2022年高考数学一轮复习导数讲解练习.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第三章导数1.明白导数概念的实际背景法就 2： uxvx uxvxuxvx2通过函数图象直观懂得导数的几何意义3能依据导数的定义求函数 yCC 为常数 ,yx,y1 x,yx 2,yx 3,yx的导数 4能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四就运算法就求简洁函数的导数,并了解复合函数求导法就,能求简洁复合函数仅限于形如 yfax b的复合函数 的导数 常见的基本初等函数的导数公式：C0C 为常数 ；x nnx n1nN；sinxcosx; cosx sinx；e x e x; a x a xln aa0,且 a 1；lnx 1 x；l

2、og ax 1 xlog aea0,且 a 1常用的导数运算法就：法就 1：ux vxux vx法就 3：u（x） u （ x） v（x） u（x） v（ x）v 2（x）v（x）vx 05明白函数的单调性与导数的关系；能利用其中导数争论函数的单调性,会求函数的单调区间多项式函数不超过三次6明白函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 会用导数求函数的极大值、微小值 其中多项式函数不超过三次 ；会求闭区间上函数的最大值、最小值 其中多项式函数不超过三次 7会用导数解决实际问题8明白定积分的实际背景,明白定积分的基本思想,明白定积分的概念9明白微积分基本定理的含义 3.1导数的概念及运算 y x

3、；求平均变化率1导数的概念1定义假如函数 yfx的自变量 x 在 x0 处有增量 x,那么函数 y 相应地有增量 yfx0 x fx0,比值 y x就叫函数 y fx从 x0 到 x0 x 之间的平均变化率,即 y xf（x0 x） f（x0）.假如当 x0时, y x有极限,我们就说函数 yfx在点 x0 处_,并把这个极限叫做 fx在点 x0处的导数,记作 _或 y | x x0,即 f x0limx 0 y xlimx 0 f（x0 x） f（ x0）x2导函数当 x 变化时, fx便是 x 的一个函数, 我们称它为 fx的导函数 简称导数 yfx的导函数有时也记作 y,即 f x y

4、lim x0f（x x） f（x）. x3求函数 yfx在点 x0处导数的方法求函数的增量 y；取极限,得导数f x0lim x 0 y x. 2导数的几何意义 函数 yfx在点 x0 处的导数的几何意义,就是曲线 yfx在点 Px0,fx0处的切线的斜率也就 是说,曲线 y fx在点 Px0,fx 0处的切线的斜率 是相应的切线方程为3基本初等函数的导数公式1 cx c 为常数 ,Q *；2sin x _,cosx_；3ln x,log ax4 e x _,a x4导数运算法就；. 1 fx gx_. 2 fxgx_；当 gx cc 为常数 时,即 cfx_. 3f（x）g（x） gx 0名

5、师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5复合函数的导数yfu,u复合函数y fgx的导数和函数gx的导数间的关系为 _即 y 对 x的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 类型一导数的概念自查自纠：11可导fx0 求：已知函数fx x 21.用定义的方法3fx0 xfx0f（x0x） f（x0） x1 fx在 x2 处的导数；2fx0yy0fx0xx0 2 fx在 xa 处的导数 310x 12cosxsinx31 x1解： 1由于 y x f（2 x） f（2）（ 2 x）21（ 2 21） xxl

6、nax 4eaxln a41fx gx2fxgxfxgxcfx 3f（x）g（x） f（ x）g（x）2 g（x）4 x,当 x0 时, 4 x4,5yx yuux所以 fx在 x2 处的导数是4.函数 fxa 35a 2x 2 的导数 fx A 3a 2 10ax 2B3a 210ax 210a 2xC10a 2x D以上都不对解： fx10a 2x.应选 C.曲线 y1 lnx 在 xe 处的切线方程为 A x eye0 Bexye 0 Cx ey2e0 D xey2e0 1解： y（ln x）x2x（ln x）1 2,y|x e1 e,故所求方程为 y 11 exe,整理得 xey2e0

7、.应选 D.2已知曲线 yx 43lnx 的一条切线的斜率为1,就切点的横坐标为 21A 3 B 2 C1 D. 2解： yx 23 x,令 x 2 3 x 1 2,解得 x 2 或 x 3舍去 应选 B.物体的运动方程是 s13t 32t 25,就物体在 t3 时的瞬时速度为解：vtst t 24t,t3 时,v3,故填3. 2022 新课标 设曲线 y axln x1在点 0,0处的切线方程为 y2x,就 a_. 解： ya1,依据已知,当 x0 时, yx12,代入解得 a3.故填 3. 2 由于 xf（a x） f（a）（ a x）21（ a 21） x2ax,当 x0 时, 2a x

