2022年高等数学偏导数第七节方向导数题库.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 【090701】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求 zxy ,在点2,2沿单位圆 x2y21 外法线方向的方向导数；22【试题答案及评分标准】cos1cosz224 分 2z1xy所以z2210 分 n22【090702】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求z3 x2y在点 11,沿单位圆 x2y22 外法线方向的方向导数；【试题答案及评分标准】cos3cosz2225 24 分 2z2xy所以z3210 分 n222【090703】【运算题】【较易 0.3】【方

2、向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数zxln1y在点 11,沿曲线 2x2y21切线指向x 增大方向向量的方向导数；【试题答案及评分标准】名师归纳总结 tan4x , 22xcos1 , 4 分 第 1 页,共 20 页2ycos1ln1cos55所以zycos1yln21121 5ln210 分 525- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【090704】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】 求函数 zln1ex2在 01,点沿曲线 yex 切线正向指向x 增大方向y的方向导数；【试题答案及评分标准】t

3、an , yx0exx011cos , cos124 分 2zz2y1 , xyy2所以z121 10 分 20a22【090705】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数 z x 2 ln arctan y 在 11, 点沿 a 方向的方向导数,其中 a为曲线y x 2 在 11, 点的切向量,方向为 x 增大的方向；【试题答案及评分标准】tan , yx 122cos1cos122 , 4 分 55z2x , z , 112xyarctanyy所以z21 52222 10 分 a55【090706】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方

4、向导数梯度】【试题内容】求函数zyex 在 1,e 点沿曲线yex 切线正向x 增大方向的方向导数；【试题答案及评分标准】名师归纳总结 tan , yx1exx1e1e214 分 第 2 页,共 20 页cos12cos1eezex , ez , xy- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以ze11e211e2 e010 分 a【090707】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】 设 zcos xy,l 为曲线 y1sin2x在x0 处的切向量 指向x 增大方向,求z , 0 1；l【试题答案及评分标准】tanyx0

5、2cos2xx02cos1cos24 分 55z , ycos y1sin , 0xz , y cos lncos , 0y所以z010 分 l【090708】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求zarctan xy在点 11,沿曲线 2x2y23外法线方向的方向导数；【试题答案及评分标准】所以切线斜率 tany , 12x , 24 分 y法线斜率 tan1sin12所以 cos255zyx , 1xy 2 , 2110 分 zx1 , y , 1xy 221z1213l252525【090709】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导

6、数梯度】名师归纳总结 【 试 题 内 容 】 求 函 数 z2 x2y在 11,点 沿 a 方 向 的 方 向 导 数 , 其 中 a 为 曲 线第 3 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x2y22x在1,1点的内法线向量；【试题答案及评分标准】切线斜率 tanxy1 , 0a 为曲线内法线向量 n 00 ,1, cos0cos14 分 z , 2x , 2xz , 2yln2 , 2ln2y所以z202ln21 2ln210 分 n【090710】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数zysi

7、nx在1 ,2点沿 a 方向的方向导数,其中x2sin ,ycos2t在 t6处的切向量指向t 增大的方向 ；【试题答案及评分标准】tandyt62sin2tt6dx2cos tcos11sin214 分 2z ,22cosxx ,20xysinz11y ,22ysinx ,22 2所以z011121a22 22 22110 分 【090711】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】名师归纳总结 【试题内容】求函数zxy21dt4在点 1, -1处沿 a11,方向的方向导数；第 4 页,共 20 页0t- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

8、- - 【试题答案及评分标准】z ,1 1y2 ,1 11315 分 x4 x y82z ,1 ,1 12xy1y4 x y81coscos22所以z11 21 110 分 a2222【090712】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数uarctan ,rx2y 2z2 在点 1,1,1处沿 a1 0 , ,1方向的方向导数；【试题答案及评分标准】cos112cos0cos13 分 22ux1 , , , , 1xrr4 3u , , 112y , , 16 分 yrr4 3u1z1 , , 12 , , zrr4 3u110110 分 0a4 32

9、2【090713】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数usin ,rx2y2z 2 在点 1,2,-2处沿 a111方向的方向导数；【试题答案及评分标准】名师归纳总结 cos , ,coscos , ,11cos33 分 第 5 页,共 20 页3ucosrxx2r23u , ,2cosry , ,22cos3yr3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - u , ,2cos rz , ,22cos 36 分 zr3u1cos310 分 a3 3【090714】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数

10、梯度】【试题内容】求函数rx2y2z 2 在点 M0x0,y0,z0 处沿M0到坐标原点O方向M O 0的方向导数；【试题答案及评分标准】M Ox0,y 0,z 0y0cosM0z03 分 x0coscosr0r0r0其中 r 0x22 y 02 z 0y0rz 07 分 0rM0x0rM0xr02 x 0yr 0zr02 y 02 z 0所以r a110 分 2 r 0【090715】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数uxyz在点 1,2,-1处沿 a1 2 , ,2方向的方向导数；【试题答案及评分标准】cos 1 cos 2 cos 23 分

