,把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角；异面直线所成角的范畴：0o90o；留意：如异面直线中一条直线是三角形的一边,就平移时可找三角形的中位线；有的 仍可以通过补形,如：将三棱柱补成四棱柱；将正方体再加上三个同样的正方 体,补成一个底面是正方形的长方体；（2）线面所成的角：线面平行或直线在平面内：线面所成的角为90oo 0 ；线面垂直：线面所成的角为o 90 ；即也就是斜线与它在平斜线与平面所成的角：范畴0o面内的射影所成的角；（3）二面角：关键是找出二面角的平面角；方法：定义法；三垂线定理法；垂面法；名师归纳总结 留意：仍可以用射影法：cosS；其

15、中为二面角l的大小, S 为内的第 5 页,共 7 页S一个封闭几何图形的面积；S 为内的一个封闭几何图形在内射影图形面积；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载距离的求法：（1）点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的距离是点到线、 面垂足间线段的长；求它们第一要找到表示距离的线段,然后再运算；留意：求点到面的距离的方法：直接法： 直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）；转移法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）；体积法：利用三棱锥体积公式；（2）线线距离：关于异面直

16、线的距离,常用方法有：定义法,关键是确定出a,b的公垂线段；转化为线面距离,即转化为a 与过 b 而平行于 a 的平面之间的距离,关键是找出或构造出这个平面；转化为面面距离；（3）线面、面面距离：线面间距离面面间距离与线线间、点线间距离经常相互转化；常用的结论：（1）如直线 l 在平面内的射影是直线l ,直线 m 是平面内经过 l 的斜足的一条直线,l与 l所成的角为1, l 与 m 所成的角为2, l 与 m 所成的角为,就这三个角之间的关系是coscos1cos2；（2）如何确定点在平面的射影位置：、假如一个角所在平面外一点到角两边距离相等,那么这点在平面上的射影在这 个角的平分线上；、经

17、过一个角的顶角引这个角所在平面的斜线,假如斜线和这个角的两边夹角相 等,那么斜线上的点在平面上的射影在这个角的平分线所在的直线上；、假如平面外一点到平面上两点的距离相等,就这一点在平面上的射影在以这两 点为端点的线段的垂直平分线上；那么这一点在这平面上 垂线法： 假如过平面外一点的斜线与平面内的一条直线垂直,的射影在过斜足且垂直于平面内直线的直线上 三垂线定理和逆定理 ；垂面法： 假如两平面相互垂直,那么一个平面内任一点在另一平面上的射影在这两面 的交线上 面面垂直的性质定理 ；整体法：确定点在平面的射影,可先确定过一点的斜线这一整体在平面内的射影；（3）在四周体 ABCD 中：如ABCD,B

18、CAD,就ACBD；且 A在平面 BCD 上的射影是BCD 的垂心；名师归纳总结 如ABACAD,就 A 在平面 BCD 上的射影是BCD 的外心；BCD 的内心；第 6 页,共 7 页如 A 到BC,CD,BD边的距离相等,就A在平面 BCD 上的射影是- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载E,它们公垂线段AA 的长为 d ,（4）异面直线上两点间的距离公式：如异面直线所成的角为在a,b上分别取一点E,F,设AEm,AFn；就EFd2m 2n22 mncosAF为钝角,公式中取正号）（假如EAF为锐角,公式中取负号,假如E aA名师归纳总结 A F Eb第 7 页,共 7 页- - - - - - -