8、2a,所以 fx在 xa 处的导数是 2a. 点拨：利用导数定义求函数在某一点处的导数,第一 y 写出函数在该点处的平均变化率 x,再化简平均变化率,最终判定当 x0 时, y x无限趋近于哪一常 数,该常数即为所求导数,这是定义法求导数的一 般过程 航天飞机发射后的一段时间内,第 t s 时的高度 ht5t 330t 245t 4单位： m1 求航天飞机在第 1 s 内的平均速度；1 s 末的瞬时速 2 用定义方法求航天飞机在第 度解： 1航天飞机在第 1 s 内的平均速度为 h（1） h（ 0）530454480 m/s.1 1 2 航天飞机第 1 s 末高度的平均变化率为 h（1t） h

9、（1） t 5（1t）330（1 t） 2 45（ 1 t） 484 t5 t 3 45 t 2120 t t5 t 2 45t120,245 t120120,当 t0 时, 5 t 所以航天飞机在第 1 s末的瞬时速度为 120 m/s. 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 类型二 求导运算求以下函数的导数：1y5x 2 4x1；2yxlnx；3ysinx其中 为常数 ；4yx 3 x 2x 2解： 1y10x4；2yln xx1 xlnx1；3ycosx xcosx ；4y 11 x212. （x 2）点拨：求导

10、运算,一是熟记公式及运算法就,二是掌握求复合函数导数的步骤,遵从“ 由外到内” 的原就,三是要留意在求导前对可以化简或变形的式子进行化简或变形,从而使求导运算更简洁求以下函数的导数：1yx1x2；x 2ye x1x 0；解得 x01,故切点为 1,5 3,1,1故所求切线方程为 y5 3x1 和 y1x1,即 3x3y20 和 xy20.2 y x 2,且 P2,4在曲线 y1 3x 34 3上,在点 P2,4处的切线的斜率 k y | x24.曲线在点 P2,4处的切线方程为 y44x2,即 4xy 40.3 设曲线 y13x 34 3与过点 P2,4的切线相切于点 A x0,1 3x 04

11、 3,又 切线的斜率 ky | xx02x 0,切线方程为 y1 3x 04 3x 20xx0,即 yx2 0x2 3x 04 3.点 P2,4在切线上, 42x 02 3x 04 3,3 2 3 2 2即 x 03x 040, x 0x 04x 0 40,x 20x014x01x010,x01x02 2 0,解得 x0 1 或 x02,故所求的切线方程为 4xy4 0 或 xy 20. 3ycos2x；点拨：曲线切线方程的求法：1 以曲线上的点 x0,fx0为切点的切线方程的4ylnx3 x1x 1解： 1yx 1x2x1x2x2x12x3；x （ e x1） x（ ex 1）2y（e x1

12、）2（1x） e x1（e x1）2；3y sin2x 2x 2sin2x；求解步骤：求出函数 fx的导数 fx；求切线的斜率 fx0；写出切线方程 yfx0 fx0xx0,并化简2 假如已知点 x1,y1不在曲线上, 就设出切点y0f（x0）,4yln x3 lnx 1 1x31x0,y0,解方程组y1y0f（x0）,x1x0得切点 x0,x12（x1）（ x 3）. y0,进而确定切线方程留意： 求切线方程时,要留意判定已知点是类型三导数的几何意义否满意曲线方程,即是否在曲线上与曲线只有一个公共点的直线不肯定是曲线的切线,曲线的切线与曲线的公共点不肯定只有一个已知曲线 y1 3x 34 3

13、. 1求满意斜率为 1 的曲线的切线方程；2求曲线在点 P2,4处的切线方程；3求曲线过点 P2,4的切线方程 解： 1yx 2,设切点为 x0,y0,2故切线的斜率为 kx 01,已知函数 fxx 3 x16. 1 求满意斜率为 4 的曲线的切线方程；2 求曲线 yfx在点 2, 6处的切线方程；3 直线 l 为曲线 yfx的切线,且经过原点,求直线 l 的方程 解： 1设切点坐标为 x0,y0,fx0 3x 2 014, x01,名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - x0 1,x0 1,或y0 14 y0 18.切

14、线方程为 y4x18 或 y 4x14.2fx3x 21,且 2, 6在曲线 fxx 3x16 上,在点 2,6处的切线的斜率为 kf213.切线方程为 y13x 32.3解法一： 设切点为 x0,y0,直线 l 的斜率为 fx0 3x 2 01,2 3直线 l 的方程为 y 3x 0 1x x0x 0x016,又直线 l 过原点 0,0,03x 01x0x 2 3 0x016,整理得 x0 2,斜率 k13.直线 l 的方程为 y13x.解法二： 设直线 l 的方程为 ykx,切点为 x0,y0,就斜率 ky00 x00x 3 0x016x0,又kfx03x 2 01,3x 0x016x03