11、3 3 3u z y z 1 1 , , 1 y x , , 1 x 2u y z z 1 , , 1 x ln x zy , , 1 0yu y z z , , 1 x ln x y ln y , , 1 0 7 分 z所以 u 1 1 110 分 a 2 3 6【090716】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数 u y x 2 z 3 在点 2,1,1处沿该点向径方向的方向导数；【试题答案及评分标准】名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - r2 11,cos2cos1co

12、s13 分 666u2,1,12xy21,1,24531166 分 xu2,1,1x23 z1,1, yu , , 2 3 yz2 1 1 , , 3z所以u425110 分 r6666【090717】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数uzxy在点 1,2,1处沿 a3 3 2方向的方向导数；【试题答案及评分标准】cos , , 3 22cos3cos23 分 2222uyzxlnz , , 0xu , , zx , , 1216 分 yy x zx1 , , u , , zu322 22所以10 分 a2222【090718】【运算题】【较易 0

13、.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数ux2zy2在点 3,4,1处沿 a3 21方向的方向导数；【试题答案及评分标准】名师归纳总结 cos3 4 1 , , 3x2cos3 22cos13 分 第 7 页,共 20 页141414uxz3 4 1 , , 3xy2125u3 4 1 , , x2yz3 23 4 1 , , 4yy2125- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - u3 4 1 , , x21y23 4 1 , , 16 分 z5所以u3342112610 分 a1251412514514125 14【090719】【运算

14、题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数uz ex 2y2在点 0,1,2处沿 a0 1 , ,2方向的方向导数；【试题答案及评分标准】所以cos , ,0e 2cosy 212cose23 分 55uxzex202 , ,xu , ,22yzex 2y2 , ,24e6 分 yuex 2y2 , ,e , ,22zu41e2 5610 分 a55【090720】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数ux2y2z2xy在点 1,1,2处沿 a11 2方向的方向导数；【试题答案及评分标准】cos , , 1cos , ,

15、 1cos23 分 666u2xy1xu , , 2yx , , 1106 分 yu2 z , , 4 , , 2zu11所以410 分 a6666【090721】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】名师归纳总结 【试题内容】求函数uexyz在点 P0 1,0, 1处沿P 0P 1方向的方向导数,其中P1的坐标第 8 页,共 20 页为2,1, 1；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【试题答案及评分标准】P P 1u11 0,P 0cos1cos1cos0 4 分 22uyzexyz0xP 0uxyz xzeP 017 分 y

16、P 0u zP 0xye xyz0P 0所以110 分 l2【090722】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数ux2y22z2在点P 1,1,1处沿P0O方向的方向导数,其中O 为坐标原点；【试题答案及评分标准】P Ou1 1 ,1,2cosucos2ycos213 分 3u2xP 02P 0P 0xP 0yu4 zP 0414186 分 zP 012所以10 分 l3333【090723】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数uxyz 2 在点P 1, 2, 1处沿P0P 1方向的方向导数,其中P1 2

17、,1 3 , ；【试题答案及评分标准】名师归纳总结 P P 11 ,3 4,cos1 26,cosxz23,cos43 分 第 9 页,共 20 页2626u xP 0yz2P 02u yP 0P 016 分 u2xyzP 04zP 0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以u2134 41710 分 l26262626【090724】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数ua r在点P0 1, 2, 2处沿r0 方向的方向导数,其中rrx y z,a 为常向量, r0OP 0；【试题答案及评分标准】aax,ay

18、,az,uaxx2ayyya zz2 ay2 az4 分 x2z2r0cos ,cos ,cos1,2,2333u2 a ya z2a xya xz8 axxP 0x2y22 z3 2P 0274 az10 分 ua x2a z2a xya yz5 ay2axyP 0x2y22 z3 2P 0274 ayuazy2x2a xza yz5 a z2axzP 0x2y22 z3 2P 027z所以u1 818 ax2 ay2az2 5 a y2 ax4 ar02 5 az2 ax4ay0【090725】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数uxy3yzzx

19、在点 1,2,0处沿与直线x21y2z平行13方向的方向导数；【试题答案及评分标准】名师归纳总结 a2,1 3,cos2,cos , , 1 14,cosz , , 314 分 第 10 页,共 20 页1414u , , yz , , 2ux3xyu , , 3yx , , 5153zu221所以a141414- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 18 1410 分 【090726】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数ux2lny3 z 在点 1,2,2处沿平面 5 xyz1法线方向的方向导数；【试题答案及评分