15、x 2 01,解得 x0 2,k13.直线 l 的方程为 y13x. 1 弄清 “函数在一点x0 处的导数 ” “导函数” “导数 ”的区分与联系1函数在一点 x0处的导数 fx0是一个常数,不是变量；2函数的导函数 简称导数 ,是针对某一区间内任意点 x 而言的 函数 fx在区间 a,b内每一点都可导,是指对于区间 a,b内的每一个确定的值x0,都对应着一个确定的导数 fx0,依据函数的定义,在开区间 a,b内就构成了一个新的函数,也就是函数 fx的导函数 fx；3函数 yfx在点 x0处的导数 fx0就是导函数 fx在点 xx0 处的函数值 2求函数 yfx在 xx0处的导数 fx0通常有

16、以下两种方法1利用导数的定义：即求limx 0 f（x0 x） f（x0）x 的值；2利用导函数的函数值：先求函数 yfx在开区间 a,b内的导函数 fx,再将 x0x0a,b代入导函数 fx,得 fx03正确区分 “曲线在某点处的切线” 与 “ 过某点的曲线的切线” 的含义 ,前者的“ 某点” 即切点,后者的“ 某点” 是否为切点就须检验4求曲线在某一点处的切线方程时,可以先求函数在该点的导数, 即曲线在该点的切线的斜率,再利用点斜式写出直线的方程假如切点未知,要先求出切点坐标1函数 fxx 3sin2x 的导数 fx A x 2cos2x B3x 2cos2xCx 22cos2x D3x

17、22cos2x解： f x3x 2 2x cos2x 3x 2 2cos2x.应选D.2已知 fxx2x3,就 f2的值为 A 0 B 1 C 2 D 3 解： f x x3x22x5, f2 1.应选 B.3曲线 yx 311 在点 P1,12处的切线与 y轴交点的纵坐标是 A 9 B 3 C9 D15 解： 由 y | x1 3,得在点 P1,12处的切线方程为 3xy90,令 x0,得 y9,应选 C.4如 fxx 22x4lnx,就 fx0 的解集为 A 0, B1,02, C2, D1,0 解： fx 2x24 x2（x2）（ x1）0, x0, x2 0,解得 x2.应选 C.52

18、022 湖北八市高三 3月调考 设 aR,函数 fxe xaex 的导函数是 fx,且 fx是奇函数,就 a 的值为 1 1A 1 B2 C. 2 D 1 解：由于 fxe xaex,由奇函数的性质可得f0 1a0,解得 a1.应选 A.6已知曲线 C：fx x 3 axa,如过曲线 C外一点 A1, 0引曲线 C 的两条切线,它们的倾斜角互补,就 a 的值为 27 27A. 8 B 2 C2 D8解： 设切点坐标为 t,t 3ata切线的斜率为 ky | xt3t 2a,所以切线方程为 yt 3ata 3t 2axt,将点 1,0代入 式得 t 3ata3t 2a1t,解之得 t 0 或 t

19、3 2.分别将 t0 和 t3 代入 式,得 k a 或 k27 4a,由它们互为相反数得 a27 8 .应选 A.72022 江西 如曲线 yex 上点 P 处的切线平 行 于 直 线 2x y 1 0 , 就 点 P 的 坐 标 是_x解：设点 P 的坐标为 x0,y0,y e .又切线平行于直线 2xy10,所以 ex0 2,可名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 得 x0 ln2,此时 y2,所以点 P 的坐标为 ln2,2故填 ln2,282022 江西 设函数 fx在 0,内可导,且 fe xxe x,就

20、f1_. 解： 令 e xt,就 xln t. fe xxe x, ft lntt, ft1 t1, f1112.故填2.9求函数 fx x 34x4 图象上斜率为1的切线的方程 解： 设切点坐标为 x0,y0,fx03x 2 04 1, x01.切点为 1, 1或1,72切线方程为x y20 或 xy 60. 10设函数fx1 3x 3axa0,gxbx2b1.如曲线 yfx与 ygx在它们的交点 1,c处有相同的切线,求实数 a,b 的值,并写出切线 l的方程 解： 由于 fx1 3x 3 axa0,gxbx 22b1,所以 fxx 2 a,gx2bx.由于曲线 yfx与 ygx在它们的交

21、点 1,c处有相同的切线,所以 f1g1,且 f1g1,即1 3a b2b1,且 1a2b,解得 a1 3,b1 3,得切点坐标为 1,0切线方程为 y2 3x1,即 2x3y20. 11已知函数 fxx1a e xaR,e 为自然对数的底数 1如曲线 yfx在点 1,f1 处的切线平行于x 轴,求 a 的值；2当 a1 时,如直线 l：ykx1 与曲线 yfx相切,求 l 的直线方程 解： 1fx 1ae x,由于曲线 yfx在点 1,af1处的切线平行于 x 轴,所以 f1 1e0,解得 ae.1 12当 a1 时, fxx1e x,fx 1e x.设切点为 x0,y0,fx0x0 11

22、ex0kx01,1fx01ex0k, 得 x0kx01k,即 k1 x0 10.如 k1,就 式无解, x0 1,k 1e.l 的直线方程为 y1ex1. 2022 安徽 如直线 l 与曲线 C 满足以下两个条件：1直线 l 在点 Px0,y0处与曲线C 相切； 2曲线 C 在点 P 邻近位于直线 l 的两侧,就称直线 l 在点 P 处“ 切过” 曲线 C.以下命题正确的是 _写出全部正确命题的编号 直线 l：y0 在点 P0,0处“ 切过” 曲线 C：3y x直线 l：x 1 在点 P1,0处“ 切过” 曲线 C：yx1 2直线 l：yx 在点 P0,0处“ 切过” 曲线 C：y sinx直

23、线 l：yx 在点 P0,0处“ 切过” 曲线 C：y tanx直线 l：yx1 在点 P1,0处“ 切过” 曲线 C：ylnx解： 对于 ,y x 33x 2,y|x 00,所以 l：y0 是曲线 C：y x 3 在点 P0,0处的切线,画图可知曲线 C：yx 3 在点 P0,0邻近位于直线l 的两侧,正确；对于,l：x1 明显不是曲线 C：yx12在点 P1,0处的切线,错误；对于 ,y sinx cosx,y|x01,曲线在点 P0,0处的切线为 l：yx,画图可知曲线 C：y sinx 在点 P0,0邻近位于直线 l 的两侧,正确；对于 ,y tanxsinx cosx cos 12x

24、,y|x0cos 1201,曲线在点 P0,0处的切线为 l： yx,画图可知曲线 C：ytanx 在点 P0,0邻近位于直线 l 的两侧,正确；对于 ,y ln x1 x,y|x11,在点 P1,0处的切线为 l：yx1,令 hxx1ln xx0,可得 hx1xx1,所以 hx minh1 0,故 x1lnx,可知曲线 C：ylnx 在点 P1,0附近位于直线 l 的下方,错误故填 .名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3.2 导数的应用 一 1函数的单调性与导数 在某个区间 a,b内,假如 fx0,那么函数 yD

25、如 fx在a,b内有极值,那么fx在a,b内不是单调函数解： 导数为 0 的点不肯定是极值点如 yx3,在 x0 处,而极值点的导数肯定为0.极值是局部fx在这个区间内单调递增；假如 fx0,那么函概念,因此微小值可能有多个且有可能大于极大数 yfx在这个区间内 _值极值点是单调性的转折点应选 D. 2函数的极值与导数 1判定 fx0是极大值,仍是微小值的方法：一般地,当 fx00 时,假如在 x0 邻近的左侧 fx0,右侧 fx0,那么 fx0是极大值；x0 附 近 的 左 侧 _ , 右 侧 如 果 在 _,那么 fx0是微小值 2求可导函数极值的步骤：求 fx；求方程 _的根；检查 fx

26、在上述方程根的左右对应函数值的 fx在这个根处取得 符号 假如左正右负,那么 _；假如左负右正,那么 fx在这个根处取 得_3函数的最值与导数 1在闭区间 a,b上连续的函数 fx在a,b上必有最大值与最小值2 如 函 数 fx 在 a , b 上 单 调 递 增 , 就 _ 为 函 数 在 a , b 上 的 最 小 值 ,_为函数在 a,b上的最大值；如函数 fx 在 a,b上单调递减,就 _为函数在 a,b 上的最大值, _为函数在 a,b上的最小值 3设函数 fx在a,b上连续, 在a,b内可导,求 fx在a,b上的最大值和最小值的步骤如下：求 fx在a,b内的极值；将fx的各极值与端