20、标准】n5 ,1 ,1,cos5,cos1,cos12727274 分 u , , 2xlny3 z , , 2ln8u , , x2 , , 1xyy3 z8u , , 3x23131y3 z , , 8zu2ln851所以n27827827110ln8110 分 272【090727】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数ux2xy8xz在点 0,1,1处沿平面 3 x5y4z1法线方向的方向导数；【试题答案及评分标准】n3 5 , ,4,cos28 3 5 2,cosu1 2,cos4 5 24 分 u , , 2xy , , 7 , , x ,

21、 , 0xyu , , 10115417 5 210 分 zu753所以n22【090728】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【试题内容】求函数uzarctany在点 1,1, 2处沿平面 3x2yz3法线方x向的方向导数；【试题答案及评分标准】n3 2 , ,1,cos3,cos2,cos11414145 所以u , , 1x2y2 , , 121u , , 1x2xy2 , , 1xy2y2u , , 131110 zun214214142 14

22、【090729】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】 求函数 zlnx2y2在点 M0x 0,y0 沿过该点的等值线的外法线方向的方向导数；【试题答案及评分标准】z等值线方程为x2y2x2 0y 0 2 ,外法线向量nx0,y0,所以cosxx02 y 0,cosy 05 分 22 x 02 y 002x 0cos2y 0cosx22y210 分 2 x 02 y 0x22 y 0n000【090730】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数ze x2y 2在点 M0x0,y 0 沿过该点的等值线外法线方向的方向导

23、数；【试题答案及评分标准】名师归纳总结 等值线方程为x2y2xx2 0y 0 2y 02 y 00y 02 y 05 分 第 12 页,共 20 页cosx02 y 0cos2 x 02 x 0zx e2 0y 202x0x0x e2 0y 0 22y10 分 n22 y 02 x 002e x 02y 202 x 0y2 0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【090731】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】 求函数 zx2y22 在点2,3沿曲线x4y22 切线方向 指向x 增499大方向与外法线方向的方向导数

24、；【试题答案及评分标准】2x2yyx01y2 3 , 3sin1235 分 492切向量 a2,3cos121313法向量 n3 2cos23sin21313z2z2yx , , y , 9 , 10 分 2322所以z a3 130133z32213113n133133 133【090732】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数zx22y2在点 2,1沿曲线 x22y26 外法线方向的方向导数；【试题答案及评分标准】法向量 nx, 2y , 02 24 25 2coscos2z2x 0cos4ycos10 n【090733】【运算题】【较易 0.3

25、】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数uxy z 3 在点 1,1,1处方向导数的最大值与最小值；【试题答案及评分标准】名师归纳总结 u2 3y zcos23 xyzcos2 23 xy zcos , , 4 分 第 13 页,共 20 页lcos2cos3cos- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设 g12 3l0cos ,cos ,cos当l就lug l0gcos,其中为 g 与 l0 的夹角；10 分 l当01,123,时,u取最大值g14 ；14l01,123,时,u取最小值g14 ；14l【090734】【运算题】【较易 0.

26、3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数uxyz在点 1, 2,2处方向导数的最大值与最小值；【试题答案及评分标准】uuyzcosxz cosxycos ,2 2 , 4 分 l设 g4cos2cos2cos4 2 , ,2l0cos ,cos ,cos,其中为 g 与 l0 的夹角；所以就g l0gcosl当l01 62 ,1,1时,u取最大值,g26 ；10 分 l0当l1,1时,1 62 ,u取最小值g2 6 ；l【090735】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数uzx22y2在点 1, 2, 1处沿与直线53xyzz42平

27、行x的向量a 方向的方向导数；【试题答案及评分标准】a1 8 3cos8cos3cos17474745 分 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - u ,12,1 2 x,11,22xu ,12,1 14y,1,2181881369yu ,12,1 2 zun ,2 1 , 7474747410 分 【090736】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数ux23y2z2在点 1,0,1处沿与直线xy1平行的向量yz1a 方向的方向导数；【试题答案及评分标准】a111,3cos4

28、cos1cos15 分 cos1333u2coscos510 分 a3【090737】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数zx2y2 在点p , 3 3 3 处沿曲线4 1cos 在点p 处切线方向的的方向导数；【试题答案及评分标准】tan , 3 3dy , 3 33464sin2 1cos cos0dxsincos 1cos sin3cos312x , 3 3cos032y , 3 336 35 分 zz3xy , 3 3z610 分 l【090738】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数zxy在点 , 11 处沿曲线2cos在该点处切线方向的方向导数；名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【试题答案及评分标准】tandy , 0x 轴dxcos1cos05 分 z110 分 l【090739】【运算题】【较易 0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】 求由 x3y3z33xyz20 确定的隐函数在点 1,1,1处沿反向的方向导数【试题答案及评分标准】z 1,1,1 x2yz