27、点处的函数值_,_比较,其中最大的一个是最大值,最小的一 个是最小值 自查自纠：1单调递减 21fx0 fx0 已知函数 fx12x 2x,就 fx的单调增区间是 A , 1和0, B0, C1,0和1, D1, 解： fxx1,令 fx 0,解得 x1.应选D.如在区间 1,2 内有 fx0,且 f10,就在 1,2内有 A fx0 B fx0 Cfx0 D fx1 解： fx 0, fx在1,2内单调递增 f10,在 1,2内 fx0.应选 A.如函数 fx的导函数 fxx 24x3,就函数 fx1的单调递减区间是 _解： 由 fxx 24x30 得 1x3,所以函数 fx的单调递减区间为

28、 1,3,函数 yfx1的图象由函数 yfx的图象向右平移 1 个单位得到,故函数 fx 1的单调递减区间是 2,4故填2,4函数 fxx2cosx,x 0,2的最大值是_解： fx12sinx,令 fx0 得 sinx1 2,从而 x 6,当 x 0, 6时,fx0,fx单调递增；当 x6, 2时,fx0,fx单调递减, 所以 fx在 x 6处取得极大值, 即最大值 63.故填 63. 2fx0极大值微小值fb 类型一导数法判定函数的单调性32fafbfafb3fa关于函数的极值, 以下说法正确选项设函数fx在定义域内可导,y fx的图象如下列图,就导函数y fx的图象可能是 A 导数为 0

29、 的点肯定是函数的极值点B函数的微小值肯定小于它的极大值Cfx在定义域内最多只能有一个极大值,一 个微小值名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 在合并后的区间内函数单调性依旧成立如,本例中 , 1,1, 不能写成 , 1 1,解： 当 x0 时, fx为增函数, fx0,排除 A ,C；当 x0 时,fx先增后减, 再增, 对应 fx先正后负,再正应选 D.点拨：导函数的图象在哪个区间位于 x 轴上方 下方 ,说明导函数在该区间大于 0小于 0,那么它对应的原函数在那个区间就单调递增 单调递减 2022 北京联考 如图

30、是函数 yfx的导函数 y fx 的图象,就下面判定正确选项 ,不妨取 x13 2, 1,x23 21,x1x2,而 fx1f 3 29 8,fx298,这时 fx1fx2不成立 x 2022 山东 设 函 数 fx e x 2 k 2xln x k0,k 为常数, e2.71828, 是自然对数的底数 ,求函数 fx的单调区间 解： 函数 yfx的定义域为 0, fxx 2e x2xex 4 xk 2 x 21 xxe x2ex 3 xk（x2）x 2（x2）（ ex 3 xkx）.由 k0 可得 e xkx0,所以当 x0,2时, fx0,函数 y fx单调递减,图A 在 2,1上 fx是

31、增函数x2, 时, fx0,函数yfx单调递增B在 1,3上 fx是减函数所以 fx的单调递减区间为0,2,单调递增区C当 x2 时, fx取极大值间为 2, D当 x4 时, fx取极大值解：由 yfx的图象可得yfx的大致图象如类型三导数法争论函数的极值问题由图可知, A, B, D 均错 应选 C. 类型二 导数法争论函数的单调性已知函数 fxx 3ax,f10. 1求 a 的值；2求函数 fx的单调区间 解： 1fx 3x 2a,由 f13a0,得 a3.2fxx 33x, fx 3x 23.令 fx0,得 x 1 或 x1.所以 fx的单调递增区间是 , 1,1,单调递减区间是 1,

32、 1已知函数 fx1 2x 3cx在 x1 处取得极值 1 求函数 fx的解析式；2 求函数 fx的极值 解：1fx3 2x 2c,当 x 1 时,fx取得极值,就 f10,即3 2c0,得 c 3 2.故 fx1 2x 33 2x.2 fx3 2x 23 23 2x 213 2x 1x 1,令 fx 0,得 x 1 或 1.x,fx,fx的变化情形如下表：x ,11 1,1 1 1, 名师归纳总结 点拨：fx00极极用导数求函数的单调区间,突破口是争论导fx大小数的符号 留意： 区间的端点可以属于单调区间,值值也可以不属于单调区间,对结论没有影响如,本因此, fx的极大值为f11,微小值为 f1例中 1,1也可以写成 1,1写单调区间时, 1. 一般不要使用符号“ ” ,可以用“ ,” “ 和” 分开各区间,缘由是各单调区间用“ ” 连接的条件是点拨：第 7 页,共 26 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 找函数的极值点,即先找导数的零点,但并不是说导数为零的点就是极值点 如 yx 3,仍要保证该零点为变号零点设 fxax5 26lnx,其中 aR,曲线 yfx在点 1,f1 处的切线斜率为 2. 1确定 a 的值